Lavoro per sollevare un tubo immerso

[bug54]

Salve,
Il seguente prob proprio non l'ho capito! Essendo il tubo aperto all'estremità inferiore mi verrebbe da dire che il lavoro è nullo!!
Se non vi è attrito fra le pareti del tubo ed il liquido esso si sfila semplicemente e non vedo contro quali forze bisogna agire.

[Falco5x]

Secondo me il tubo sale pieno di mercurio fino a 76 cm circa, e poi prosegue fino a 152 col vuoto pneumatico per la parte restante.

[bug54]

Vediamo cosa esce fuori calcolando il lavoro per sollevare il tubo considerando che si trascini con se mercurio fino ad un'altezza di h= 76 cm
$L=int_0^hrhogSydy=rhogSh^2/2$
mentre il testo dice
$L=P_0S(d-P_0/2rhog)$

[Falco5x]

Hai scritto bene, però manca la parte di sollevamento dalla altezza h=76 cm circa alla altezza d=152 cm.
E comunque la soluzione che hai riportato non regge dimensionalmente.
Casomai sarà:

$$L = {P_0}S\left( {d - \frac{1}
{2}\frac{{{P_0}}}
{{\rho g}}} \right)$$

[bug54]

Si la soluzione è quella scritta da te.
Ma non capisco, non si era detto che il mercurio sale fino a 76cm? quindi nessun lavoro per sollevare il tubo (senza massa) fino a 152 cm???

[Falco5x]

Come sarebbe a dire? secondo te per tirare il tubo per altri 76 cm col vuoto pneumatico all'interno non serve fare lavoro contro la pressione atmosferica?

[bug54]

Pardon!
troppa fretta...
la forza che occorre per "tirare" il tubo è $P_0S$ ed il lavoro aggiuntivo a quello calcolato prima è semplicemente $P_0Sh$ dove h è 76 cm:
Lavoro complessivo: $L=P_0Sh+(1/2)rhogh^2$
e non è certamente il risultato atteso..

[bug54]

Come procedere?

[Falco5x]

La tua formula non è corretta.
Detta h l'altezza della colonna di mercurio (che dipende dalla pressione atmosferica Po, dunque non è necessariamente 76 cm che corrispondono alla pressione media standard) e detta d l'altezza totale data di 152 cm, si ha:

$$\eqalign{
& L = \frac{1}
{2}\left( {Sh\rho } \right)gh + {P_0}\left( {d - h} \right)S \cr
& {P_0}S = \left( {Sh\rho } \right)g \cr
& h = \frac{{{P_0}}}
{{\rho g}} \cr
& L = \frac{1}
{2}S\frac{{{P_0}}}
{{\rho g}}\frac{{{P_0}}}
{{\rho g}}\rho g + {P_0}Sd - {P_0}\frac{{{P_0}}}
{{\rho g}}S = \frac{1}
{2}S\frac{{{P_0}^2}}
{{\rho g}} + {P_0}Sd - S\frac{{{P_0}^2}}
{{\rho g}} = {P_0}S\left( {d - \frac{1}
{2}\frac{{{P_0}}}
{{\rho g}}} \right) \cr} $$

[bug54]

Grazie della pazienza!
Ora finalmente ho quasi capito il problema, quasi perchè mi rimane un dubbio sicuramente "di basso livello"
cioè il lavoro per far salire il mercurio fino ad h non dovrebbe farla la pressione atmosferica?
quindi rimarebbe solo il lavoro che occore fare "contro" la pressione $P_0S(h-d)$

[Falco5x]

Finché l'altezza è minore di h la pressione atmosferica spinge in egual modo sia sul mercurio nella bacinella, sia sulla sommità del tubo, quindi la sua azione è nulla, e rimane invece il lavoro dovuto al peso del mercurio sollevato. Poi da h a d il peso resta costante.

[bug54]

Ok
tutto chiarito
Grazie