Lavoro di una forza elettrica
Il problema è questo:
Quattro cariche puntiformi aventi la stessa carica q positiva si trovano ai vertici di un quadrato di lato l;
si calcoli il lavoro che bisogna compiere per disporle ai vertici di un quadrato di lato l/2.
Come si risolve il problema?
Per quel poco che io conosco posso dire che il lavoro infinitesimo compiuto da un agente esterno necessario per spostare le cariche da un punto ad un altro è il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento infinitesimo e poi integrare per ottenere il lavoro complessivo.
Come fare?
Quattro cariche puntiformi aventi la stessa carica q positiva si trovano ai vertici di un quadrato di lato l;
si calcoli il lavoro che bisogna compiere per disporle ai vertici di un quadrato di lato l/2.
Come si risolve il problema?
Per quel poco che io conosco posso dire che il lavoro infinitesimo compiuto da un agente esterno necessario per spostare le cariche da un punto ad un altro è il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento infinitesimo e poi integrare per ottenere il lavoro complessivo.
Come fare?
Risposte
"zuffff":
Il problema è questo:
Quattro cariche puntiformi aventi la stessa carica q positiva si trovano ai vertici di un quadrato di lato l;
si calcoli il lavoro che bisogna compiere per disporle ai vertici di un quadrato di lato l/2.
Come si risolve il problema?
Per quel poco che io conosco posso dire che il lavoro infinitesimo compiuto da un agente esterno necessario per spostare le cariche da un punto ad un altro è il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento infinitesimo e poi integrare per ottenere il lavoro complessivo.
Come fare?
Vediamo se riesco ad aiutarti
Il campo elettromagnetico è conservativo quindi il lavoro necessario per portare una carica da un punto $A$ a un punto $B$ dipende unicamente da $A$ e $B$ e non dal percorso di traslazione.
Da cui dovrebbe essere sufficiente calcolare il potenziale delle cariche quando sono ai vertici del primo quadrato e del secondo.
Ciao!
Con il princio di sovrapposizione mi calcolo il potenziale nei punti detti e la d.d.p. (joule/coulomb).
a me derve il lavoro.
a me derve il lavoro.
Quello che non riesco a capire è questo:
se il lavoro è una variazione dell'energia potenziale elettrostatica pari al lavoro che un agente esteno compie contro le forze di un capo elettrostatico per sostare una carica da una posizione ad un' altra, nel problema per spostare una sola carica da l a l/2 qual'è l'espessione del campo contro cui si esercita la forza?
se il lavoro è una variazione dell'energia potenziale elettrostatica pari al lavoro che un agente esteno compie contro le forze di un capo elettrostatico per sostare una carica da una posizione ad un' altra, nel problema per spostare una sola carica da l a l/2 qual'è l'espessione del campo contro cui si esercita la forza?
Il campo elettrico è conservativo dunque possiamo stabilire che:
$L=q\DeltaV$
dove $\DeltaV$ ' la variazione del potenziale elettrico associata al nostro sistema costituito da quattro cariche.
In generale l'espressione per il potenziale elettrico di un sistema di n cariche è:
$V=1/(4pi\epsilon_(0))sumq_(i)/r_(i)$
In questo modo, fissando come origine del nostro sistema di riferimento il centro del quadrato, puoi calcolarti la variazione di potenziale elettrico associato a questo sistema quando le cariche vengono spostate in un quadrato concentrico al primo di lato $l/2$. (Puoi calcolarti le distanza dal centro nello stato iniziale e finale con semplici regole di geometria).
Alla fine puoi applicare la prima equazione che ti ho dato per trovare il lavoro.
Ovviamente $q$ deve essere inteso come $sumq_(i)$.
$L=q\DeltaV$
dove $\DeltaV$ ' la variazione del potenziale elettrico associata al nostro sistema costituito da quattro cariche.
In generale l'espressione per il potenziale elettrico di un sistema di n cariche è:
$V=1/(4pi\epsilon_(0))sumq_(i)/r_(i)$
In questo modo, fissando come origine del nostro sistema di riferimento il centro del quadrato, puoi calcolarti la variazione di potenziale elettrico associato a questo sistema quando le cariche vengono spostate in un quadrato concentrico al primo di lato $l/2$. (Puoi calcolarti le distanza dal centro nello stato iniziale e finale con semplici regole di geometria).
Alla fine puoi applicare la prima equazione che ti ho dato per trovare il lavoro.
Ovviamente $q$ deve essere inteso come $sumq_(i)$.
grazie
Forse zuffff chiedeva una soluzione piu' esplicita.
