Lavoro (problemi di teoria)
Ciao di nuovo,
in questo mio primo approccio alla meccanica trovo spesso dubbi stupidi e vorrei chiarire con vuoi un problema riguardo il sistema di riferimento e il lavoro. E' un problema di cui mi accorgo solo ora pur avendo studiato qualche settimana fa l'argomento e credevo di averlo capito.
Il lavoro è, detto brutalmente, $L=\vecF*vec(\DeltaS)$ passo poi al caso differenziale ma vorrei partire con un ragionamento intuitivo.
Questo prodotto scalare posso farlo in due modi: a) per componenti dei vettori (fissato il sistema di riferimento ortonormale) o b) con la nota: $L=|\vecF||\vec(\DeltaS)|cos(theta)$ con $theta$ angolo compreso, senza chiamare in causa il sdr.
Mi piacerebbe partire da due esempi e mostrarvi il ragionamento, sperando qualcuno possa dirmi dove sbaglio perché mi sembra di continuare a girarci attorno.
1)
L'idea è avere un caso come in figura, la massa grande "M" considerata "ferma" per semplicità e la massettina "m" che si sposta da "A" a "B" (punti). In questo caso considero il sistema di riferimento con l'asse uscente da O verso dx (freccetta dell'asse).
Procediamo..
applichiamo il prodotto scalare come visto in b), quindi, $F(-\DeltaS)cos0$, perché quel meno? beh perché stiamo parlando di valori assoluti (moduli) e $F=G(mM)/r^2$ numericamente ed è positivo, quindi la funzione valore assoluto restituisce F, mentre per $\Deltas$ ci metterò un meno, infatti $\DeltaS=S_b-S_a$ che è negativo poiché il punto B più vicino all'origine.
-----------
$|\Deltas|=\Deltas if \Deltas>=0$
$|\Deltas|=-\Deltas if \Deltas<0$
-----------
Possiamo altresì usare la metodologia (per componenti e non usare il coseno) descritta in a), quindi: $-F(-(-\DeltaS))$ ove $(-\DeltaS)$ è di nuovo il valore numerico positivo del delta sullo spostamente e i segni meno stanno a significare che sia il vetore $\vecF$ che $\vec\(DeltaS)$ sono diretti verso l'origine (spostamento verso O e forza verso O attrattiva). Insomma ho descritto con scalari con segno i vettori.
I due modi di vedere le cose tornano a meraviglia, inoltre passando all' "infinitamente piccolo" (questa votla considerando F costante lungo il tragitto econsideriamola ancora attrattiva):
(posso ancora ragioanre come $ds$ fosse un $Deltas$ infinitesimo
$L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=\int_A^B -Fdscos0$, come visto, da cui, infine: $\int_A^B -Fds=-F\int_A^B ds=-F\Deltas$
Il problema però sorge se considero il caso 2) in figura
b) $F(\DeltaS)cos0$, perché manca ill meno? Stiamo ancora parlando di valori assoluti (norme di vettori) ma se $F=G(mM)/r^2$ numericamente ed è positivo, questa volta anche per $\DeltaS$ abbiamo positività, infatti $\DeltaS=S_b-S_a$ ma l'origine stavolta è a dx, quindi la differenza è positiva.
a) Ragionando con il sdr e componenti, anche qui avremo: $F\DeltaS$ -eh sì, qui è tutto positivo- spostamenti, forze vanno nella direzione della freccetta "asse"(sempreconcorde).
Purtroppo però $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=\int_A^B Fdscos0$ che nell'assunzione di F ancora costante e attrattiva (la stessa dell'esempio 1, per intenderci) $\int_A^B Fdscos0=f\Deltas$ e mi crea problemi perché io so che per il caso attrattivo $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)$ è sempre $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=-F\Deltas$
Dove sbaglio?
in questo mio primo approccio alla meccanica trovo spesso dubbi stupidi e vorrei chiarire con vuoi un problema riguardo il sistema di riferimento e il lavoro. E' un problema di cui mi accorgo solo ora pur avendo studiato qualche settimana fa l'argomento e credevo di averlo capito.
Il lavoro è, detto brutalmente, $L=\vecF*vec(\DeltaS)$ passo poi al caso differenziale ma vorrei partire con un ragionamento intuitivo.
