Lavoro per spostare una carica elettrica tra due punti

[Smaarnau]

In un sistema di coordinate cartesiano, sono date due cariche elettriche puntiformi \(\displaystyle q_1 = +q \) e \(\displaystyle q_2 = -q \), con \(\displaystyle q = 1.01 nC \), poste, rispettivamente, in \(\displaystyle P_1 = (-X_1, 0, 0) \) e \(\displaystyle P_2 = (X_1, 0, 0) \), con \(\displaystyle X_1 = 0.103m \). Sul piano X=0 è presente una densità di carica elettrica superficiale uniforme \(\displaystyle \sigma \).

1) Sapendo che il campo elettrico in \(\displaystyle P_3 = (2X_1, 0, 0) \), è nullo, determinare la densità superficiale di carica elettrica \(\displaystyle \sigma \), in \(\displaystyle nC/m^2 \).

2) Determinare il lavoro, in joule, fatto dalle forze elettrostatiche per portare una carica elettrica \(\displaystyle q_0 = 1.98 1 \cdot 10^{-6} C \) da \(\displaystyle P_3 = (2X_1, 0, 0)\) a \(\displaystyle P_4 = (-2X_1, 0, 0)\)

Per risolvere il primo punto ho sfruttato la seguente equazione:
\(\displaystyle E(P_3) = \frac q {4π\varepsilon_0} \cdot \frac 1 {(3X_1)^2} - \frac q {4π\varepsilon_0} \cdot \frac 1 {(X_1)^2} + \frac {\sigma}{2 \varepsilon_0} = 0 \) dove 3X1 è la distanza tra il punto P3 e il punto P1, mentre X1 è la distanza tra il punto P3 e il punto P2. Ho trovato \(\displaystyle \sigma = \frac 2 9 \cdot \frac q {π\varepsilon_0} \frac 1 {(X_1)^2} \cdot \varepsilon_0 = 13.5 nC/m^2\)

Per quanto riguarda la seconda domanda l'ho risolta considerando che \(\displaystyle L = -U = \frac {1} {2} \cdot \frac {q_0}{4π\varepsilon_0} \cdot \biggl( \frac {-q}{3X_1} + \frac {q} {X_1} \biggr) \); dove 3X1 è la distanza da P2 a P4 e X1 è la distanza da P1 a P4. Il risultato però torna se moltiplico questa equazione per 4... è una coincidenza e il procedimento in realtà è differente o è effettivamente necessario moltiplicare tutto per 4 e nel caso perché?

Grazie in anticipo per l'aiuto

[ingres]

Mi sembra che manchi il contributo del piano con densità di carica superficiale nel calcolo di L.

[Smaarnau]

\(\displaystyle E \)Si in effetti non avevo considerato il fatto che non ci stiamo spostando nel vuoto bensì in una regione di spazio dotata di campo elettrico dato dalla formula \(\displaystyle E = \frac {\sigma}{2 \varepsilon_0} \) ma come ce lo aggiungo nella formula del potenziale che ho scritto prima?

[ingres]

Il lavoro sarà dato dalla forza elettrostatica F=qE=costante (essendo il campo E del piano costante) per lo spostamento.

[Smaarnau]

Quindi avrei \(\displaystyle L = q_0 \cdot E (P_4) \cdot 4X_1 \) con \(\displaystyle E(P4) = \frac {q} {4π \varepsilon_0} \cdot \frac {1} {{X_1}^2} - \frac {q} {4π \varepsilon_0} \cdot \frac 1 {3{X_1}^2} + \frac {\sigma}{2\varepsilon_0} \)?

[ingres]

No, il campo del piano si inverte di verso per x<0 e quindi il suo contributo, visto che il punto di arrivo è l'opposto di quello di partenza, (cosa si cui non mi ero reso conto), dovrebbe essere nullo.

Per gli altri contributi posto $k=(q*q_0)/(8 pi epsilon_0)$ si ha:

$U_i= k(-1/X_1 +1/(3X_1))=-2k/(3X_1)$
$U_f= k(-1/(3X_1) +1/(X_1))=2k/(3X_1)$

$Delta U = 4/3*k/X_1= (q*q_0)/(6 pi epsilon_0 X_1)$ per cui sarebbe solo il doppio di quanto da te calcolato e quindi la metà del risultato del testo. Confermi?

[Smaarnau]

Si facendo questo procedimento torna la metà del risultato del testo.

[ingres]

Correggo la formula dell'energia potenziale perché l'ho copiata dalla tua ma è scorretta (è la metà di quella giusta).

https://www.skuola.net/fisica/meccanica ... tra%20loro.

Per gli altri contributi posto $k=(q*q_0)/(4 pi epsilon_0)$ si ha:

$U_i= k(-1/X_1 +1/(3X_1))=-2k/(3X_1)$
$U_f= k(-1/(3X_1) +1/(X_1))=2k/(3X_1)$

$Delta U = 4/3*k/X_1= (q*q_0)/(3 pi epsilon_0 X_1)$