Pongo [size=150]$k=1/(4 pi epsilon)$[/size]
Il potenziale prodotto in uno dei 4 vertici del quadrato dalle cariche
situate negli altri 3 vertici e':
[size=150]$V=k*q/L+k*q/L+k*q/(Lsqrt2)=(2kq)/L+(kqsqrt2)/(2L)$[/size]
Allorche' il lato del quadrato si riduce della meta' tale potenziale diventa:
[size=150]$V'=k*(2q)/(L//2)+k*q/(Lsqrt2//2)=(4kq)/L+(kqsqrt2)/(L)$[/size]
Quindi risulta:
[size=150]$Delta V=V'-V= (2kq)/L+(kqsqrt2)/(2L) $[/size]
ed il lavoro occorso risulta essere:
[size=150]$L=q*Delta V=(2kq^2)/L+(kq^2sqrt2)/(2L)$[/size]
Tale valore va poi moltiplicato per 4 per ottenere il lavoro totale:
[size=150]$L_t=(2kq^2(4+sqrt2))/L$[/size]
Allo stesso risultato si perviene facendo uso delle forze,ma cosi' il calcolo
diventa piu' complesso e bisogna ricorrere all'integrazione.
Archimede
Pongo [size=150]$k=1/(4 pi epsilon)$[/size]
Il potenziale prodotto in uno dei 4 vertici del quadrato dalle cariche
situate negli altri 3 vertici e':
[size=150]$V=k*q/L+k*q/L+k*q/(Lsqrt2)=(2kq)/L+(kqsqrt2)/(2L)$[/size]
Allorche' il lato del quadrato si riduce della meta' tale potenziale diventa:
[size=150]$V'=k*(2q)/(L//2)+k*q/(Lsqrt2//2)=(4kq)/L+(kqsqrt2)/(L)$[/size]
Quindi risulta:
[size=150]$Delta V=V'-V= (2kq)/L+(kqsqrt2)/(2L) $[/size]
ed il lavoro occorso risulta essere:
[size=150]$L=q*Delta V=(2kq^2)/L+(kq^2sqrt2)/(2L)$[/size]
Tale valore va poi moltiplicato per 4 per ottenere il lavoro totale:
[size=150]$L_t=(2kq^2(4+sqrt2))/L$[/size]
Allo stesso risultato si perviene facendo uso delle forze,ma cosi' il calcolo
diventa piu' complesso e bisogna ricorrere all'integrazione.
Archimede
Veramente seguendo il ragionamento di Giuseppe viene un risultato diverso.
Detto L il lavoro ed l il lato del quadrato, V(f) e V(i) rispettivamente il potenziale iniziale e finale del sistema si ha, in un sistema di riferimento con O nel centro del quadrato
Notando che tutte le distanze delle cariche q da O si dimezzano e quindi che
V(f)=2V(i) ed essendo nel nostro caso V(i)=k(4q)/(l/2)root2
L=4q[V(f)-V(i)]=4qV(i)=16kroot2q^2
Dove sta l'inghippo ?
Detto L il lavoro ed l il lato del quadrato, V(f) e V(i) rispettivamente il potenziale iniziale e finale del sistema si ha, in un sistema di riferimento con O nel centro del quadrato
Notando che tutte le distanze delle cariche q da O si dimezzano e quindi che
V(f)=2V(i) ed essendo nel nostro caso V(i)=k(4q)/(l/2)root2
L=4q[V(f)-V(i)]=4qV(i)=16kroot2q^2
Dove sta l'inghippo ?
grazie archimede.
L'errore che commettevo era quello di considerare il potenziale nei vertici prodotto dalle tre cariche + quello della carica presente nel vertice che è infinito.
Perche non devo considerarlo invece?
L'errore che commettevo era quello di considerare il potenziale nei vertici prodotto dalle tre cariche + quello della carica presente nel vertice che è infinito.
Perche non devo considerarlo invece?
@zuffff
Secondo me nella formula $L=q*(V_A-V_B)=q*DeltaV$ il $DeltaV$
rappresenta gia' la differenza di potenziale di A rispetto a B e non
occorre preoccuparsi di altro.
Archimede
Secondo me nella formula $L=q*(V_A-V_B)=q*DeltaV$ il $DeltaV$
rappresenta gia' la differenza di potenziale di A rispetto a B e non
occorre preoccuparsi di altro.
Archimede
CIAO! 
VEDO CHE HAI IGNORATO IL MIO MESSAGGIO FORSE SE AVESSI SCELTO DI CHIAMARMI EINSTEIN.... COMUNQUE NON TI PREOCCUPA IL FATTO CHE SE CALCOLI I POTENZIALI IN UN PUNTO DIVERSO IL LAVORO VIENE DIVERSO? A PROPOSITO SE TI PONI PROPRIO SU UNA CARICA VA AD INFINITO! MA NON E' QUESTO IL PROBLEMA QUANTO IL METODO ADOTTATO
FISICAMENTE SBAGLIATO.