Questo prodotto scalare posso farlo in due modi: a) per componenti dei vettori (fissato il sistema di riferimento ortonormale) o b) con la nota: $L=|\vecF||\vec(\DeltaS)|cos(theta)$ con $theta$ angolo compreso, senza chiamare in causa il sdr.
Mi piacerebbe partire da due esempi e mostrarvi il ragionamento, sperando qualcuno possa dirmi dove sbaglio perché mi sembra di continuare a girarci attorno.
1)
L'idea è avere un caso come in figura, la massa grande "M" considerata "ferma" per semplicità e la massettina "m" che si sposta da "A" a "B" (punti). In questo caso considero il sistema di riferimento con l'asse uscente da O verso dx (freccetta dell'asse).
Procediamo..
applichiamo il prodotto scalare come visto in b), quindi, $F(-\DeltaS)cos0$, perché quel meno? beh perché stiamo parlando di valori assoluti (moduli) e $F=G(mM)/r^2$ numericamente ed è positivo, quindi la funzione valore assoluto restituisce F, mentre per $\Deltas$ ci metterò un meno, infatti $\DeltaS=S_b-S_a$ che è negativo poiché il punto B più vicino all'origine.
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$|\Deltas|=\Deltas if \Deltas>=0$
$|\Deltas|=-\Deltas if \Deltas<0$
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Possiamo altresì usare la metodologia (per componenti e non usare il coseno) descritta in a), quindi: $-F(-(-\DeltaS))$ ove $(-\DeltaS)$ è di nuovo il valore numerico positivo del delta sullo spostamente e i segni meno stanno a significare che sia il vetore $\vecF$ che $\vec\(DeltaS)$ sono diretti verso l'origine (spostamento verso O e forza verso O attrattiva). Insomma ho descritto con scalari con segno i vettori.
I due modi di vedere le cose tornano a meraviglia, inoltre passando all' "infinitamente piccolo" (questa votla considerando F costante lungo il tragitto econsideriamola ancora attrattiva):
(posso ancora ragioanre come $ds$ fosse un $Deltas$ infinitesimo
$L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=\int_A^B -Fdscos0$, come visto, da cui, infine: $\int_A^B -Fds=-F\int_A^B ds=-F\Deltas$
Il problema però sorge se considero il caso 2) in figura
b) $F(\DeltaS)cos0$, perché manca ill meno? Stiamo ancora parlando di valori assoluti (norme di vettori) ma se $F=G(mM)/r^2$ numericamente ed è positivo, questa volta anche per $\DeltaS$ abbiamo positività, infatti $\DeltaS=S_b-S_a$ ma l'origine stavolta è a dx, quindi la differenza è positiva.
a) Ragionando con il sdr e componenti, anche qui avremo: $F\DeltaS$ -eh sì, qui è tutto positivo- spostamenti, forze vanno nella direzione della freccetta "asse"(sempreconcorde).
Purtroppo però $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=\int_A^B Fdscos0$ che nell'assunzione di F ancora costante e attrattiva (la stessa dell'esempio 1, per intenderci) $\int_A^B Fdscos0=f\Deltas$ e mi crea problemi perché io so che per il caso attrattivo $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)$ è sempre $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=-F\Deltas$
Dove sbaglio?
Risposte
Fai confusione . Lascia perdere l’asse e il suo orientamento . Nella formula : $dL = F*ds*costheta$, prendi i moduli della forza e dello spostamento, e moltiplica per $costheta$ : il segno è determinato dal valore di $theta$, fino a $\pi/2$ il coseno è positivo, oltre $\pi/2$ il coseno é negativo.
D’altronde , questa è la definizione di prodotto scalare di due vettori: $dL =vecF*vec(ds)$
D’altronde , questa è la definizione di prodotto scalare di due vettori: $dL =vecF*vec(ds)$
Innanzitutto ti ringrazio per avermi dato retta su un argomento molto semplice e per avermi risposto.
