Lamina e punto: matrice di inerzia, assi di inerzia, eq. moto e equlibrio.
ciao a tutti
ecco un esercizio:
Nel piano verticale Oxy un sistema materiale è costituito da un punto materiale P di massa m e da una lamina rettangolare ABCD di lati 2L ed L densità $S=2mxy/L^4$ $(x,y)$ $in$ $ [0,2L]$x$ [0,L]$ .
il punto P è vincolato a muoversi su una guida circolare di centro O e raggio 8L, la lamina è vincolata in A e B a scorrere senza attrito sull'asse x. una molla di costante elastica k collega P e D. sul punto P agisce una forza tangenziale ù
$F=-k/(2L) |OP'||P'P|$ dove P' è la proiezione di P sull'asse x.
1)determinare la matrice di inerzia e la terna di assi principali di inerzia in Axyz.
2)nell'ipotesi che la guida sia scabra, determinare le posizioni di equilibrio del sistema e in corrispondenza le reazioni vincolari.
3)nell'ipotesi che la guida sia liscia e che il piano Oxy ruoti uniformemente attorno all'asse Oy determinare le equazioni differenziali pure del moto del sistema e la reazione vincolare in P all'istante iniziale in cui P si trova sull'asse Oy e A sulla guida circolare.
1)
allora per il primo punto ho trovato la massa della lamina come $m=SA$ dove $A=2L^2$ è l'area del rettangole e S la densità di massa. ho ottenuto $m=4mxy/L^2$
ho calcolato il baricentro della lamina è ho ottenuto $G=(L,1/2L^2)$
corretto????|
per trovare la matrice di inerzia rispetto ad A devo trovare le matrici di inerzia della lamina e del punto P rispetto ad A e poi sommare. la matrice di inerzia della lamina avra' una forma del tipo:
$((I_(x x),0,I_(xy)),(I_(xy),I_(yy),0),(0,0,I_(x x)+I_(yy)))$
i vari momenti che compaiono nella matrice di inerzia della lamina rispetto ad A si devono calcolare con Hugnes Steiner.
ad esempio: $I_(x x)A=I_(x x)G+md^2$ dove d è la distanza tra G ed A.
corretto?
per la matrice del punto il discorso è lo stesso solo che il baricentro che compare nella forimula di hugnes Steiner è proprio P...
non mi convince il fatto della matrice di inerzia di un punto materiale, non l'ho mai fatta o vista nel libro, non so se sia sbagliato..
comunque, ammesso che lo sia, calcolate le due matrici con Steiner, poi le sommo ed ho la matrice richiesta dal punto 1) corretto???
per gli assi non so come fare..
aspetto vostre corrrezioni, e poi continuo con 2) e 3)
ecco un esercizio:
Nel piano verticale Oxy un sistema materiale è costituito da un punto materiale P di massa m e da una lamina rettangolare ABCD di lati 2L ed L densità $S=2mxy/L^4$ $(x,y)$ $in$ $ [0,2L]$x$ [0,L]$ .
il punto P è vincolato a muoversi su una guida circolare di centro O e raggio 8L, la lamina è vincolata in A e B a scorrere senza attrito sull'asse x. una molla di costante elastica k collega P e D. sul punto P agisce una forza tangenziale ù
$F=-k/(2L) |OP'||P'P|$ dove P' è la proiezione di P sull'asse x.
1)determinare la matrice di inerzia e la terna di assi principali di inerzia in Axyz.
2)nell'ipotesi che la guida sia scabra, determinare le posizioni di equilibrio del sistema e in corrispondenza le reazioni vincolari.
3)nell'ipotesi che la guida sia liscia e che il piano Oxy ruoti uniformemente attorno all'asse Oy determinare le equazioni differenziali pure del moto del sistema e la reazione vincolare in P all'istante iniziale in cui P si trova sull'asse Oy e A sulla guida circolare.
1)
allora per il primo punto ho trovato la massa della lamina come $m=SA$ dove $A=2L^2$ è l'area del rettangole e S la densità di massa. ho ottenuto $m=4mxy/L^2$
ho calcolato il baricentro della lamina è ho ottenuto $G=(L,1/2L^2)$
corretto????|
per trovare la matrice di inerzia rispetto ad A devo trovare le matrici di inerzia della lamina e del punto P rispetto ad A e poi sommare. la matrice di inerzia della lamina avra' una forma del tipo:
$((I_(x x),0,I_(xy)),(I_(xy),I_(yy),0),(0,0,I_(x x)+I_(yy)))$
i vari momenti che compaiono nella matrice di inerzia della lamina rispetto ad A si devono calcolare con Hugnes Steiner.