TI CONSIGLIO DI FARTI TUTTI I CALCOLI CON LE FORZE, COME SUGGERITO DA ARCHIMEDE, OPPURE DI ADOPERARE I POTENZIALI CON INTUITO FISICO CHE IL PROBLEMA E'BANALE MA INGANNEVOLE. SUGGERIMENTO:
IL POTENZIALE DEL SISTEMA FINALE E' IL DOPPIO DI QUELLO INIZIALE PERCHE' ABBIAMO SOLO UN CAMBIAMENTO DI SCALA,(TUTTE LE DISTANZE DIMEZZATE) ED IL LAVORO RISULTA ESSERE QUINDI PARI AL LAVORO PER POSIZIONARE LE CARICHE AD UNA AD UNA
AI VERTICI DEL QUADRATO DI LATO L
RISULTATO:
k [ 0+Q^2/L+(Q^2/L+Q^2/Lroot2)+( Q^2/Lroot2+Q^2/l+Q^2/L)]=
=KQ^2(4+root2)/L
IL DOPPIO DI QUELLO DA TE CALCOLATO ( coincidenza credo casuale)
VEDO CHE HAI IGNORATO IL MIO MESSAGGIO FORSE SE AVESSI SCELTO DI CHIAMARMI EINSTEIN.... COMUNQUE NON TI PREOCCUPA IL FATTO CHE SE CALCOLI I POTENZIALI IN UN PUNTO DIVERSO IL LAVORO VIENE DIVERSO? A PROPOSITO SE TI PONI PROPRIO SU UNA CARICA VA AD INFINITO! MA NON E' QUESTO IL PROBLEMA QUANTO IL METODO ADOTTATO
FISICAMENTE SBAGLIATO.
TI CONSIGLIO DI FARTI TUTTI I CALCOLI CON LE FORZE, COME SUGGERITO DA ARCHIMEDE, OPPURE DI ADOPERARE I POTENZIALI CON INTUITO FISICO CHE IL PROBLEMA E'BANALE MA INGANNEVOLE. SUGGERIMENTO:
IL POTENZIALE DEL SISTEMA FINALE E' IL DOPPIO DI QUELLO INIZIALE PERCHE' ABBIAMO SOLO UN CAMBIAMENTO DI SCALA,(TUTTE LE DISTANZE DIMEZZATE) ED IL LAVORO RISULTA ESSERE QUINDI PARI AL LAVORO PER POSIZIONARE LE CARICHE AD UNA AD UNA
AI VERTICI DEL QUADRATO DI LATO L
RISULTATO:
k [ 0+Q^2/L+(Q^2/L+Q^2/Lroot2)+( Q^2/Lroot2+Q^2/l+Q^2/L)]=
=KQ^2(4+root2)/L
IL DOPPIO DI QUELLO DA TE CALCOLATO ( coincidenza credo casuale)
Grazie anche a te ottusangolo.
Visto che ci sei e poichè non ho ancora le idee chiare al 100% mi pare di aver capito che cambiando l'origine del mio sistema di riferimento camia il lavoro calcolato?
E poi non ho capito bene l'errore che hai trovato nei calcoli di archimede.
Visto che ci sei e poichè non ho ancora le idee chiare al 100% mi pare di aver capito che cambiando l'origine del mio sistema di riferimento camia il lavoro calcolato?
E poi non ho capito bene l'errore che hai trovato nei calcoli di archimede.
Vorrei eliminare i dubbi, se mi riesce, rifacendo i calcoli tramite le forze.
Consideriamo il generico quadrato di lato x in [L/2,L] e di diagonale $xsqrt2$.
La forza agente su una qualunque delle cariche da parte delle altre 3 e'
la risultante R di tre forze.Due di queste sono dirette come il lato e hanno
una componente lungo la diagonale data da $(kq^2)/(x^2)cos(45°)$
e la terza diretta lungo la diagonale di modulo $(kq^2)/((xsqrt2)^2)$.
Si ha pertanto $R=(kq^2sqrt2)/(x^2)+(kq^2)/(2x^2)$ (diretta come la diagonale).
Ora ad una contrazione infinitesima dx del lato x del quadrato corrisponde una contrazione
$d(xsqrt2)=sqrt2dx$ lungo la diagonale e quindi il lavoro elementare e' $dL=Rsqrt2dx$.
Integrando su [L/2,L] e moltiplicando per 4 si ha il lavoro totale:
$L=4int_(L/2)^L[(kq^2sqrt2)/(x^2)+(kq^2)/(2x^2)]sqrt2dx=(2kq^2(4+sqrt2))/L $
Archimede
Consideriamo il generico quadrato di lato x in [L/2,L] e di diagonale $xsqrt2$.