Sono d'accordo con te che faccio confusione, e sono ancora più d'accordo quando dici che il coseno cambia di segno oltre i $pi/2$, tuttavia, così facendo, essendo ds uno spostamento infinitesimo e dato che mi sposto da A a B, allora F e ds sono equiversi quindi avrei coseno pari a 1 in $\vecdL=\vecF⃗ ⋅\vecds$ e l'itegrale è la "somma" da A a B dei vari ds equiversi a F nel prodotto scalare.
A meno che $\vecds$ non lo prenda in verso opposto a F, ma non capisco perché dovrebbe avere segno opposto, infatti al finito sarebbe $\sum \vecF*\vec\DeltaS*cos0$, idem con l'estensione al continuo dell'integrale.
Sono d'accordo con te che faccio confusione, e sono ancora più d'accordo quando dici che il coseno cambia di segno oltre i $pi/2$, tuttavia, così facendo, essendo ds uno spostamento infinitesimo e dato che mi sposto da A a B, allora F e ds sono equiversi quindi avrei coseno pari a 1 in $\vecdL=\vecF⃗ ⋅\vecds$ e l'itegrale è la "somma" da A a B dei vari ds equiversi a F nel prodotto scalare.
A meno che $\vecds$ non lo prenda in verso opposto a F, ma non capisco perché dovrebbe avere segno opposto, infatti al finito sarebbe $\sum \vecF*\vec\DeltaS*cos0$, idem con l'estensione al continuo dell'integrale.
A meno che $vecds$ non lo prenda in verso opposto a F,
E perchè ? Se il punto mobile cade verso terra, la forza peso fa lavoro positivo. Pensa alla fisica, prima che alle formule.
"Shackle":A meno che $vecds$ non lo prenda in verso opposto a F,
E perchè ? Se il punto mobile cade verso terra, la forza peso fa lavoro positivo. Pensa alla fisica, prima che alle formule.
Hai giustamente ragione
, però mi perdo nelle formule infatti (o meglio i dannati segni), perché sul libro fa un esempio identico a fig1 e scrive: $\int_A^B\vecF*\vecds=-\int_A^BFds$ e qui sono nati tutti i dubbi..Che in effetti funziona il suo mettere il segno meno: $-F\int_A^Bds=-F\Deltas$ e se prendo il sistema di riferimento di cui parlavo viene in effetti positivo (poiché delta s è negativo)
"giangianni":
Hai giustamente ragione
Che in effetti funziona il suo mettere il segno meno: $-F\int_A^Bds=-F\Deltas$ e se prendo il sistema di riferimento di cui parlavo viene in effetti positivo (poiché delta s è negativo)
Il primo segno $-$ , non è altro che il $cos180º = -1$ . Guarda il membro di sinistra : c'è il prodotto scalare di $vecF$ con $vecds$ , no ?
Perciò alla fine funziona...
applichiamo il prodotto scalare come visto in b), quindi, F(−ΔS)cos0, perché quel meno? beh perché stiamo parlando di valori assoluti (moduli) e F=GmMr2 numericamente ed è positivo, quindi la funzione valore assoluto restituisce F, mentre per Δs ci metterò un meno, infatti ΔS=Sb−Sa che è negativo poiché il punto B più vicino all'origine.
A prescindere dalle giuste osservazioni di shackle,io non ho ben capito il tuo modo di ragionare.
Se hai un vettore $vec {Delta S} $ quando scrivi $Delta S= |vec{Delta S}|$ quello è un numero positivo punto e basta.Perché tiri in ballo la definizione di valore assoluto di un numero reale?
@shacke: aspetta, ma quindi il vettore ds è opposto a F? Fissiamo F che sia diretta a sx dato che ho massamaggiore M e che la particella piccola si avvicini -spostandosi a sx- alla massa M, (graficamente M<----m, F<----, B<----A, ds<------).
La mia idea era prendere ds come un vettore che punta a sx se mi sposto da A piu a dx di B, e con freccetta opposta (verso dx) se B più a dx di A. Forse sta qui il problema. E che il simbolo di integrale fosse poi una "somma di tutti questi pezzettini".
Invece mi pare di capire che mi stai dicendo: "guarda che il vettore ds, comunque ti sposti, è direto sempre a dx, ma perché?
@Brufus: Perché $\Deltas$ nasce come $S_b-S_a$, scrivere $\Deltas$ vuol dire prendi il punto B e sottrailo ad A, quindi a secodna del sdr potrebbe essere che BA e la differenza sia segno diverso.