ad esempio: $I_(x x)A=I_(x x)G+md^2$ dove d è la distanza tra G ed A.
corretto?
per la matrice del punto il discorso è lo stesso solo che il baricentro che compare nella forimula di hugnes Steiner è proprio P...
non mi convince il fatto della matrice di inerzia di un punto materiale, non l'ho mai fatta o vista nel libro, non so se sia sbagliato..
comunque, ammesso che lo sia, calcolate le due matrici con Steiner, poi le sommo ed ho la matrice richiesta dal punto 1) corretto???
per gli assi non so come fare..
aspetto vostre corrrezioni, e poi continuo con 2) e 3)
Risposte
non puoi trovare una massa in cui compaiano x e y. devi svolgere un integrale doppio per calcolarla.
comunque io non mi calcolerei la massa della lastra ma passerei subito al calcolo del suo tensore di inerzia. il tensore di inerzia poi è additivo, quindi per ottenere quello del sistema sommi quello della lastra e quello del punto
considerando
$I=((A,-F,-E),(-F,B,-D),(-E,-D,C))$
il generico tensore di inerzia
$A=\sum_{i=1}^n m_i(y_i^2 + z_i^2)$
e così via.....se non conosci come si calcolano gli altri termini puoi riprendere in mano il tuo libro di mecc raz oppure vedere qua http://users.dma.unipi.it/barsanti/bulk ... 121120.pdf
quindi con un riferimento centrato in A ti risolvi tutti i termini del tensore. Io ne ho scritto uno come sommatoria di elementi finiti, ma nel caso di continuo, come la lastra diventa un integrale. Comunque mi sa che prima devi risolvere il moto degli oggetti.
EDIT*
avevo sbagliato un segno nella matrice
comunque io non mi calcolerei la massa della lastra ma passerei subito al calcolo del suo tensore di inerzia. il tensore di inerzia poi è additivo, quindi per ottenere quello del sistema sommi quello della lastra e quello del punto
considerando
$I=((A,-F,-E),(-F,B,-D),(-E,-D,C))$
il generico tensore di inerzia
$A=\sum_{i=1}^n m_i(y_i^2 + z_i^2)$
e così via.....se non conosci come si calcolano gli altri termini puoi riprendere in mano il tuo libro di mecc raz oppure vedere qua http://users.dma.unipi.it/barsanti/bulk ... 121120.pdf
quindi con un riferimento centrato in A ti risolvi tutti i termini del tensore. Io ne ho scritto uno come sommatoria di elementi finiti, ma nel caso di continuo, come la lastra diventa un integrale. Comunque mi sa che prima devi risolvere il moto degli oggetti.
EDIT*
avevo sbagliato un segno nella matrice
nel link che ti ho dato poi c'è anche la spiegazione su come si calcolano gli assi principali
quindi calcolo gli elementi della matrice A e poi applico huygen Steiner?
quello che ho chiamato I è il tensore di inerzia. A è quello che te hai chiamato $I_{x x}$ quindi ora capisci. Puoi anche calcolarti il momento di inerzia baricentrico, e poi con HS trasportarlo fino al punto A della lastra. Però ti devi calcolare ammodo la massa totale, cioè con un integrale doppio. Opure usare la definizione di ogni termine del tensore. HS quasi sicuramente è più veloce. ma lo devi usare per bene. Comunque come ti ho detto mi sa che prima conviene risolvere il moto per vedere che posizione assume il punto rispetto a A, se non non sai come scrivere il suo termine inerziale. Il link che ti ho dato spiega tutto ammodo, anche se la scrittura non è il massimo.
ho calcolato di nuovo la massa della lamina ed è $M=2m$
il baricentro è $G=(4L/3,2L/3)$
quindi posso calcolare i tensori di inerzia baricentrici e poi con hs quelli riferiti ad A.
per gli assi principali di inerzia ?
dovrei scrivere $I_A = I_x x cos^2θ + Iyy sen^2θ - 2 Ixy senθ cosθ$ e porre $(dI_A)/(dθ) = 0$ da cui trovo $tan2θ = 32/63$
da cui $θ_1 = 13,5°$ ; $θ_2 = 103,5°$ e poi???? come trovo l'equazione degli assi??
il baricentro è $G=(4L/3,2L/3)$
quindi posso calcolare i tensori di inerzia baricentrici e poi con hs quelli riferiti ad A.
per gli assi principali di inerzia ?
dovrei scrivere $I_A = I_x x cos^2θ + Iyy sen^2θ - 2 Ixy senθ cosθ$ e porre $(dI_A)/(dθ) = 0$ da cui trovo $tan2θ = 32/63$
da cui $θ_1 = 13,5°$ ; $θ_2 = 103,5°$ e poi???? come trovo l'equazione degli assi??
