Lagrangiana e equazioni del moto
Salve ragazzi ci propongo un esercizio:
Ho risolto in questo modo:
-Considero le coordinate ellittiche così da avere come coordinate generalizzate:
$ { ( x=acosx ),( y=bsinx ):} $
Di conseguenza per le derivate si ha:
$ { ( x'=-asinx ),( y=bcosx ):} $
-La Lagrangiana di conseguenza sarà la differenza tra l'energia cinetica e quella potenziale:
$L=T-U$
$T=1/2m(dot(x)^2+dot(y)^2) = 1/2ma^2dot(theta)^2$
$U=mgy+1/2kx^2= mgbsinx+1/2ka^2cos^2theta$
Di conseguenza $L= 1/2ma^2dot(theta)^2-mgbsinx-1/2ka^2cos^2theta$
Mentre l'equazione del moto sarà:
$ma^2ddot(theta)+mgbcostheta-ka^2costhetasintheta$
E'giusto? Grazie in anticipo!
Ho risolto in questo modo:
-Considero le coordinate ellittiche così da avere come coordinate generalizzate:
$ { ( x=acosx ),( y=bsinx ):} $
Di conseguenza per le derivate si ha:
$ { ( x'=-asinx ),( y=bcosx ):} $
-La Lagrangiana di conseguenza sarà la differenza tra l'energia cinetica e quella potenziale:
$L=T-U$
$T=1/2m(dot(x)^2+dot(y)^2) = 1/2ma^2dot(theta)^2$
$U=mgy+1/2kx^2= mgbsinx+1/2ka^2cos^2theta$
Di conseguenza $L= 1/2ma^2dot(theta)^2-mgbsinx-1/2ka^2cos^2theta$
Mentre l'equazione del moto sarà:
$ma^2ddot(theta)+mgbcostheta-ka^2costhetasintheta$
E'giusto? Grazie in anticipo!
Risposte
Mi pare tutto sbagliato.
A parte che ti porti dietro x, manca il termine alla derivata parziale in $theta$.
E poi, nell'equazione del moto, ti pare possibile che non appaia il termine per l'accelerazione normale (proporzionale a $dottheta^2$)???? E' un moto ellittico con forza centrale perdi piu'.
A parte che ti porti dietro x, manca il termine alla derivata parziale in $theta$.
E poi, nell'equazione del moto, ti pare possibile che non appaia il termine per l'accelerazione normale (proporzionale a $dottheta^2$)???? E' un moto ellittico con forza centrale perdi piu'.
Scusami hai ragione ho fatto un po' di casini nel riscrivere. Provo a risistemare:
-Considero le coordinate ellittiche così da avere come coordinate generalizzate:
$ { ( x=acostheta ),( y=bsintheta ):} $
-Di conseguenza per le derivate si ha:
$ { ( dot(x)=-asinthetadot(theta) ),( dot(y)=bcosthetadot(theta) ):} $
-La Lagrangiana di conseguenza sarà la differenza tra l'energia cinetica e quella potenziale:
$ L=T-U $
$ T=1/2m(dot(x)^2+dot(y)^2) = 1/2ma^2dot(theta)^2 $
$ U=mgy+1/2kx^2= mgbsintheta+1/2ka^2cos^2theta $
Di conseguenza $ L= 1/2ma^2dot(theta)^2-mgbsintheta-1/2ka^2cos^2theta $
Mentre l'equazione del moto sarà:
$ d/dt(partial L)/(partial dot(theta) )-(partial L)/(partial theta)=0 $
$ ma^2ddot(theta)+mgbcosthetadot(theta)-ka^2costhetasinthetadot(theta)=0$
Meglio?
-Considero le coordinate ellittiche così da avere come coordinate generalizzate:
$ { ( x=acostheta ),( y=bsintheta ):} $
-Di conseguenza per le derivate si ha:
$ { ( dot(x)=-asinthetadot(theta) ),( dot(y)=bcosthetadot(theta) ):} $
-La Lagrangiana di conseguenza sarà la differenza tra l'energia cinetica e quella potenziale:
$ L=T-U $
$ T=1/2m(dot(x)^2+dot(y)^2) = 1/2ma^2dot(theta)^2 $
$ U=mgy+1/2kx^2= mgbsintheta+1/2ka^2cos^2theta $
Di conseguenza $ L= 1/2ma^2dot(theta)^2-mgbsintheta-1/2ka^2cos^2theta $
Mentre l'equazione del moto sarà:
$ d/dt(partial L)/(partial dot(theta) )-(partial L)/(partial theta)=0 $
$ ma^2ddot(theta)+mgbcosthetadot(theta)-ka^2costhetasinthetadot(theta)=0$
Meglio?
Ma scusa, ma l'energia cinetica e'
$E=1/2m(dotx^2+doty^2)=1/2m(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)dottheta^2$
La derivata rispetto a $dottheta$
$[partialE]/[partialdottheta]=m(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)dottheta$
Ora la derivi rispetto al tempo
$d/[dt]([partialE]/[partialdottheta])=m[(-2a^2sinthetacostheta+2b^2sinthetacostheta)dottheta^2+(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)ddottheta]$
Il termine di derivazione in $theta$ e'
$[partialE]/[partialtheta]=m(-a^2costhetasintheta+b^2sinthetacostheta)dottheta^2$
Il potenziale della molla e' $V_m=-1/2k(x^2+y^2)=-1/2k(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)$
La componente lagrangiana del potenziale della molla risulta
$(partialV)/(partialtheta)=-k(-a^2costhetasintheta+b^2sinthetacostheta)$
mentre la forza peso e' $dV=-mgdy=-mgbcostheta$
L'equazione del moto, da sfacchinarci per sfrondarla un po' e'
$m[(-2a^2sinthetacostheta+2b^2sinthetacostheta)dottheta^2+(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)ddottheta]-m(-a^2costhetasintheta+b^2sinthetacostheta)dottheta^2=-k(-a^2costhetasintheta+b^2sinthetacostheta)-mgbcostheta$
A meno di qualche copia e incolla sballato
$E=1/2m(dotx^2+doty^2)=1/2m(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)dottheta^2$
La derivata rispetto a $dottheta$
$[partialE]/[partialdottheta]=m(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)dottheta$
Ora la derivi rispetto al tempo
$d/[dt]([partialE]/[partialdottheta])=m[(-2a^2sinthetacostheta+2b^2sinthetacostheta)dottheta^2+(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)ddottheta]$
Il termine di derivazione in $theta$ e'
$[partialE]/[partialtheta]=m(-a^2costhetasintheta+b^2sinthetacostheta)dottheta^2$
Il potenziale della molla e' $V_m=-1/2k(x^2+y^2)=-1/2k(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)$
La componente lagrangiana del potenziale della molla risulta
$(partialV)/(partialtheta)=-k(-a^2costhetasintheta+b^2sinthetacostheta)$
mentre la forza peso e' $dV=-mgdy=-mgbcostheta$
L'equazione del moto, da sfacchinarci per sfrondarla un po' e'
$m[(-2a^2sinthetacostheta+2b^2sinthetacostheta)dottheta^2+(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)ddottheta]-m(-a^2costhetasintheta+b^2sinthetacostheta)dottheta^2=-k(-a^2costhetasintheta+b^2sinthetacostheta)-mgbcostheta$
A meno di qualche copia e incolla sballato
Ok ho capito, maledetti errori di calcolo!! ahahaha Grazie mille per il tuo tempo comunque
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