Lavoro necessario per dividere in due parti uguali un cubo ai cui vertici sono presenti delle cariche elettriche

[Smaarnau]

Sono date 4 cariche elettriche \(\displaystyle q_+ = 1.89 nC \) e 4 cariche elettriche \(\displaystyle q- = q_+ \) poste ai vertici di un cubo di lato \(\displaystyle a = 1.41m \), in modo che, per tutte le cariche elettriche \(\displaystyle q_i \), le 3 cariche più vicine alla carica \(\displaystyle q_i \) abbiano segno opposto rispetto a \(\displaystyle q_i \). Determinare il lavoro in nanojoule che è necessario per dividere in due parti uguali un cubo mediante un taglio parallelo ad una faccia del cubo, ed allontanare le due parti ad una distanza infinita.

Non riesco a capire come risolvere l'esercizio...non so proprio come iniziare.
Grazie in anticipo a tutti per l'aiuto

[ingres]

Calcola l'energia iniziale del sistema di cariche e poi quella finale dei due sistemi di cariche completamente separati tra loro, ovvero 2 quadrati con cariche su ciascun vertice. La differenza è il lavoro fatto.
Guarda anche qui:
https://www.skuola.net/fisica/elettrici ... drato.html

[Smaarnau]

Per quanto riguarda il fatto che sia necessario fare la differenza tra energia iniziale e finale ci avevo pensato solo che stamani avevo un vuoto su come si calcolasse l'energia del sistema.

Comunque ora ho risolto l'esercizio utilizzando la formula per cui \(\displaystyle U = \sum _{i>j} ^{n} \frac 1 {4π\varepsilon_0} \cdot \frac {q_i q_j} {R_{ij}} \).

Per quanto riguarda l'energia iniziale del sistema ho trovato \(\displaystyle U_{in} = \frac {q^2} {4π\varepsilon_0} \cdot \biggl(- \frac 1 {R_{21}} + \frac 1 {R_{31}} - \frac 1 {R_{41}} + \frac 1 {R_{51}} - \frac 1 {R_{61}} - \frac 1 {R_{71}} +\frac 1 {R_{81}} - \frac 1 {R_{32}} + \frac 1 {R_{42}} - \frac 1 {R_{52}} + \frac 1 {R_{62}} + \frac 1 {R_{72}} - \frac 1 {R_{82}} - \frac 1 {R_{43}} + \frac 1 {R_{53}} - \frac 1 {R_{63}} - \frac 1 {R_{73}} + \frac 1 {R_{83}} - \frac 1 {R_{54}} + \frac 1 {R_{64}} + \frac 1 {R_{74}} - \frac 1 {R_{84}} - \frac 1 {R_{65}} - \frac 1 {R_{75}} + \frac 1 {R_{85}} + \frac 1 {R_{76}} - \frac 1 {R_{86}} - \frac 1 {R_{87}} \biggr) \)

Con:

\(\displaystyle R_{21}= R_{41} = R_{71}= R_{32} = R_{82}= R_{43} = R_{63} = R_{54}= R_{65} = R_{75} = R_{86}= R_{87} = a\)

\(\displaystyle R_{31}= R_{51} = R_{81}= R_{42} = R_{62}= R_{72} = R_{53}= R_{83} = R_{64} = R_{74}= R_{85} = R_{76} = \sqrt 2 a \) (Diagonale)

\(\displaystyle R_{61}= R_{52} = R_{73}= R_{84} = \sqrt 3 a \) (in questo caso abbiamo due termini positivi e due negativi, per cui il terzo contributo è nullo)

Conclusione: \(\displaystyle U_{in} = \frac {q^2}{4π\varepsilon_0} \cdot \biggl( - \frac {12} a + \frac {12}{\sqrt 2 a} \biggr)\)

Per quanto riguarda invece l'energia finale non mi è ben chiaro come calcolarla. Devo trovare l'energia di un quadrato ai cui vertici sono presenti quattro cariche?

Per cui avremmo \(\displaystyle U_{fin} = \frac {q^2} {4π\varepsilon_0} \cdot \biggl( - \frac 1 {R_21} +\frac 1 {R_31} - \frac 1 {R_41} -\frac 1 {R_32} +\frac 1 {R_42} -\frac 1 {R_43} \biggr) = \frac {q^2} {4π\varepsilon_0} \cdot \biggl( -\frac 4 a +\frac 2 {\sqrt2 a} \biggr) \) ?

Questi sono i due disegni che ho utilizzato per valutare la distanza tra i vari punti

[RenzoDF]

Visto che ogni carica "vede" la stessa configurazione della altre sette cariche, usando la classica relazione con l'emivalore della sommatoria dei prodotti fra tutte le coppie di cariche, l'energia iniziale poteva essere scritta direttamente, semplicemente osservando che ogni carica vede tre cariche di segno opposto a distanza $a$, tre dello stesso segno a distanza $\sqrt{2}a$ e una di segno opposto a distanza $\sqrt{3}a$; termini quest'ultimi che non si annullano essendo tutti negativi.
Per quanto riguarda poi l'energia finale, dopo la separazione del cubo, direi che di quadrati ce ne sono sempre due, non è che ne sparisca uno, non credi?

[Smaarnau]

Ah si giusto non so perché mi tornasse che i termini a distanza \(\displaystyle \sqrt 3 a \) si annullavano.
Comunque ho rifatto l'esercizio considerando anche questo contributo e ho trovato un risultato concorde con quello del libro.
Per quanto riguarda l'energia potenziale finale effettivamente nello svolgimento sul quaderno avevo considerato il contributo di due quadrati...si vede mi sono dimenticata di riportarlo nel commento precedente.
Grazie mille per l'aiuto

Riporto lo svolgimento completo nel caso potesse tornare utile a qualcuno

Per l'energia potenziale iniziale ho trovato \(\displaystyle U = \frac {q^2} {4π \varepsilon_0} \cdot \biggl( \frac {-12}{a} + \frac {12}{\sqrt2 a} - \frac 4 {\sqrt3 a} \biggr)\) (trovato con il procedimento che ho messo nel commento precedente)

Per quanto riguarda invece l'energia potenziale finale ho moltiplicato la formula trovata nel commento precedente per 2:
\(\displaystyle U_{fin} = U_1 + U_2 = 2 \cdot \frac {q^2}{4π\varepsilon_0} \cdot \biggl( -\frac 4 a + \frac 2 {\sqrt2 a} \biggr) \)

Ho fatto poi la differenza tra energia potenziale finale e iniziale e ho trovato \(\displaystyle \Delta U = \frac {q^2} {π\varepsilon_0 a} \biggl( \frac {-2} {\sqrt2} +1 + \frac 1 {\sqrt 3 a } \biggr) \)