Legge di Stevino/legge di Torricelli
Nell'immagine in allegato è mostrata la legge di Torricelli con relativo sistema di riferimento.
Ciò che non mi è chiaro è: se la legge di Stevino dimostra che la pressione $P$ sulla base del recipiente è data da $P=P_{0}+\rho gh$, dove $P_{0}$ è la pressione atmosferica, $\rho$ la densità del fluido e $h$ la profondità da $P_{0}$, perché qui, invece, sembra essere più alta la pressione sulla sommità rispetto a quella sulla base?
E poi, perché è stato preso il sistema di riferimento dalla base? Non sarebbe stato più opportuno sceglierlo alla superficie del liquido in modo tale da far corrispondere ad un aumento della profondità $h$ un aumento della pressione $P$?
Vi ringrazio in anticipo
Ciò che non mi è chiaro è: se la legge di Stevino dimostra che la pressione $P$ sulla base del recipiente è data da $P=P_{0}+\rho gh$, dove $P_{0}$ è la pressione atmosferica, $\rho$ la densità del fluido e $h$ la profondità da $P_{0}$, perché qui, invece, sembra essere più alta la pressione sulla sommità rispetto a quella sulla base?
E poi, perché è stato preso il sistema di riferimento dalla base? Non sarebbe stato più opportuno sceglierlo alla superficie del liquido in modo tale da far corrispondere ad un aumento della profondità $h$ un aumento della pressione $P$?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Ciao robe92. Non ti è chiaro perchè nel tuo disegno non è indicato qual è la sezione identificata come (1) e di conseguenza quale sia la (2).
In un punto (1) sul fondo del bidone, all'interno ed alla stessa quota del buco, la pressione è $p_0+rho g h$, mentre la velocità, visto il rapporto tra la sezione del bidone e quella del buco, è praticamente zero, come peraltro in ogni punto del liquido dentro il bidone. In un punto (2) subito fuori dal forellino la pressione è quella atmosferica $p_0$, visto che il buco è esposto
all'esterno, la velocità è__$v_2$__; l'equazione di Bernoulli:__$(p_0+rho g h)+ 1/2 rho v_1^2=p_0+1/2 rho v_2^2$__con l'approssimazione __$v_1=0$__ti porta a__$g h =1/2 v_2^2$__, appunto.
In un punto (1) sul fondo del bidone, all'interno ed alla stessa quota del buco, la pressione è $p_0+rho g h$, mentre la velocità, visto il rapporto tra la sezione del bidone e quella del buco, è praticamente zero, come peraltro in ogni punto del liquido dentro il bidone. In un punto (2) subito fuori dal forellino la pressione è quella atmosferica $p_0$, visto che il buco è esposto
all'esterno, la velocità è__$v_2$__; l'equazione di Bernoulli:__$(p_0+rho g h)+ 1/2 rho v_1^2=p_0+1/2 rho v_2^2$__con l'approssimazione __$v_1=0$__ti porta a__$g h =1/2 v_2^2$__, appunto.
Se considerassi l'energia alla superficie non dovrei ottenere $P_{0}+1/2\rho v_{1}^2$?
$h$ non dovrebbe essere la distanza dalla superficie? Ciò che non capisco è proprio quel $\rho gh$ alla superficie, pare che ci sia più pressione in superficie che in fondo
$h$ non dovrebbe essere la distanza dalla superficie? Ciò che non capisco è proprio quel $\rho gh$ alla superficie, pare che ci sia più pressione in superficie che in fondo
Ci ho messo un po' ma ho capito cosa vuoi dire. L'equazione di Bernoulli comporta che prese due sezioni con pressioni $p_1, p_2$, a quote $h_1, h_2$ e con velocità $v_1, v_2$ sia:____[tex]p_1+\varrho gh_1+\frac{1}{2}\varrho v_{1}^{2}=p_2+\varrho gh_2+\frac{1}{2}\varrho v_{2}^{2}[/tex].
In questo caso, fissata la quota $h=0$ all'altezza del foro, e identificate $S$ con la sezione (1) ed $s$ con la (2), è:
$p_1=p_2=p_A$ (foro aperto);____$h_1=h$, $h_2=0$;____infine:____$v_1\approx 0$.____Sostituisci e trovi la conclusione.
Non c'è più pressione in superficie, le pressioni sono uguali; semplicemente a primo membro (quello relativo alla $S$) è presente il termine idrostatico [tex]\varrho gh[/tex] dell'equazione di Bernoulli, che a II membro invece è zero.
Se chiudi il foro, allora le due velocità si annullano e la pressione $p_2$ diventa: [tex]p_2=p_1+\varrho gh_1=p_A+\varrho gh[/tex], come vuole Stevin.
