Legge di gravità.
Ragazzi come fareste a dimostrare che le orbite dei pianeti sono solo delle coniche utilizzando i principi di conservazione dell'energia e del momento angolare?
In particolare sapreste dimostrare che ogni forza che dipende dall'inverso del quadrato della distanza genera delle orbite coniche?
In particolare sapreste dimostrare che ogni forza che dipende dall'inverso del quadrato della distanza genera delle orbite coniche?
Risposte
si. praticamente è la dimostrazione di Newton della prima legge di Keplero... è una cosa piuttosto lunga. se hai qualche giorno di pazienza recupero il mio quaderno di Fisica I e te la scannerizzo...
Guarda, mi faresti un grande favore se la postassi.
Comunque mi pare che Newton parta direttamente dalla legge di Gravitazione universale mentre facendo delle considerazioni sulla conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare la dimostrazione si potrebbe accorciare di molto o sbaglio?
Comunque mi pare che Newton parta direttamente dalla legge di Gravitazione universale mentre facendo delle considerazioni sulla conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare la dimostrazione si potrebbe accorciare di molto o sbaglio?
le ipotesi sono le due conservazioni e appunto la legge della forza centrale proporzionale a 1/r^2, a turno vengono utilizzate tutte
se mal non ricordo, lo schema generale era questo:
1) considerare una base mobile associata alla traiettoria di un punto e dunque scrivere rispetto ad essa posizione, velocità, accelerazione
2) l'accelerazione ha solo componente tangenziale (visto che la forza è centrale) e può essere scritta come funzione delle derivate di r(t), compare inolte il momento angolare che essendo costante viene trattato in modulo come uno scalare
3) con un bel po' di conti si arriva ad un'equazione differenziale in 1/r, che risolta mostra come la traiettoria sia una conica
4) con la conservazione dell'energia si mostra come la conica sia un'ellisse nel caso di energia negativa, un'iperbole se E>0 e una parabola se E=0
se mal non ricordo, lo schema generale era questo:
1) considerare una base mobile associata alla traiettoria di un punto e dunque scrivere rispetto ad essa posizione, velocità, accelerazione
2) l'accelerazione ha solo componente tangenziale (visto che la forza è centrale) e può essere scritta come funzione delle derivate di r(t), compare inolte il momento angolare che essendo costante viene trattato in modulo come uno scalare
3) con un bel po' di conti si arriva ad un'equazione differenziale in 1/r, che risolta mostra come la traiettoria sia una conica
4) con la conservazione dell'energia si mostra come la conica sia un'ellisse nel caso di energia negativa, un'iperbole se E>0 e una parabola se E=0
Allora ... tanto per cominciare vorrei lamentarmi perchè hanno praticamente sradicato dal forum un topic aperto dal sottoscritto proprio sulla questione ... visto che alla fine sono riuscito a derivare la cosa a mano e da zero. 
peccato che dire ... ma veniamo a noi.
diciamo che stiamo in questa situazione:
se sai un po' di meccanica razionale, scrivi la Lagrangiana del sistema che dovrebbe essere una roba del tipo :
se fai qualche passaggio sotto al radicando ottieni:
però a questo punto si potrebbe pensare che l'effetto di uno dei corpi sull'altro sia trascurabile (un po' come della terra sul sole ... altrimenti diventa un po' più complicato risolvere il sistema di equazioni differenziali...): quindi la lagrangiana diventa:
se poi sfrutti il fatto che
per ottenere le equazioni differenziali hai il seguente sistema:
a questo punto si tratta di fare qualche integrale (bisogna integrare in modo furbo), ed ottieni sia le leggi di conservazione, che le orbite coniche ... se hai altre domande chiedi pure.
NOTE A MARGINE:
Detto in parole proprio spicciole, la Lagrangiana ti esprime la differenza tra l'energia cinetica totale del sistema e l'energia potenziale totale del sistema.
$r$ = velocità radiale
$theta$= velocità angolare
chiaramente quando faccio la supposizione semplificativa l'unica $r$ e $theta$ che rimangono sono quelle del corpo più piccolo ... praticamente $theta_m$ ed $r_m$
peccato che dire ... ma veniamo a noi.
diciamo che stiamo in questa situazione:
se sai un po' di meccanica razionale, scrivi la Lagrangiana del sistema che dovrebbe essere una roba del tipo :
se fai qualche passaggio sotto al radicando ottieni:
però a questo punto si potrebbe pensare che l'effetto di uno dei corpi sull'altro sia trascurabile (un po' come della terra sul sole ... altrimenti diventa un po' più complicato risolvere il sistema di equazioni differenziali...): quindi la lagrangiana diventa:
se poi sfrutti il fatto che
per ottenere le equazioni differenziali hai il seguente sistema:a questo punto si tratta di fare qualche integrale (bisogna integrare in modo furbo), ed ottieni sia le leggi di conservazione, che le orbite coniche ... se hai altre domande chiedi pure.
NOTE A MARGINE:
Detto in parole proprio spicciole, la Lagrangiana ti esprime la differenza tra l'energia cinetica totale del sistema e l'energia potenziale totale del sistema.
$r$ = velocità radiale
$theta$= velocità angolare
chiaramente quando faccio la supposizione semplificativa l'unica $r$ e $theta$ che rimangono sono quelle del corpo più piccolo ... praticamente $theta_m$ ed $r_m$
Avevo dimenticato totalmente di rispondere all'intervento di Real.
Non so cosa sia successo al tuo topic; se è stato aperto prima di Novembre 2005 può essere che sia andato perduto durante il trasferimento del forum, perchè non credo che sia stato eliminato se parlava solo di fisica.
Ritornando alla questione iniziale, volevo dirti che di meccanica razionale non so niente perchè ancora faccio la quinta liceo, tuttavia alla fine, applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare, sono arrivato a questa equazione:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10133
e da li, grazie all'aiuto di Karl, è venuto fuori tutto il resto.
Non so cosa sia successo al tuo topic; se è stato aperto prima di Novembre 2005 può essere che sia andato perduto durante il trasferimento del forum, perchè non credo che sia stato eliminato se parlava solo di fisica.
Ritornando alla questione iniziale, volevo dirti che di meccanica razionale non so niente perchè ancora faccio la quinta liceo, tuttavia alla fine, applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare, sono arrivato a questa equazione:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10133
e da li, grazie all'aiuto di Karl, è venuto fuori tutto il resto.
Tranquillo giuseppe, figurati ^_^ mi sa che è andato perduto durante il trasferimento ...è che c'erano i passaggi con qualche simulazione numerica ^_^.
Quanto all'integrale veniva fuori anche a me ^_^ ... però ripeto ... stiamo assumendo che l'influenza di un corpo sull'altro sia prossima a 0
Ah tra parentesi, avevo il duplicato del topic su oliforum ^_^ ecco il link ci sono un po' di passaggi ed altre cose dacci un occhiata ^_^
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... 666d89a9b1
Quanto all'integrale veniva fuori anche a me ^_^ ... però ripeto ... stiamo assumendo che l'influenza di un corpo sull'altro sia prossima a 0
Ah tra parentesi, avevo il duplicato del topic su oliforum ^_^ ecco il link ci sono un po' di passaggi ed altre cose dacci un occhiata ^_^
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... 666d89a9b1
"Rael":
Quanto all'integrale veniva fuori anche a me ^_^ ... però ripeto ... stiamo assumendo che l'influenza di un corpo sull'altro sia prossima a 0
Infatti all'inizio ho supposto $m<
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