La mia idea era prendere ds come un vettore che punta a sx se mi sposto da A piu a dx di B, e con freccetta opposta (verso dx) se B più a dx di A. Forse sta qui il problema. E che il simbolo di integrale fosse poi una "somma di tutti questi pezzettini".
Invece mi pare di capire che mi stai dicendo: "guarda che il vettore ds, comunque ti sposti, è direto sempre a dx, ma perché?
@Brufus: Perché $\Deltas$ nasce come $S_b-S_a$, scrivere $\Deltas$ vuol dire prendi il punto B e sottrailo ad A, quindi a secodna del sdr potrebbe essere che BA e la differenza sia segno diverso.
@giangianni
Prodotto scalare, devi fare!!!
Prodotto scalare, devi fare!!!
@giangianni
Perché nell'esempio iniziale la forza la prendi in modulo e quindi sempre positiva?
ll lavoro in realtà si definisce come un integrale di linea lungo un certo percorso, e la forza è un vettore.
Nei casi semplici che hai posto tu va considerato il segno per le componenti della forza a seconda se le sue componenti sono positive o meno rispetto agli assi del riferimento.
Perché nell'esempio iniziale la forza la prendi in modulo e quindi sempre positiva?
ll lavoro in realtà si definisce come un integrale di linea lungo un certo percorso, e la forza è un vettore.
Nei casi semplici che hai posto tu va considerato il segno per le componenti della forza a seconda se le sue componenti sono positive o meno rispetto agli assi del riferimento.
"Shackle":
@giangianni
Prodotto scalare, devi fare!!!
Eh sì, ma se ds è equiverso a F, il prodotto scalare ha coseno pari a cos0=1
. Il punto è che probabilmente ds, come lo vedi tu, nell'esempio in figura ha verso opposto a F, ma non capisco perché immaginandolo come un "piccolo" vettore infinitesimo: io vedo F e ds nella stessa direzione!Penso sia qui l'errore (che era quel che volevo dire nel post precedente).
Perché nell'esempio iniziale la forza la prendi in modulo e quindi sempre positiva?
In realtà ho descritto un modo a) e b) Nel caso iniziale cui ti riferisci 1-b) (non so perché ho iniziato da b anziché a
) ho usato la versione del prodotto scalare non per componenti, ma col coseno: quindi devo fare Modulo dei vettori per coseno: ecco perché F è positiva.Nel caso 1-a), invece, ove considero il prodotto scalare per componenti e fissato il sdr metto proprio il sengo negativo come giustamente osservi
@Brufus: Perché Δs nasce come Sb−Sa, scrivere Δs vuol dire prendi il punto B e sottrailo ad A, quindi a secodna del sdr potrebbe essere che BA e la differenza sia segno diverso.
Rileggi bene quello che ha scritto Faussone.Quella è la giusta definizione di lavoro di un campo vettoriale lungo un sostegno.
Secondo mei stai facendo confusione su alcuni aspetti fondamentali delka matematica.La sottrazione di punti è un'operazione che si svolge in uno spazio affine.Non confondere la sottrazione di coordinate (che sono numeri) con la sottrazione di punti.Inoltre ti invito a non confondere la norma di un vettore ed il modulo di uno scalare.Stai mischiando tutti questi concetti assieme appassionatamente.
@Brufus
Però il punto èche io sto facendo meccanica e non ho ancora fatto gli integrali di linea formalmente bene, uso le definizioni del mazzoldi che li una in modo un po' naif credo. ma d'altra parte al primo anno non ho ancora fatto analisi 2!
Perquanto riguarda i moduli e norme è vero, in realtà ho pasticciato e me ne sono reso conto dopo. Il concetto però è che volevo manterene la positività ed essendo in una dimensione (ho solo un asse) alla fine potrei accomunarli.
Hai ragione anche sulla sottrazione di coordinate, ovviamente, ho usato impropriamente il termine.Però il sesno dovrebbe funzionare comunque (rileggendo correttamente con "coordinata" anziché "punto") sbaglio?
