Legge di Gauus

[dott.peppe]

Salve a tutti. Ho risolto alcuni esercizi sul teorema di Gauss che presentavano le classiche superfici con simmetrie (sfere, cilindri..etc) ho un forte dubbio però: mi trovo in difficoltà quando devo andare a considerare la carica interna se la voglio esplicitare; mi spiego meglio: per esempio in una sfera carica,(essendo la carica data dalla densita di carica per (volume o superfice o lunghezza) perchè talvolta prendo la superfice della sfera 4pigreca r quadro, e altre il volume? Per la superfice Gaussiana ,invece, devo considerare quella che stabilisco io ad arbitrio?e mi devo considerare sempre l'AREA della stessa?
Il problema sta nel determinare la carica quindi?

Fatemi capire

[Maurizio Zani]

Forse dipende da come è distribuita la carica in gioco

[dott.peppe]

"Maurizio Zani":Forse dipende da come è distribuita la carica in gioco

quindi se la traccia mi dice "distribuzione spaziale di carica devo considerare il volume? se dice superficiale l area?

[Maurizio Zani]

Mi sembra ragionevole

[dott.peppe]

"Maurizio Zani":Mi sembra ragionevole

va bene, ho un altro problema però...
se per esempio l esercizio mi da una distribuione spaziale di carica su una sfera e devo calcolare, tramite il flusso, il campo elettrico E per punti interni e per punti esterni come devo fare?
Cosa cambia?per i punti esterni la superfice gaussiana sigma è data , per esempio, da 4pigrecaR ,indicando con R il raggio della mia sfera esterna no?
E se ho il caso di tre condensatori sferici concentrici? e devo calcolare il campo nei tre strati, come faccio?

[alle.fabbri]

Nel caso di una distribuzione sferica di carica (densità $\rho$ e raggio $R$) come giustamente dicevi tu devi distinguere le due regioni. All'esterno, come superficie di Gauss prendi una superficie sferica di raggio $r>R$ e ti viene il solito risultato di Coulomb. Infatti hai che
$Q/\epsilon_0 = 4 \pi r^2 E(r)$
e dunque
$E(r) = Q/(4 \pi\epsilon_0) 1/ r^2$

All'interno prendi sempre una superficie sferica ma di raggio $r $1/\epsilon_0 \rho 4/3 \pi r^3 = 4 \pi r^2 E(r)$
cioè
$E(r) = \rho/(3 \epsilon_0) r$

Quindi in conclusione
$E(r) = \{(\rho/(3 \epsilon_0) r \qquad rR):}$

E' carino notare che a dispetto della sua forma "a tratti" il campo è continuo per $r=R$.

[dott.peppe]

"alle.fabbri":Nel caso di una distribuzione sferica di carica (densità $\rho$ e raggio $R$) come giustamente dicevi tu devi distinguere le due regioni. All'esterno, come superficie di Gauss prendi una superficie sferica di raggio $r>R$ e ti viene il solito risultato di Coulomb. Infatti hai che
$Q/\epsilon_0 = 4 \pi r^2 E(r)$
e dunque
$E(r) = Q/(4 \pi\epsilon_0) 1/ r^2$

All'interno prendi sempre una superficie sferica ma di raggio $r $1/\epsilon_0 \rho 4/3 \pi r^3 = 4 \pi r^2 E(r)$
cioè
$E(r) = \rho/(3 \epsilon_0) r$

Quindi in conclusione
$E(r) = \{(\rho/(3 \epsilon_0) r \qquad rR):}$

E' carino notare che a dispetto della sua forma "a tratti" il campo è continuo per $r=R$.

Ti ringrazio per la risposta, è quella a cui ero arrivato...però non capisco una cosa:questo santo raggio r piccolo, è il raggio di un punto P generico esterno alla sfera? oppure per r Non so se ti è chiaro cosa voglio dire..fammi sapere

[alle.fabbri]

Ehm.....non mi è molto chiaro....
Allora $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ è la distanza del punto P, cioè del punto in cui vuoi calcolare il campo elettrico, dal centro della sfera. Siccome il campo cambia a seconda della posizione del punto P devi distinguere i due casi. Ti ho risposto?