ti ostini a chiederlo ancora?
quindi ti ostini a non leggere il link che ti ho dato.
mi par veramente sciocco chiedere una mano e poi non guardare nemmeno ciò che ti viene dato.
sono 11 pagine. non è una gran lettura
preferisco farti leggere gli appunti del mio prof di razionale che ne sa molto più di me
quindi ti ostini a non leggere il link che ti ho dato.
mi par veramente sciocco chiedere una mano e poi non guardare nemmeno ciò che ti viene dato.
sono 11 pagine. non è una gran lettura
preferisco farti leggere gli appunti del mio prof di razionale che ne sa molto più di me
scusa ma l'ho lette le pagine, m calcola soli i tensori di inerzia... non gli assi principali di inerzia..http://users.dma.unipi.it/barsanti/bulk ... 121121.pdf da questo link si capiscono come si trovano gli assi di inerzia:) forse hai sbagliato a copiare link:)
comunque..
ho calcolato
$ I_ x x= mL^2$ $I_yy=4mL^2$ $I_xy=-2mL^2/9$ $I_x x +I_yy=5mL^2$
per applicare HS devo vedere quale sia la distanza tra A e G ed è $d^2=(x_A+8/9L^2-4/3Lx_A)$ supposto $A=(x_A,0)$ giusto?
e cosi mi posso scrivere la matrice di inerzia della lamina rispetto ad Axyz.. e del punto?come lo considero ai fini della matrice di inerzia del sistema? mi hai detto che devo trovare un legame tra la posizione di A e di P. ma non riesco a ricavare nulla..
come faccio?
comunque..
ho calcolato
$ I_ x x= mL^2$ $I_yy=4mL^2$ $I_xy=-2mL^2/9$ $I_x x +I_yy=5mL^2$
per applicare HS devo vedere quale sia la distanza tra A e G ed è $d^2=(x_A+8/9L^2-4/3Lx_A)$ supposto $A=(x_A,0)$ giusto?
e cosi mi posso scrivere la matrice di inerzia della lamina rispetto ad Axyz.. e del punto?come lo considero ai fini della matrice di inerzia del sistema? mi hai detto che devo trovare un legame tra la posizione di A e di P. ma non riesco a ricavare nulla..
come faccio?
non ho sbagliato link. Pag. 7 del mio link "gli assi di simmetria dell'ellissoide sono ASSI PRINCIPALI DI INERZIA e corrispondono alle direzioni date dagli autovettori del tensore di inerzia"
comunque, se non mi sbaglio sul punto agisce una forza. se agisce una forza risolvi il moto. come ti ho detto prima. poi considera anche il fatto che tra punto e lamina c'è una molla. risolvi insomma le equazioni cardinali.
la distanza tra A e G non dipende da dove si trova A ma dalla geometria della lastra. un esempio. se tu ti trovi sopra il tuo tavolo, e il tuo tavolo si muove, lo spigolo del tuo tavolo si allontana da te? mi sa di no
comunque, se non mi sbaglio sul punto agisce una forza. se agisce una forza risolvi il moto. come ti ho detto prima. poi considera anche il fatto che tra punto e lamina c'è una molla. risolvi insomma le equazioni cardinali.
la distanza tra A e G non dipende da dove si trova A ma dalla geometria della lastra. un esempio. se tu ti trovi sopra il tuo tavolo, e il tuo tavolo si muove, lo spigolo del tuo tavolo si allontana da te? mi sa di no
mmmm....
sul punto agisce la forza peso $F=-mg$ e la forza data dalle traccia che non sto cui a ricopiare ...
prima ho scritto l'equazione $OP=8Lcosθi +8Lsenθj$ , poi ho calcolato il suo versore $t$, e poi ho calcolato la componente tangenziale della forza data nella traccia giusto?
tra il punto P e la lamina c'e' la molla quindi una forza elastica $F=-kPD$ con k costante elastica...
come scrivo le equazioni cardinali??
sul punto agisce la forza peso $F=-mg$ e la forza data dalle traccia che non sto cui a ricopiare ...
prima ho scritto l'equazione $OP=8Lcosθi +8Lsenθj$ , poi ho calcolato il suo versore $t$, e poi ho calcolato la componente tangenziale della forza data nella traccia giusto?
tra il punto P e la lamina c'e' la molla quindi una forza elastica $F=-kPD$ con k costante elastica...
come scrivo le equazioni cardinali??