Ti ringrazio per le correzioni
Però il punto èche io sto facendo meccanica e non ho ancora fatto gli integrali di linea formalmente bene, uso le definizioni del mazzoldi che li una in modo un po' naif credo. ma d'altra parte al primo anno non ho ancora fatto analisi 2!
Perquanto riguarda i moduli e norme è vero, in realtà ho pasticciato e me ne sono reso conto dopo. Il concetto però è che volevo manterene la positività ed essendo in una dimensione (ho solo un asse) alla fine potrei accomunarli.
Hai ragione anche sulla sottrazione di coordinate, ovviamente, ho usato impropriamente il termine.Però il sesno dovrebbe funzionare comunque (rileggendo correttamente con "coordinata" anziché "punto") sbaglio?
Ti ringrazio per le correzioni
L'operatore $Delta $ esegue delle sottrazioni formali. Se $vec F $è un campo vettoriale quando scrivi $Delta vec F $ hai trovato il vettore risultato,figlio della sottrazione vettoriale.Se ora usi l'operatore NORMA $|| vec {Delta F}||= Delta F $ il simbolo $Delta F $ ora è diventato un carattere tipografico che rappresenta un numero positivo. In questa scrittura tipografica il simbolo $Delta $ non significa più niente,non è l'operatore di sottrazione di un fantomatico campo scalare $F $.
Un esempio ti aiuta.
Considera una forza (che e' in realtà' un campo di forze) e tu hai il valore di questo campo nel punto P(x, y)
F(x,y) = 4yi - 5xj
Ora considera una curva, $ gamma _1 $ tipo un arco di parabola che si trova al di sotto dell'asse delle x
$ y=x^2-4 $
Poni $ x= -t $ , nella forza la x ha segno meno
$\gamma_1(t) = ( t, t^2 - 4)$, con $t \in [-2,2]$
Ora la curva deve essere una curva regolare
$C^1$) $\gamma(t)= (\gamma_1(t), gamma_2(t))$, con $t \in [a,b]$
$\int_(gamma) F(x,y) ds := \int_a^b F(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) * (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t)) dt$
In pratica avrai
$\int_{gamma} F(x,y) ds = \int_(-2)^2 (4(t^2 - 4), 5t) *(-1, 2t)dt$
Fai il prodotto scalare, calcoli l'integrale e zac, fatto
Quando parlano di curve, devi intendere la parametrizzazione della curva
Quando parlano di supporto, intendono l'immagine della curva
Manca solo da dire che tutte le parametrizzazioni di una curva sono equivalenti
E che la curva e' regolare se la norma della derivata prima e' diversa da zero
Prova a farla
Considera una forza (che e' in realtà' un campo di forze) e tu hai il valore di questo campo nel punto P(x, y)
F(x,y) = 4yi - 5xj
Ora considera una curva, $ gamma _1 $ tipo un arco di parabola che si trova al di sotto dell'asse delle x
$ y=x^2-4 $
Poni $ x= -t $ , nella forza la x ha segno meno
$\gamma_1(t) = ( t, t^2 - 4)$, con $t \in [-2,2]$
Ora la curva deve essere una curva regolare
$C^1$) $\gamma(t)= (\gamma_1(t), gamma_2(t))$, con $t \in [a,b]$
$\int_(gamma) F(x,y) ds := \int_a^b F(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) * (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t)) dt$
In pratica avrai
$\int_{gamma} F(x,y) ds = \int_(-2)^2 (4(t^2 - 4), 5t) *(-1, 2t)dt$
Fai il prodotto scalare, calcoli l'integrale e zac, fatto
Quando parlano di curve, devi intendere la parametrizzazione della curva
Quando parlano di supporto, intendono l'immagine della curva
Manca solo da dire che tutte le parametrizzazioni di una curva sono equivalenti
E che la curva e' regolare se la norma della derivata prima e' diversa da zero
Prova a farla
Si Gabrio ma lui dice di non aver ancora studiato questi argomenti.