In questo caso, fissata la quota $h=0$ all'altezza del foro, e identificate $S$ con la sezione (1) ed $s$ con la (2), è:
$p_1=p_2=p_A$ (foro aperto);____$h_1=h$, $h_2=0$;____infine:____$v_1\approx 0$.____Sostituisci e trovi la conclusione.
Non c'è più pressione in superficie, le pressioni sono uguali; semplicemente a primo membro (quello relativo alla $S$) è presente il termine idrostatico [tex]\varrho gh[/tex] dell'equazione di Bernoulli, che a II membro invece è zero.
Se chiudi il foro, allora le due velocità si annullano e la pressione $p_2$ diventa: [tex]p_2=p_1+\varrho gh_1=p_A+\varrho gh[/tex], come vuole Stevin.
quindi non devo pensarla con in mente la legge di Stevino? Devo prendere in considerazione solo l'equazione di Bernoulli?
Quella di Stevin è una legge dell'idrostatica, se il foro è aperto e quindi il liquido è in movimento si applica Bernoulli (che peraltro nel caso tutte le velocità siano nulle si riduce appunto alla legge di Stevin). Del resto l'effetto Torricelli è una tipica conseguenza della legge di Bernoulli, che io sappia.
Quindi applico questa formula proprio perché il fluido è in moto no? Non a caso dovrebbe essere il teorema dell'energia cinetica per i fluidi
Appunto... chiarito?
Sì, grazie mille
nel caso in cui il liquido sia fermo, quindi nel caso in cui si ha $p_2=p_1+\rho gh$ (legge di Stevino), $h_0$ non dovrebbe essere preso a partire dalla superficie per poi far aumentare la pressione via via che aumenta la distanza da questa?
Ciao. Direi di sì.
Pensa all'equazione di Bernoulli nel caso statico, con velocità ovunque nulle quindi: $p_1+\rho g h_1=p_2+\rho g h_2$.
Orienta un asse di quote $h$ verso l'alto, metti l'origine $h=0$ al livello (2) a profondità $h$ sotto la superficie libera (1), in modo che questa abbia quota $h$. Allora la pressione in (2) è $p_2=p_1+\rho g h$, appunto.
Oppure: metti l'origine $h=0$ al livello (1) della superficie libera; allora il livello (2) ha quota $-h$; hai $p_2+\rho g (-h)=p_1$ che è la stessa uguaglianza.
Pensa all'equazione di Bernoulli nel caso statico, con velocità ovunque nulle quindi: $p_1+\rho g h_1=p_2+\rho g h_2$.
Orienta un asse di quote $h$ verso l'alto, metti l'origine $h=0$ al livello (2) a profondità $h$ sotto la superficie libera (1), in modo che questa abbia quota $h$. Allora la pressione in (2) è $p_2=p_1+\rho g h$, appunto.
Oppure: metti l'origine $h=0$ al livello (1) della superficie libera; allora il livello (2) ha quota $-h$; hai $p_2+\rho g (-h)=p_1$ che è la stessa uguaglianza.
Tieni comunque presente che nella legge di Stevin con $h$ si indica la profondità, che equivale ad orientare verso il basso l'asse verticale, per cui l'equazione va scritta col segno $-$ davanti al termine idrostatico, cioè:
$p_0-\rho g h_0=p_h-\rho g h$;____se i termini col pedice $_0$ sono riferiti alla superficie, dove si pone $h_0=0$ (ovviamente, dato il
significato di $h$ come profondità) allora hai:____$p_0=p_h-\rho g h$____, cioè____$p_h=p_0+\rho g h$____, come si scrive di solito
la legge di Stevin , dove comunque $h$ rappresenta una profondità, cioè una coordinata verticale orientata verso il basso.
$p_0-\rho g h_0=p_h-\rho g h$;____se i termini col pedice $_0$ sono riferiti alla superficie, dove si pone $h_0=0$ (ovviamente, dato il
significato di $h$ come profondità) allora hai:____$p_0=p_h-\rho g h$____, cioè____$p_h=p_0+\rho g h$____, come si scrive di solito
la legge di Stevin , dove comunque $h$ rappresenta una profondità, cioè una coordinata verticale orientata verso il basso.
Ho provato a calcolare le stesse equazioni nel caso in cui il sistema di riferimento sia rivolto verso il basso e ho ottenuto questi risultati
ecco, cosa sbaglio?
ecco, cosa sbaglio?
Hai letto il mio ultimo post? Sbagli il segno: se orienti l'asse verticale verso il basso allora cambia il segno davanti al termine idrostatico $rho g h$. Del resto, secondo il verso dell'asse $h$ un $Delta h>0$ è una salita oppure una discesa. Ciao.
per "cambia segno" intendi il segno di $\rho gh$ in tutta l'equazione di Bernoulli?
