Lavoro (problemi di teoria)

[giangianni1]

Ciao di nuovo,

in questo mio primo approccio alla meccanica trovo spesso dubbi stupidi e vorrei chiarire con vuoi un problema riguardo il sistema di riferimento e il lavoro. E' un problema di cui mi accorgo solo ora pur avendo studiato qualche settimana fa l'argomento e credevo di averlo capito.


Il lavoro è, detto brutalmente, $L=\vecF*vec(\DeltaS)$ passo poi al caso differenziale ma vorrei partire con un ragionamento intuitivo.
Questo prodotto scalare posso farlo in due modi: a) per componenti dei vettori (fissato il sistema di riferimento ortonormale) o b) con la nota: $L=|\vecF||\vec(\DeltaS)|cos(theta)$ con $theta$ angolo compreso, senza chiamare in causa il sdr.

Mi piacerebbe partire da due esempi e mostrarvi il ragionamento, sperando qualcuno possa dirmi dove sbaglio perché mi sembra di continuare a girarci attorno.

1)


L'idea è avere un caso come in figura, la massa grande "M" considerata "ferma" per semplicità e la massettina "m" che si sposta da "A" a "B" (punti). In questo caso considero il sistema di riferimento con l'asse uscente da O verso dx (freccetta dell'asse).

Procediamo..

applichiamo il prodotto scalare come visto in b), quindi, $F(-\DeltaS)cos0$, perché quel meno? beh perché stiamo parlando di valori assoluti (moduli) e $F=G(mM)/r^2$ numericamente ed è positivo, quindi la funzione valore assoluto restituisce F, mentre per $\Deltas$ ci metterò un meno, infatti $\DeltaS=S_b-S_a$ che è negativo poiché il punto B più vicino all'origine.

-----------
$|\Deltas|=\Deltas if \Deltas>=0$
$|\Deltas|=-\Deltas if \Deltas<0$
-----------


Possiamo altresì usare la metodologia (per componenti e non usare il coseno) descritta in a), quindi: $-F(-(-\DeltaS))$ ove $(-\DeltaS)$ è di nuovo il valore numerico positivo del delta sullo spostamente e i segni meno stanno a significare che sia il vetore $\vecF$ che $\vec\(DeltaS)$ sono diretti verso l'origine (spostamento verso O e forza verso O attrattiva). Insomma ho descritto con scalari con segno i vettori.

I due modi di vedere le cose tornano a meraviglia, inoltre passando all' "infinitamente piccolo" (questa votla considerando F costante lungo il tragitto econsideriamola ancora attrattiva):

(posso ancora ragioanre come $ds$ fosse un $Deltas$ infinitesimo

$L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=\int_A^B -Fdscos0$, come visto, da cui, infine: $\int_A^B -Fds=-F\int_A^B ds=-F\Deltas$

Il problema però sorge se considero il caso 2) in figura



b) $F(\DeltaS)cos0$, perché manca ill meno? Stiamo ancora parlando di valori assoluti (norme di vettori) ma se $F=G(mM)/r^2$ numericamente ed è positivo, questa volta anche per $\DeltaS$ abbiamo positività, infatti $\DeltaS=S_b-S_a$ ma l'origine stavolta è a dx, quindi la differenza è positiva.

a) Ragionando con il sdr e componenti, anche qui avremo: $F\DeltaS$ -eh sì, qui è tutto positivo- spostamenti, forze vanno nella direzione della freccetta "asse"(sempreconcorde).

Purtroppo però $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=\int_A^B Fdscos0$ che nell'assunzione di F ancora costante e attrattiva (la stessa dell'esempio 1, per intenderci) $\int_A^B Fdscos0=f\Deltas$ e mi crea problemi perché io so che per il caso attrattivo $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)$ è sempre $L=\int_A^B\vecF*\vec(ds)=-F\Deltas$

Dove sbaglio?

[professorkappa]

"giangianni":
Chissà se è giusto ora

Piu' o meno.
Il punto e' che tu non hai chiaro come si mettono i segni nei sistemi.
Dato il sistema orientato, tu devi mettere (te l'ho gia' scritto), le quantita' vettoriali note con i segni giusti, quelle incognite le devi assumere positive.
Qui stai cercando di trovare un Lavoro (incognito), data una forza F (nota) e uno spostamento (noto)

Se il sistema e' orientato da sx verso dx (non mi far riguardare le figure di nuovo) e la forza e' attrattiva (verso sx), per andare da A a B (assunto A F e' negativa
$DeltaS$ e' positiva
Ergo, il lavoro e' negativo (come dice Gabrio, stai spostando il corpo nella direzione opposta alla forza).

Se volessi lasciare il ds incognito, per avere un'espressione generale del momento, ti basta metterlo positivo. e quindi avresti $L=int-Fds$
L'effettivo segno di ds ti fara variare il segno del momento

[giangianni1]

"professorkappa":
Se il sistema e' orientato da sx verso dx (non mi far riguardare le figure di nuovo) e la forza e' attrattiva (verso sx), per andare da A a B (assunto A F e' negativa
$DeltaS$ e' positiva

In realtà il caso A
In quel caso direi che:
F e' negativa (di nuovo)
mentre a $DeltaS$ affibbio un meno (vettore che conosco e va verso sx come F)
e il loro prodotto è positivo (forza equiversa a spostamento)

Tuttavia qui quando faccio l'integrale prendo B-A, quindi l'$\int_A^Bds$ contiene già l'informazione negativa. Non devo già associare il segno a ds. Credo soggiacesse qui l'errore del caso B
Era questo che volevo dire nel PS-

[Gabrio2]

Comunque l'argomento è semplice, vai fuori comprati un gelato rilassati e rileggi.
Fatti di nuovo l'esercizio, vedrai che ti viene.
Se poi non hai paura, e vuoi provare qualche integrale curvilineo male non ti fa.

[giangianni1]

"Gabrio":Comunque l'argomento è semplice, vai fuori comprati un gelato rilassati e rileggi.
Fatti di nuovo l'esercizio, vedrai che ti viene.
Se poi non hai paura, e vuoi provare qualche integrale curvilineo male non ti fa.

Sì in effetti è 6 giorni che non esco di casa, forse dovrei

[Brufus1]

Se usi la notazione assoluta (tensoriale) del prodotto scalare veramente non comprendo cosa ti possa destare dei dubbi.
$L=vec F cdot vec{ Delta S }$
Questo è il lavoro elementare.
Ora non abbiamo fissato nessun riferimento quindi l'unica cosa che devi fare è capire chi è il vettore $vec F $ chi è il vettore $ vec {Delta S} $ chi è l'angolo $theta $ e applichi la definizione.
Ti ripeto che a questo livello conta solo il disegno,il sistema di riferimento non serve.