Io provo a precisare quello che ho scritto prima
$Delta vec F = vec {F (B)}-vec {F(A)}= vec {Delta F}.$
Ora bisogna osservare come il primo $Delta $ sia un operatore matematico e non abbia la freccia mentre il secondo $Delta $ è solo un simboletto grafico con cui ho chiamato il vettore risultato della sottrazione ed infatti ha la freccia sopra. Lui invece quando ne calcola la norma e scrive $Delta F $ utilizza il simbolo $Delta $ come sottrazione ma in verità adesso $Delta F $ è solo un numero positivo
Io provo a precisare quello che ho scritto prima
$Delta vec F = vec {F (B)}-vec {F(A)}= vec {Delta F}.$
Ora bisogna osservare come il primo $Delta $ sia un operatore matematico e non abbia la freccia mentre il secondo $Delta $ è solo un simboletto grafico con cui ho chiamato il vettore risultato della sottrazione ed infatti ha la freccia sopra. Lui invece quando ne calcola la norma e scrive $Delta F $ utilizza il simbolo $Delta $ come sottrazione ma in verità adesso $Delta F $ è solo un numero positivo
@gabrio: tutto molto bello ma, secondo me siamo su due piani molto diversi. Cercate di ricordare quando avete fatto il primo anno, io in analisi sto studiando gli integrali definiti secondo riemann per intenderci. Da quanto vedo gli integrali di linea li farò in analisi 2, non so nemmeno mettere mano in quel che dici, certo, affasciannte ma per me molto inutile. Se poi aggiungiamo che arrivo da un classico e la mia unica preparazione precedente di matematica è quella fatta questa estate recluso in casa a correre contro il tempo per cercare di colmare il gap con uno scientifico, capirai i problemi XD. Perdona l'ignoranza nel non capirti.
@brufus: ho capito l'errore che hai sottolineato e ora concordo appieno con te ora. Il fatto che il discorso di meterci il meno era uscito perché volevo giungere (nell'esempio di figura 1) al risultato del libro dove dice che nell'esempio l'integrale è fato da $\int_A^BF*d\vecs=\int_A^B-Fds$.
Ora provo a usare la tua notazione corretta, ma arrivo comunque a un errore:
$F*\Delta\vecS=F*\vec\(DeltaS)$, ora si aprono le due strade chedicevo:
a) per componenti:
il modulo della forza è F, è diretta in verso opposto all'asse, ergo: -F.
Per quanto riguarda $\vec(\DeltaS)$ metto il meno nella componente perché è diretto anche lui nel verso opposto all'asse. Non metto inmeno per questioni di norma, ma perché considero scalari con segno per indicarne il verso.
$=>-F(-\DeltaS)$ nessuna traccia del meno che dovrebbe starci. Che sia $Delta$ o l'invinitesmi $d$ cambia poco.
b) proviamo a usare il coseno:
$|\vecF| |\Delta\vecS| cos0$ cos0 perché equiversi, nessuna traccia del meno ancora.
E' come se shacke e faussone usassero il $d\vecs$ vettore diretto positivamente (questo è testimoniato dal fatto che a shacke esce un cos1, mentre a faussone una componente con segno + e una con segno -),ma non capisco perché dato che $\Delta\vecS$ è chiaramente equiverso a F.
@brufus: ho capito l'errore che hai sottolineato e ora concordo appieno con te ora. Il fatto che il discorso di meterci il meno era uscito perché volevo giungere (nell'esempio di figura 1) al risultato del libro dove dice che nell'esempio l'integrale è fato da $\int_A^BF*d\vecs=\int_A^B-Fds$.
Ora provo a usare la tua notazione corretta, ma arrivo comunque a un errore:
$F*\Delta\vecS=F*\vec\(DeltaS)$, ora si aprono le due strade chedicevo:
a) per componenti:
il modulo della forza è F, è diretta in verso opposto all'asse, ergo: -F.
Per quanto riguarda $\vec(\DeltaS)$ metto il meno nella componente perché è diretto anche lui nel verso opposto all'asse. Non metto inmeno per questioni di norma, ma perché considero scalari con segno per indicarne il verso.
$=>-F(-\DeltaS)$ nessuna traccia del meno che dovrebbe starci. Che sia $Delta$ o l'invinitesmi $d$ cambia poco.
b) proviamo a usare il coseno:
$|\vecF| |\Delta\vecS| cos0$ cos0 perché equiversi, nessuna traccia del meno ancora.
