Legge di laplace
Essa correla la differenza di pressione attraverso una lamina o una membrana con la tensione superficiale nella membrana o nella lamina stessa.
Per una membrana sferica si ha $\DeltaP = ( P_interna - P_esterna ) = 2\tau/r$ ove $\tau$=tensione superficiale.
E fin qui, ok. Il libro vuole che per la membrana sferica conosciamo la derivazione della legge.
Fa pertanto l'esempio di una membrana emisferica in cui le forze dovute al $\Delta P$ si bilanciano in ogni punto tramite le loro componenti esclusa la faccia piana della membrana ove si concretizza una forza netta in un dato verso.
Essa é data dall'equazione $F= \DeltaP * \pi r^2 $. Perché il sistema resti stabile é tuttavia necessario che si eserciti una forza opposta a questa. Tale forza é esercitata dalla parete e consiste nella forza di tensione superficiale.
Si che si ha $\DeltaP * \pi r^2 = \tau 2\pi r$ >>> da cui >>> $\DeltaP = 2 \tau / r$ .
Che é definita come: legge di laplace per una membrana sferica.
DUBBIO 1°: il libro per derivare la legge usa una membrana emisferica dove le forze dovute al $\Delta P$ non sono bilanciate sulla faccia piana, ma in una membrana perfettamente sferica non si dovrebbero bilancia le componenti dovute a ogni $\DeltaP$ ?
Io credo di si, ma a questo punto su cosa andrebbe ad agire la tensione superficiale?
Mi fate un pò di chiarezza?
Per una membrana sferica si ha $\DeltaP = ( P_interna - P_esterna ) = 2\tau/r$ ove $\tau$=tensione superficiale.
E fin qui, ok. Il libro vuole che per la membrana sferica conosciamo la derivazione della legge.
Fa pertanto l'esempio di una membrana emisferica in cui le forze dovute al $\Delta P$ si bilanciano in ogni punto tramite le loro componenti esclusa la faccia piana della membrana ove si concretizza una forza netta in un dato verso.
Essa é data dall'equazione $F= \DeltaP * \pi r^2 $. Perché il sistema resti stabile é tuttavia necessario che si eserciti una forza opposta a questa. Tale forza é esercitata dalla parete e consiste nella forza di tensione superficiale.
Si che si ha $\DeltaP * \pi r^2 = \tau 2\pi r$ >>> da cui >>> $\DeltaP = 2 \tau / r$ .
Che é definita come: legge di laplace per una membrana sferica.
DUBBIO 1°: il libro per derivare la legge usa una membrana emisferica dove le forze dovute al $\Delta P$ non sono bilanciate sulla faccia piana, ma in una membrana perfettamente sferica non si dovrebbero bilancia le componenti dovute a ogni $\DeltaP$ ?
Io credo di si, ma a questo punto su cosa andrebbe ad agire la tensione superficiale?
Mi fate un pò di chiarezza?
Risposte
Lasciando in sospeso la parte superiore.
Stante l'equazione che il prodotto della tensione superficiale ha da essere pari al perimetro dell'area che si moltiplica per il deltaP, si crea un problema
Ipotizzando che in un dato sistema la pressione esterna si riduca a 0 e dunque il deltaP aumenti, cosa succede ?
Il libro prende come esempio una bolla sferica in cui la legge di Laplace é $\DeltaP = 4\tau/r$ e fa notare come dato $\tau$ costante l'unica soluzione apparente sarebbe la riduzione di r, mentre il raggio intuitivamente aumenti. [ spiega poi a colpi di equazione che in questo caso invece aumenta il raggio ma la pressione interna si riduce ]
Ora vorrei dimostrare in modo diverso cò che il testo dimostra a colpi di equazioni, voi dovresti convalidarmi.
$ P = \rhogh$ se assumiamo$ h = diametro $ abbiamo che la Pressione aumenta in modo proporzionale al raggio. $ \rho $ però é la densità, che é data da $ m/V $ e che dunque in una sfera ad esempio aumenta in modo proporzionale alla terza potenza del raggio. Quindi in definitiva si ha la riduzione di P data dal rapporto $ P_i / P_f = r_i^3 / r_f^3 $
ove il pedice i indica i valori al tempo iniziale, in cui al DeltaP contribuiva una certa pressione esterna, mentre il pedice f indica i valori al tempo finale, in cui la pressione esterna era stata idealmente annullatta in modo da dare un DeltaP maggiore e pari alla totalità dell'interna.
In ogni caso l'ampliamento della bolla proseguirà fino a dare l'equivalenza tra il prodotto di Pressione e area trasversa e tensione superficiale e perimetro. Ovvero con Laplace e per una bolla sferica $ P = 4\tau/r $
Tutto ok,ci sono appunti da farmi ? sempre grazie mille a chi risponde
Stante l'equazione che il prodotto della tensione superficiale ha da essere pari al perimetro dell'area che si moltiplica per il deltaP, si crea un problema
Ipotizzando che in un dato sistema la pressione esterna si riduca a 0 e dunque il deltaP aumenti, cosa succede ?
Il libro prende come esempio una bolla sferica in cui la legge di Laplace é $\DeltaP = 4\tau/r$ e fa notare come dato $\tau$ costante l'unica soluzione apparente sarebbe la riduzione di r, mentre il raggio intuitivamente aumenti. [ spiega poi a colpi di equazione che in questo caso invece aumenta il raggio ma la pressione interna si riduce ]
Ora vorrei dimostrare in modo diverso cò che il testo dimostra a colpi di equazioni, voi dovresti convalidarmi.
$ P = \rhogh$ se assumiamo$ h = diametro $ abbiamo che la Pressione aumenta in modo proporzionale al raggio. $ \rho $ però é la densità, che é data da $ m/V $ e che dunque in una sfera ad esempio aumenta in modo proporzionale alla terza potenza del raggio. Quindi in definitiva si ha la riduzione di P data dal rapporto $ P_i / P_f = r_i^3 / r_f^3 $
ove il pedice i indica i valori al tempo iniziale, in cui al DeltaP contribuiva una certa pressione esterna, mentre il pedice f indica i valori al tempo finale, in cui la pressione esterna era stata idealmente annullatta in modo da dare un DeltaP maggiore e pari alla totalità dell'interna.
In ogni caso l'ampliamento della bolla proseguirà fino a dare l'equivalenza tra il prodotto di Pressione e area trasversa e tensione superficiale e perimetro. Ovvero con Laplace e per una bolla sferica $ P = 4\tau/r $
Tutto ok,ci sono appunti da farmi ? sempre grazie mille a chi risponde
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