[dott.peppe]

"alle.fabbri":Ehm.....non mi è molto chiaro....
Allora $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ è la distanza del punto P, cioè del punto in cui vuoi calcolare il campo elettrico, dal centro della sfera. Siccome il campo cambia a seconda della posizione del punto P devi distinguere i due casi. Ti ho risposto?

mmm si più o meno..
in soldoni, quando l esercizio mi chiede di calcolare il campo E per punti interni, se voglio esplicitarmi la carica interna, devo considerare la densità (sigma o rho) moltiplicata rispettivamente per l area o per il volume e queste due ultime grandezze le devo esprimere facendo uso del mio raggio (che chiamiamo r piccolo) della sfera?il raggio R "grande" non mi serve più?

[Maurizio Zani]

Quella che ti serve è la carica all'interno della superficie di Gauss, quindi nel tuo caso
- se prendi una superficie di Gauss con r < R, la carica è solo quella contenuta nella sfera di raggio r
- se prendi una superficie di Gauss con r > R, lo spazio che ti avanza tra R ed r non contiene carica, e quindi quest'ultima la calcoli sino a R

[dott.peppe]

"Maurizio Zani":Quella che ti serve è la carica all'interno della superficie di Gauss, quindi nel tuo caso
- se prendi una superficie di Gauss con r < R, la carica è solo quella contenuta nella sfera di raggio r
- se prendi una superficie di Gauss con r > R, lo spazio che ti avanza tra R ed r non contiene carica, e quindi quest'ultima la calcoli sino a R

perfetto,quindi nel primo caso mi trovo nella condizione di punti interni e nel secondo di punti esterni.grazie.

un altra domanda, se ho invece una distribuzione lineare di carica su una sfera, solamente sul bordo, se volessi calcolare il flusso all interno, esso non è zero? (poichè non c'è carica interna?)

[Maurizio Zani]

Volevi dire superficiale (parli di sfera)?

[dott.peppe]

"Maurizio Zani":Volevi dire superficiale (parli di sfera)?

sulla superfice esterna

[Maurizio Zani]

In questo caso è nullo.

[dott.peppe]

grazie 1000 a tutti.

[giolb10]

ciao a tutti, scusate se rianimo la discussione dopo tanto tempo, avrei una domanda da porvi riguardo all'esempio proposto in questa discussione, se siamo in un conduttore perchè il campo E non è nullo (all'interno della sfera), mi spiego: in un conduttore il campo è sempre nullo quindi ho giustificato il vostro risultato( a me stesso) convincendomi si trattasse di una distribuzione volumetrica, ma anche così non mi convince molto, una delle proprietà del conduttore è quella di ridistribuire gli elettroni di conduzione sulla superficie, quindi anche se si trattasse di una distribuzione volumetrica se si sta parlando di un conduttore allora per il ragionamento fatto prima non si può avere una distribuzione volumetrica in un conduttore, perchè la carica si può distribuire solo sulla superficie.
quindi vi chiedo qual'è sia il giusto ragionamento?
grazie mille

[enr87]

in effetti non si può parlare di carica volumetrica riguardo ad un conduttore isolato, essendo quest'ultimo in equilibrio elettrostatico. in caso contrario, sarebbe falso il teorema di gauss, il che non è possibile

[giolb10]

quindi in questo caso? perchè si ha un campo all'interno della sfera?

[Sk_Anonymous]

Se si parla di una sfera conduttrice di raggio $R$ e carica $Q$, allora devi supporre una densità superficiale di carica $\sigma=Q/(4\piR^2).

Se si parla di una sfera isolante di raggio $R$ e carica $Q$, allora devi supporre una densità volumetrica di carica $\rho=Q/(4/3\piR^3).

Non capisco di quale caso stai parlando, se hai un campo elettrico interno diverso da zero allora non puoi avere un conduttore in equilibrio elettrostatico.

[giolb10]

l'esempio di calcolo che ha fatto alle.fabbri che ha diviso il campo in due parti (interno alla sfera ed esterno) io mi chiedo come mai il campo interno alla sfera sia diverso da 0? non siamo in presenza di un conduttore (quindi E=0), poi come è possibile avere una distribuzione volumetrica di carica in un conduttore se gli eletroni di conduzione si ridistribuiscono sulla superficie per mantenere il campo nullo?

[Sk_Anonymous]

Forse non è stato detto esplicitamente, ma in questo caso si assume una sfera isolante e quindi una densità di carica volumetrica. Tra l'altro, quel conto è alla base del primo modello atomico di Thompson, il modello a panettone.