La forza agente su una qualunque delle cariche da parte delle altre 3 e'
la risultante R di tre forze.Due di queste sono dirette come il lato e hanno
una componente lungo la diagonale data da $(kq^2)/(x^2)cos(45°)$
e la terza diretta lungo la diagonale di modulo $(kq^2)/((xsqrt2)^2)$.
Si ha pertanto $R=(kq^2sqrt2)/(x^2)+(kq^2)/(2x^2)$ (diretta come la diagonale).
Ora ad una contrazione infinitesima dx del lato x del quadrato corrisponde una contrazione
$d(xsqrt2)=sqrt2dx$ lungo la diagonale e quindi il lavoro elementare e' $dL=Rsqrt2dx$.
Integrando su [L/2,L] e moltiplicando per 4 si ha il lavoro totale:
$L=4int_(L/2)^L[(kq^2sqrt2)/(x^2)+(kq^2)/(2x^2)]sqrt2dx=(2kq^2(4+sqrt2))/L $
Archimede
Non ho controllato i calcoli,
ma ho visto che il lavoro cambia: cosa fisicamente inaccettabile. Quindi ci deve essere un errore concettuale.
La soluzione più semplice mi sembra questa:
Calcoliamo il lavoro per posizionare nel vuoto le cariche sui vertici del q.di lato l
Prima carica
L(1)=0
non essendoci all'inizio nessun campo elettrico. O se pref. potenziale V=0
Seconda carica
L(2)=kq*q/l essendo ora il pot sulla carica 2 e generato dalla1 V=kq/l
Terza carica
L(3)=kq*q/l+kq*q/ l*sqrt2 V generato dlla prima e seconda carica
Quarta carica
L(4)=kq*q/l+kq*q/l+kq*q/l*sqrt2 analogamente
Quindi L=L(1)+L(2)+L(3)+L(4)=k(4+sqrt2)q^2/l
è il lavoro totale (/q è il V del sistema)
Idem per il q.di lato l/2. Avendo ora dimezzato le distanze (cambiamento di scala) questo lavoro sarà il doppio cioè 2L, non importa quindi rifare i calcoli.
Il lavoro cercato è la differenza tra i due 2L-L=L
Altrimenti bisogna calcolarsi le forze e quindi il lavoro spostando le cariche dalla posizione iniziale a quella finale su un qualsiasi cammino ( scegli il più semplice) essendo forze conservative. NB o muovere le 3 cariche lungo i lati (come Archimede) o muoverle tutte 4 lungo le diagonali (come Giuseppe) non cambia. Come deve essere.
Ultima nota : gli spostamenti si devono supporre quasi statici,ovvero molto lenti altrimenti si generano onde elettromagnetiche la cui energia deve essere conteggiata. Ma questo certo non
è il tuo caso.
Colgo l'occasione per salutare tutti, non sapendo quando e se potrò ancora intervenire.
Il dovere( anche di migliorare le mie scarse conoscenze) mi chiama! 
ma ho visto che il lavoro cambia: cosa fisicamente inaccettabile. Quindi ci deve essere un errore concettuale.
La soluzione più semplice mi sembra questa:
Calcoliamo il lavoro per posizionare nel vuoto le cariche sui vertici del q.di lato l
Prima carica
L(1)=0
non essendoci all'inizio nessun campo elettrico. O se pref. potenziale V=0
Seconda carica
L(2)=kq*q/l essendo ora il pot sulla carica 2 e generato dalla1 V=kq/l
Terza carica
L(3)=kq*q/l+kq*q/ l*sqrt2 V generato dlla prima e seconda carica
Quarta carica
L(4)=kq*q/l+kq*q/l+kq*q/l*sqrt2 analogamente
Quindi L=L(1)+L(2)+L(3)+L(4)=k(4+sqrt2)q^2/l
è il lavoro totale (/q è il V del sistema)
Idem per il q.di lato l/2. Avendo ora dimezzato le distanze (cambiamento di scala) questo lavoro sarà il doppio cioè 2L, non importa quindi rifare i calcoli.
Il lavoro cercato è la differenza tra i due 2L-L=L
Altrimenti bisogna calcolarsi le forze e quindi il lavoro spostando le cariche dalla posizione iniziale a quella finale su un qualsiasi cammino ( scegli il più semplice) essendo forze conservative. NB o muovere le 3 cariche lungo i lati (come Archimede) o muoverle tutte 4 lungo le diagonali (come Giuseppe) non cambia. Come deve essere.
Ultima nota : gli spostamenti si devono supporre quasi statici,ovvero molto lenti altrimenti si generano onde elettromagnetiche la cui energia deve essere conteggiata. Ma questo certo non
è il tuo caso.
Colgo l'occasione per salutare tutti, non sapendo quando e se potrò ancora intervenire.
Il dovere( anche di migliorare le mie scarse conoscenze) mi chiama!
Grazie a tutti!
I tecnici della nasa non avrebbero saputo fare di meglio
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