E' come se shacke e faussone usassero il $d\vecs$ vettore diretto positivamente (questo è testimoniato dal fatto che a shacke esce un cos1, mentre a faussone una componente con segno + e una con segno -),ma non capisco perché dato che $\Delta\vecS$ è chiaramente equiverso a F.
@giangianni,
Mi sembra che tiincasini troppo sui segni, come per le forze apparenti,
Hai messo il sistema di riferiemto? Hai fatto il 99 % del lavoro.
CASO A
Asse diretto verso la massa grande.
La forza e' diretta verso sx (concorde all asse x). E' positiva.
Quindi $L=intvecF*dvecs=Fint_a^bds=F(b-a)$
Intendendo ovviamente can a e b le coordiante di A e di B.
Esamina i casi possibili
F>0 b>a (il corpo si avvicina alla massa M). Lavoro positivo della forza (e' un corpo che cade se F e' la forza di gravita)
F>0 b
CASO B
Inverti la direzione dell'asse per il caso B (asse da sx verso dx). La forza, se e' attrattiva, e' ora negativa, perche verso sinistra, quindi:
$L=intvecF*dvecs=-Fint_a^bds=-F(b-a)$
se b>a (il corpo si allontana), Lavoro negativo (analogo del corpo lanciato in aria)
se a>b Lavoro positivo. Corpo che cade liberamente.
Ovviamente, non lo faccio, vale anche se la forza e' repulsiva, perche ora il lavoro diventa $F(b-a)$ e quindi se b>a, il corpo si allontana accelerando perche il lavoro della forza e' positivo. E viceversa per a>b
Mi sembra cosi banale che mi viene il dubbio di essere io a non capire dove ti affoghi, perche fai dei ragionamenti cosi contorti con i segni che dopo 2 righr uno non segue piu col cervello
Mi sembra che tiincasini troppo sui segni, come per le forze apparenti,
Hai messo il sistema di riferiemto? Hai fatto il 99 % del lavoro.
CASO A
Asse diretto verso la massa grande.
La forza e' diretta verso sx (concorde all asse x). E' positiva.
Quindi $L=intvecF*dvecs=Fint_a^bds=F(b-a)$
Intendendo ovviamente can a e b le coordiante di A e di B.
Esamina i casi possibili
F>0 b>a (il corpo si avvicina alla massa M). Lavoro positivo della forza (e' un corpo che cade se F e' la forza di gravita)
F>0 b
CASO B
Inverti la direzione dell'asse per il caso B (asse da sx verso dx). La forza, se e' attrattiva, e' ora negativa, perche verso sinistra, quindi:
$L=intvecF*dvecs=-Fint_a^bds=-F(b-a)$
se b>a (il corpo si allontana), Lavoro negativo (analogo del corpo lanciato in aria)
se a>b Lavoro positivo. Corpo che cade liberamente.
Ovviamente, non lo faccio, vale anche se la forza e' repulsiva, perche ora il lavoro diventa $F(b-a)$ e quindi se b>a, il corpo si allontana accelerando perche il lavoro della forza e' positivo. E viceversa per a>b
Mi sembra cosi banale che mi viene il dubbio di essere io a non capire dove ti affoghi, perche fai dei ragionamenti cosi contorti con i segni che dopo 2 righr uno non segue piu col cervello
Tralaltro tutto quello che hai da sapere sugli integrali curvilinei e' li e non credo ti serva altro
Se la forza ha la stessa direzione dello spostamento +
Se la forza ha direzione opposta -
Abbastanza semplice dai
Se la forza ha la stessa direzione dello spostamento +
Se la forza ha direzione opposta -
Abbastanza semplice dai
@gabrio: devo solo ragionarci con calma, non dico che non lo farò, però al momento volevo capire cosa sbaglio nel metodo del mazzoldi un po' naif. Credo sia utile capire anche quello dato che tutto il libro è scritto così: ragionando per pezzettini infinitesimi e per freccettine che si scompongono. Se non lo capisco e ogni volta sbaglio segni, anche capendo il metodo più formale, sarei fregato. Spero di aver spiegato il perché mi ostino cocciutamente a volerlo capire 
@professorkappa: Volevo ragionare con te sul caso B, precisamente sul passaggio
Il mazzoldi dice di vedere l'integrale di linea come il prodotto scalare tra forza e differenza del vettore (delta) spostamento, e l'integrale alla stregua di una sommatoria al continuo.