Se usi la legge di Bernoulli (caso dinamico) sottintendi che le $h$ siano quote e crescano verso l'alto, e allora hai: $delta(p+rho g h + 1/2 rho v^2)=0$, e con questa giustifichi l'effetto Torricelli.
Se usi la legge di Stevin (caso statico) sottintendi che le $h$ siano profondità e crescano verso il basso, e hai:
$p_1-rho g h_1=p_2-rho g h_2$, e allora se $p_0$ è la pressione alla profondità $h_0=0$ hai $p_0=p_h-rho g h$, alias : $p_h=p_0+rho g h $.
L'equivoco nasce da motivi contenuti nel titolo del 3d: l'effetto Torricelli lo spieghi con l'equazione di Bernoulli perchè è un effetto dinamico, mentre la legge di Stevin vale nel caso statico, e le due equazioni seguono, di norma, convenzioni differenti.
Per convincertene, prova a calcolare la pressione sotto 20 metri d'acqua (per fare un esempio che non richieda calcoli che non siano a mente) usando le due equazioni e quindi i due modi diversi di orientare l'asse delle verticali.
Se usi la legge di Stevin (caso statico) sottintendi che le $h$ siano profondità e crescano verso il basso, e hai:
$p_1-rho g h_1=p_2-rho g h_2$, e allora se $p_0$ è la pressione alla profondità $h_0=0$ hai $p_0=p_h-rho g h$, alias : $p_h=p_0+rho g h $.
L'equivoco nasce da motivi contenuti nel titolo del 3d: l'effetto Torricelli lo spieghi con l'equazione di Bernoulli perchè è un effetto dinamico, mentre la legge di Stevin vale nel caso statico, e le due equazioni seguono, di norma, convenzioni differenti.
Per convincertene, prova a calcolare la pressione sotto 20 metri d'acqua (per fare un esempio che non richieda calcoli che non siano a mente) usando le due equazioni e quindi i due modi diversi di orientare l'asse delle verticali.
Mi spiego meglio. Di regola, nella dimostrazione dell'equazione di Bernoulli ci si serve di questi termini:
$L_{\text{peso}}+L_{\text{pressione}}=\DeltaE_k$, dove
$L_{\text{peso}}=-\DeltaE_p=-mg(h_2-h_1)=-\rho gV(h_2-h_1)$
$L_{\text{pressione}}=p_1\cdot S_1v_1dt-p_2\cdot S_2v_2dt=p_1\cdotV-p_2\cdotV$
$\DeltaE_k=1/2mv_2^2-1/2mv_1^2=1/2\rhoV(v_2^2-v_1^2)$
Quindi $-\rhogV(h_2-h_1)+p_1V-p_2V=1/2\rhoV(v_2^2-v_1^2)\implies -\rhog(h_2-h_1)+p_1-p_2=1/2\rho(v_2^2-v_1^2)$
Nel nostro caso abbiamo invece
$-\rhog(h_2-h_1)+p_1-p_2=0$, che diventerebbe
$\rhog(h_2-h_1)+p_1-p_2=0$
Secondo quanto mi hai detto, ho capito bene?
Sì se le $h_k$ sono pensate come profondità (cioè crescenti verso il basso).
sono arrivato a questo risultato constatando che, con le coordinate rivolte verso il basso, $(h_2-h_1)$ diventa $(-h_2-(-h_1)) =(-h_2+h_1) = -(h_2-h_1)$, e questa è la causa del cambiamento del segno.. Che ne dici?
Direi di sì, ma comunque se devi risolvere un problema di pressione idrostatica secondo me conviene ragionare sulla $p_h=p_0+\rho g h$ dove $h>0$ è da intendere come profondità, e lasciar perdere Bernoulli, che ha l'espressione consueta se le coordinate verticali sono crescenti verso l'alto.
Rispetto al tuo penultimo disegno: l'errore è nello scrivere $p_k$+$\rho g h_k$; metti un $-$ al posto del $+$, considera $h$ col segno che viene naturale dalla scelta dell'origine e vedi che le cose vanno a posto.
Rispetto al tuo penultimo disegno: l'errore è nello scrivere $p_k$+$\rho g h_k$; metti un $-$ al posto del $+$, considera $h$ col segno che viene naturale dalla scelta dell'origine e vedi che le cose vanno a posto.
"Palliit":
Direi di sì, ma comunque se devi risolvere un problema di pressione idrostatica secondo me conviene ragionare sulla $p_h=p_0+\rho g h$ dove $h>0$ è da intendere come profondità, e lasciar perdere Bernoulli, che ha l'espressione consueta se le coordinate verticali sono crescenti verso l'alto
quindi posso considerare la situazione con le coordinate crescenti verso il basso?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo