Legge di Faraday: Flusso di una spira tra due solenoidi coassiali
Salve, scrivo questo problema perchè non riesco a trovare il flusso e non ho la soluzione.
Due solenoidi di lunghezza $L=1m$ e di raggio $r=0,1m$ e $R=0,2m$ con il numero di spire $N=10^4$ sono disposti in modo da risultare coassiali l'uno dentro l'alro e percorsi dalla stessa corrente, ma in verso opposto, $I'I_o sen (omega t)$ con $I_o =10A$ e $omega=10^3 s^-1$.
Calcolare la f.e.m indotta in una spira circolare di raggio $a=0,15m$ coassiale con i due solenoidi.
Credo che la situazione sia questa:
Il problema è tutto nel determinare i flussi che agiscono sulla spira. Non riesco ad impostare l'integrale di flusso:
$Phi_B = int_(s) B *vecn ds $
Non riesco a capire come agiscono i campi provocati dai due solenoidi sulla spira, di conseguenza non riesco ad impostare l'integrale.
Qualcuno può darmi uno spunto?
Grazie per l'aiuto!
Due solenoidi di lunghezza $L=1m$ e di raggio $r=0,1m$ e $R=0,2m$ con il numero di spire $N=10^4$ sono disposti in modo da risultare coassiali l'uno dentro l'alro e percorsi dalla stessa corrente, ma in verso opposto, $I'I_o sen (omega t)$ con $I_o =10A$ e $omega=10^3 s^-1$.
Calcolare la f.e.m indotta in una spira circolare di raggio $a=0,15m$ coassiale con i due solenoidi.
Credo che la situazione sia questa:
Il problema è tutto nel determinare i flussi che agiscono sulla spira. Non riesco ad impostare l'integrale di flusso:
$Phi_B = int_(s) B *vecn ds $
Non riesco a capire come agiscono i campi provocati dai due solenoidi sulla spira, di conseguenza non riesco ad impostare l'integrale.
Qualcuno può darmi uno spunto?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Beh, sai che, trascurando gli effetti di bordo (e suppongo che la spira sia messa sufficientemente lontana dalla fine dei due solenoidi) il campo magnetico dentro un solenoide ha solo componente z (e la sua espressione si trova su tutti i libri), la spira è proprio perpendicolare all'asse z, un elementino di area in coordinate polari è r dr dφ, integra il campo magnetico risultante in quell'area (ovvero trovati i flussi separatamente e poi sommali algebricamente) e il giuoco dovrebbe essere fatto...
Mi sembra che il calcolo del flusso concatenato con la spira non richieda l'uso di integrali. Infatti il campo magnetico è uniforme all'interno di un solenoide infinito, con direzione quella dell'asse del solenoide stesso, ed è nullo all'esterno. Quindi il campo è perpendicolare alla superficie.
Perciò il flusso concatenato con la spira dovuto al solenoide interno è
$Phi_(B1)=B_1*s=mu_0 N/L I_1 pi r^2=mu_0 pi N/L r^2 I_0sin(omegat )$.
Invece il flusso concatenato con la spira dovuto al solenoide esterno è
$Phi_(B2)=B_2*S=mu_0 N/L I_2 pi a^2=-mu_0 pi N/L a^2 I_0sin(omegat )$.
Il flusso totale è la somma dei due precedenti
$Phi_B=mu_0 pi N/L (r^2-a^2) I_0sin(omegat )$.
Perciò il flusso concatenato con la spira dovuto al solenoide interno è
$Phi_(B1)=B_1*s=mu_0 N/L I_1 pi r^2=mu_0 pi N/L r^2 I_0sin(omegat )$.
Invece il flusso concatenato con la spira dovuto al solenoide esterno è
$Phi_(B2)=B_2*S=mu_0 N/L I_2 pi a^2=-mu_0 pi N/L a^2 I_0sin(omegat )$.
Il flusso totale è la somma dei due precedenti
$Phi_B=mu_0 pi N/L (r^2-a^2) I_0sin(omegat )$.
Sicuramente in questo caso non e' necessario l'uso di integrali, ma credo che comunque anche ragionare con un integrale di superificie da cui tirare fuori il campo magnetico, costante, non fa nemmeno male, ovvero
data una corrente dipendente dal tempo [tex]I=I(t)[/tex] che percorre un solenoide, abbiamo che, all'interno del solenoide e trascurando gli effetti di bordo
[tex]\oint{\vec B\cdot d\vec l}\ =\ \mu_0 I(t)\ \rightarrow\ B_z\ =\ \mu_0\ \frac{N}{l} I(t)[/tex]
che, come si vede, non dipende dal punto, e quindi e' costante nello spazio all'interno del solenoide, di conseguenza
[tex]\Phi(\vec B)\ =\ \int{\vec B\ \cdot\ d\vec S}\ =\ \int{B_z\ r\ dr\ d\phi}\ =\ \mu_0\ \frac{N}{l} I(t)\ \int{r\ dr\ d\phi}\ =\ \mu_0\ \frac{N}{l} I(t) \pi r^2[/tex]
e poi via discorrendo ...
data una corrente dipendente dal tempo [tex]I=I(t)[/tex] che percorre un solenoide, abbiamo che, all'interno del solenoide e trascurando gli effetti di bordo
[tex]\oint{\vec B\cdot d\vec l}\ =\ \mu_0 I(t)\ \rightarrow\ B_z\ =\ \mu_0\ \frac{N}{l} I(t)[/tex]
che, come si vede, non dipende dal punto, e quindi e' costante nello spazio all'interno del solenoide, di conseguenza
[tex]\Phi(\vec B)\ =\ \int{\vec B\ \cdot\ d\vec S}\ =\ \int{B_z\ r\ dr\ d\phi}\ =\ \mu_0\ \frac{N}{l} I(t)\ \int{r\ dr\ d\phi}\ =\ \mu_0\ \frac{N}{l} I(t) \pi r^2[/tex]
e poi via discorrendo ...
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