Lavoro di un vagone (montagne russe)
Salve ragazzi, ho un problema riguardo lavoro ed energia..
$ L = mg (y_a - y_b) = 1/2 m v_b^2 $Un vagone delle montagne russe di massa $m=500kg$ parte da fermo da una altezza $y_1=40m$ (A) rispetto al suolo. Calcolare la velocità con cui il vagone giunge nel punto più basso del percorso, $y_b=10m$ (B). Determinare, inoltre modulo, direzione e verso della reazione vincolare dei binari nel punto C ($y_c=20m$), necessaria per mantenere il vagone vincolato al percorso, sapendo che il raggio di curvatura in quel punto vale $R=30m$. Si assumano i binari come un vincolo liscio e bilatero.
sol:
$N=mg(1-2(y_a-y_c)R)=-1635N$
La differenza di potenziale da $y_a$ a $y_b$ è $L = mg (y_a - y_b) = 1/2 m v_b^2 $
Da cui trovo la velocità nel punto B $v_b = sqrt(2g(y_a - y_c)) $
Dinamicamente la reazione vincolare al punto C $N = mg + mv_c^2/R $
trovo $v_c^2$ a partire dal potenziale di A
$mg(y_a - y_c) = 1/2m v_c^2$
$v_c^2 = 2g(y_a - y_c)$
quindi $N = mg + 2mg(y_a - y_c) = mg(1 + 2(y_a-y_c)/R) $
Dove sbaglio??
$ L = mg (y_a - y_b) = 1/2 m v_b^2 $Un vagone delle montagne russe di massa $m=500kg$ parte da fermo da una altezza $y_1=40m$ (A) rispetto al suolo. Calcolare la velocità con cui il vagone giunge nel punto più basso del percorso, $y_b=10m$ (B). Determinare, inoltre modulo, direzione e verso della reazione vincolare dei binari nel punto C ($y_c=20m$), necessaria per mantenere il vagone vincolato al percorso, sapendo che il raggio di curvatura in quel punto vale $R=30m$. Si assumano i binari come un vincolo liscio e bilatero.
sol:
$N=mg(1-2(y_a-y_c)R)=-1635N$
La differenza di potenziale da $y_a$ a $y_b$ è $L = mg (y_a - y_b) = 1/2 m v_b^2 $
Da cui trovo la velocità nel punto B $v_b = sqrt(2g(y_a - y_c)) $
Dinamicamente la reazione vincolare al punto C $N = mg + mv_c^2/R $
trovo $v_c^2$ a partire dal potenziale di A
$mg(y_a - y_c) = 1/2m v_c^2$
$v_c^2 = 2g(y_a - y_c)$
quindi $N = mg + 2mg(y_a - y_c) = mg(1 + 2(y_a-y_c)/R) $
Dove sbaglio??
Risposte
"PCSdaxter":
Dinamicamente la reazione vincolare al punto C $N = mg + mv_c^2/R $
Non è "più", ma "meno": la gravità e la forza centripeta hanno direzioni opposte (supponendo che il punto C sia un vertice e non un avvallamento)
non capisco..il verso della reazione vincolare è verso l'alto, quello della forza peso verso il basso, per la seconda legge della dinamica in y non ricavo $N - w = ma_n$ ?
"PCSdaxter":
.il verso della reazione vincolare è verso l'alto
No, è verso il basso, il vagone tenderebbe a staccarsi dalle rotaie verso l'alto
La 2º equazione della dinamica è vettoriale, le forze agenti sono il peso $mvecg$ e la reazione della guida $vecN$ , che è normale alla guida in quanto il vincolo è liscio.
$mveca = mvecg + vecN$
Il punto $C$ non è il più basso, visto che il più basso è $B$ . Quando posizioni il vagone in $C$ , la reazione è normale alla guida, che è liscia.
Proietta l'equazione vettoriale sulla terna intrinseca $vect, vecn, vecb$ , e vedi che cosa esce fuori . Essendo un problema piano, sul versore binormale è tutto uguale a zero. Sul versore normale , la componente di $veca$ è l'accelerazione centripeta , che ha modulo : $a_c = v^2/R$
Con la conservazione dell'energia , ottieni il modulo della velocità in $c$ , e siccome sai anche il raggio di curvatura puoi determinare quanto vale l'accelerazione centripeta.
Però non sappiamo nulla della forma che ha la guida in $C$ . Potrebbe avere la concavità verso l'alto o verso il basso. E non sappiamo se il punto $C$ è un punto di massimo relativo del percorso, con tangente orizzontale e quindi forza $vecN$ verticale , oppure è un punto qualsiasi del percorso. Il testo è impreciso, anche se dice che "si vuole tenere attaccato il vagone ai binari" : se il vincolo è bilatero per ipotesi, il vagone rimane attaccato ai binari.
Il problema, con queste scarse informazioni, per me non è risolvibile.
$mveca = mvecg + vecN$
Il punto $C$ non è il più basso, visto che il più basso è $B$ . Quando posizioni il vagone in $C$ , la reazione è normale alla guida, che è liscia.
Proietta l'equazione vettoriale sulla terna intrinseca $vect, vecn, vecb$ , e vedi che cosa esce fuori . Essendo un problema piano, sul versore binormale è tutto uguale a zero. Sul versore normale , la componente di $veca$ è l'accelerazione centripeta , che ha modulo : $a_c = v^2/R$
Con la conservazione dell'energia , ottieni il modulo della velocità in $c$ , e siccome sai anche il raggio di curvatura puoi determinare quanto vale l'accelerazione centripeta.
Però non sappiamo nulla della forma che ha la guida in $C$ . Potrebbe avere la concavità verso l'alto o verso il basso. E non sappiamo se il punto $C$ è un punto di massimo relativo del percorso, con tangente orizzontale e quindi forza $vecN$ verticale , oppure è un punto qualsiasi del percorso. Il testo è impreciso, anche se dice che "si vuole tenere attaccato il vagone ai binari" : se il vincolo è bilatero per ipotesi, il vagone rimane attaccato ai binari.
Il problema, con queste scarse informazioni, per me non è risolvibile.
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