non ti posso risolvere il problema. usa newton. lagrange cosa vuoi. non credo ci sia il peso in quanto non è specificato che è presente la gravità. per trovarti il termine inerziale del punto mi pare, come ti ho detto, si debba prima trovare la posizione del punto rispetto a A, senno come fai a scriverne il tensore. indipendentemente da questo, le equazioni del moto te le devi calcolare prima e poi per la risoluzione dell'esercizio. quindi non fai fatica in più.
come ti ho già detto se prendi la definizione discreta dei termini del tensore ti calcoli il termine inerziale del punto. sono discreti, quindi si riferiscono appunto a punti separati, non a un continuo. tanti termini saranno nulli.
per la definizione discreta dei termini inerziali rimando al solito link.
ora, nel caso in cui abbia lacune su altre cose di mecc razz, http://users.dma.unipi.it/barsanti/mecc ... index.html qua puoi trovare l'intero corso che mi ha fatto il prof che comprende lavagnate e registrazioni di lui che spiega. sono ordinate per argomento, quindi trovi facile cose che ti servono.
come ti ho già detto se prendi la definizione discreta dei termini del tensore ti calcoli il termine inerziale del punto. sono discreti, quindi si riferiscono appunto a punti separati, non a un continuo. tanti termini saranno nulli.
per la definizione discreta dei termini inerziali rimando al solito link.
ora, nel caso in cui abbia lacune su altre cose di mecc razz, http://users.dma.unipi.it/barsanti/mecc ... index.html qua puoi trovare l'intero corso che mi ha fatto il prof che comprende lavagnate e registrazioni di lui che spiega. sono ordinate per argomento, quindi trovi facile cose che ti servono.
per quanto riguarda il punto 2) dovrei scrivere le eq. cardinali della statica tenendo conto delle forze che ci sono nel sistema.. ma non riesco a scriverle..
le equazioni (1 eq. cardinale della statica) sono forse queste per il punto:
$-mg+F+fi+kPD=0$ dove fi è la reazione vincolare, F la forza tangenziale data dalla traccia.
per la lamina:
$-2mg+kDP+fi=0$
giusto?
$-mg+F+fi+kPD=0$ dove fi è la reazione vincolare, F la forza tangenziale data dalla traccia.
per la lamina:
$-2mg+kDP+fi=0$
giusto?
dunque, sono riuscita a svolgere i punti. ora vi chiede se questo che ho scritto è giusto:
la traccia chiede di determinare la reazione vincolare in P quando il sistema OXY ruota uniformemente attorno all'asse OY nell'istante iniziale in cui P sta su OY quindi ha coordinate $P= (0,8lsenθ)$ ed il vertice A della lamina sta sulla guida circolare quindi ha coordinate $A=(8lcosθ,0)$. sul punto P agisce la forza peso, la forza elastica,la forza F,la Forza di coriolis e quella di trascinamento.
io scrivo l'equazione di bilancio $ma_P=F_P+F_el+F_C+F+F_t+fi_p $ dove $fi_p$ è la reazione vincolare in P
P ha accellerazione pari $a_P= (θ''')^(3)*8Lcosθ+8Lsenθθ''θ'$
$F_p=(0,-mg)$
$F_el=-k(8Lcosθ,L(1-8senθ))$
$F_c=(0,16mwsenθθ')$
$F=-32kLsenθcosθ(-senθ,cosθ)$
$F_t=(0,mw^2*8Lsenθ)$
una volta calcolate le varie forze, proietto l'equazione di bilancio su asse x ed y, cosi ottengo le componenti della reazione vincolare in P. è giusto? ps : per ' si intende derivata rispetto al tempo
la traccia chiede di determinare la reazione vincolare in P quando il sistema OXY ruota uniformemente attorno all'asse OY nell'istante iniziale in cui P sta su OY quindi ha coordinate $P= (0,8lsenθ)$ ed il vertice A della lamina sta sulla guida circolare quindi ha coordinate $A=(8lcosθ,0)$. sul punto P agisce la forza peso, la forza elastica,la forza F,la Forza di coriolis e quella di trascinamento.
io scrivo l'equazione di bilancio $ma_P=F_P+F_el+F_C+F+F_t+fi_p $ dove $fi_p$ è la reazione vincolare in P
P ha accellerazione pari $a_P= (θ''')^(3)*8Lcosθ+8Lsenθθ''θ'$
$F_p=(0,-mg)$
$F_el=-k(8Lcosθ,L(1-8senθ))$
$F_c=(0,16mwsenθθ')$
$F=-32kLsenθcosθ(-senθ,cosθ)$
$F_t=(0,mw^2*8Lsenθ)$
una volta calcolate le varie forze, proietto l'equazione di bilancio su asse x ed y, cosi ottengo le componenti della reazione vincolare in P. è giusto? ps : per ' si intende derivata rispetto al tempo
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