Io immagino una cosa del genere:
per componenti fissato il sdr del caso B)
Voglio spostarmi da un punto a ad un punto b spezzettandolo in vari vettori $\vec(\Deltas)$ che poi andrò a sommare dopo averne fatto il prodotto scalare volta per volta. Mandando lo spezzettamento a infinito arrivo all'integrale, ma andiamo per passi:
$\sum\vecF*\Delta\vecs=\sum\vecF*\vec\Deltas=\sum-F(-\Deltas)$, con F costante: $-F\sum(-\Deltas)=F\sum(\Deltas)$
se faccio tendere a infinito sostituisco $\sum$ con $\int$ però vedi che c'è un problema di segno, tu hai un meno che con questo ragionamento non mi esce.
Nel tuo caso vai a mettere un segno positivo alla componente $\Deltas$ del vettore $\Delta\vecs$, mentre a me pare dovrebbe essere negativo anch'egli essendo equiverso ad $\vecF$
Non capisco l'errore, caspita!
-------------------------
PS: ok forse ci sono, in effetti nel mio metodo sto usando quanto dice brufus, ossia vedo il $\Deltas$ come un valore positivo, li sommo tutti e sono positivi. Quindi passando agli scalari con segno delle componenti sul sistema asse cartesiano afrei -F e -Deltas.
Nel caso tuo caso, dell'integrale, in realtà la "somma" sui ds è una differenza da un punto (b-a), quindi contiene già il segno meno che si elide con la -F.
Chissà se è giusto ora
@professorkappa: Volevo ragionare con te sul caso B, precisamente sul passaggio
"professorkappa":
$intvecF*dvecs=-Fint_a^bds$
Il mazzoldi dice di vedere l'integrale di linea come il prodotto scalare tra forza e differenza del vettore (delta) spostamento, e l'integrale alla stregua di una sommatoria al continuo.
Io immagino una cosa del genere:
per componenti fissato il sdr del caso B)
Voglio spostarmi da un punto a ad un punto b spezzettandolo in vari vettori $\vec(\Deltas)$ che poi andrò a sommare dopo averne fatto il prodotto scalare volta per volta. Mandando lo spezzettamento a infinito arrivo all'integrale, ma andiamo per passi:
$\sum\vecF*\Delta\vecs=\sum\vecF*\vec\Deltas=\sum-F(-\Deltas)$, con F costante: $-F\sum(-\Deltas)=F\sum(\Deltas)$
se faccio tendere a infinito sostituisco $\sum$ con $\int$ però vedi che c'è un problema di segno, tu hai un meno che con questo ragionamento non mi esce.
Nel tuo caso vai a mettere un segno positivo alla componente $\Deltas$ del vettore $\Delta\vecs$, mentre a me pare dovrebbe essere negativo anch'egli essendo equiverso ad $\vecF$
Non capisco l'errore, caspita!
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PS: ok forse ci sono, in effetti nel mio metodo sto usando quanto dice brufus, ossia vedo il $\Deltas$ come un valore positivo, li sommo tutti e sono positivi. Quindi passando agli scalari con segno delle componenti sul sistema asse cartesiano afrei -F e -Deltas.
Nel caso tuo caso, dell'integrale, in realtà la "somma" sui ds è una differenza da un punto (b-a), quindi contiene già il segno meno che si elide con la -F.
Chissà se è giusto ora
Ascolta, se ti sposti lungo la direzione della forza, forza e spostamento hanno lo stesso segno
Normale venga positivo
Qualunque sistema di riferimento adotti
Se spostamento va da una parte e forza dall'altra allora sara' negativo il prodotto, ma per sapere chi è cosa, devi vedere il sistema di riferimento.
Nel caso B sono equiversi, per forza e' positivo
Normale venga positivo
Qualunque sistema di riferimento adotti
Se spostamento va da una parte e forza dall'altra allora sara' negativo il prodotto, ma per sapere chi è cosa, devi vedere il sistema di riferimento.
Nel caso B sono equiversi, per forza e' positivo
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