Lagrangiana di un sistema di due punti
Salve a tutti,
la prossima settimana dovrò sostenere la prova scritta di Meccanica Analitica (cdl Fisica) e se da una parte mi sembra che gli esercizi proposti in genere non siano difficili, devo ammettere di essermi bloccato con una vecchia traccia d'esame che vi propongo.
Agli estremi di una barretta lunga 2l e massa trascurabile, in un piano verticale, sono attaccati due punti materiali P1 e P2 con masse m1 e m2. Il centro della sbarretta è vincolato a muoversi lungo l'asse orizzontale x ed è attrattto verso il punto O sullo stesso asse da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo trascurabile. Il punto P1 è inoltre connesso allo stesso asse x da una seconda molla di costante elastica k' e lunghezza a riposo trascurabile, vincolata a rimanere sempre in posizione verticale.
Il quesito sul quale mi sono soffermato è il primo, in cui si chiede di scrivere la lagrangiana e di discutere le equazioni del moto supponendo m1=m2.
Da parte mia, ingenuamente mi verrebbe da scrivere per P1 x1=X, y1=l*sin$\theta$, e per P2 x2=X-l*cos$\theta$ e y2=-l*sin$\theta$, se $\theta$ è l'angolo fra l'asse x e la barra e X è costante, ma in questo modo avrei un sistema a un solo grado di libertà(?). In un primo momento, in realtà, avevo usato anche la coordinata y di P1, mentre la ragazza che mi ha prestato i suoi appunti usava la coordinata d dell'elongazione della molla k, descrivendo in effetti il moto del punto medio(?). Ad ogni modo, se fosse come ho scritto sopra queste coordinate risulterebbero soverchie. Mi rendo conto che il problema è senz'altro di semplice risoluzione, ma mi piacerebbe capire bene qual è il modo corretto di ragionarci.
Grazie!
la prossima settimana dovrò sostenere la prova scritta di Meccanica Analitica (cdl Fisica) e se da una parte mi sembra che gli esercizi proposti in genere non siano difficili, devo ammettere di essermi bloccato con una vecchia traccia d'esame che vi propongo.
Agli estremi di una barretta lunga 2l e massa trascurabile, in un piano verticale, sono attaccati due punti materiali P1 e P2 con masse m1 e m2. Il centro della sbarretta è vincolato a muoversi lungo l'asse orizzontale x ed è attrattto verso il punto O sullo stesso asse da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo trascurabile. Il punto P1 è inoltre connesso allo stesso asse x da una seconda molla di costante elastica k' e lunghezza a riposo trascurabile, vincolata a rimanere sempre in posizione verticale.
Il quesito sul quale mi sono soffermato è il primo, in cui si chiede di scrivere la lagrangiana e di discutere le equazioni del moto supponendo m1=m2.
Da parte mia, ingenuamente mi verrebbe da scrivere per P1 x1=X, y1=l*sin$\theta$, e per P2 x2=X-l*cos$\theta$ e y2=-l*sin$\theta$, se $\theta$ è l'angolo fra l'asse x e la barra e X è costante, ma in questo modo avrei un sistema a un solo grado di libertà(?). In un primo momento, in realtà, avevo usato anche la coordinata y di P1, mentre la ragazza che mi ha prestato i suoi appunti usava la coordinata d dell'elongazione della molla k, descrivendo in effetti il moto del punto medio(?). Ad ogni modo, se fosse come ho scritto sopra queste coordinate risulterebbero soverchie. Mi rendo conto che il problema è senz'altro di semplice risoluzione, ma mi piacerebbe capire bene qual è il modo corretto di ragionarci.
Grazie!
Risposte
"Nomikos":
Da parte mia, ingenuamente mi verrebbe da scrivere per P1 x1=X, y1=l*sin$\theta$, e per P2 x2=X-l*cos$\theta$ e y2=-l*sin$\theta$, se $\theta$ è l'angolo fra l'asse x e la barra e X è costante, ma in questo modo avrei un sistema a un solo grado di libertà(?).
No, due: \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle \theta \).
Ma X è una costante del sistema, come ad esempio l, o sbaglio? Ripeto, impostare il problema con d o con y, con il significato già discusso, parrebbe una scelta più plausibile, ma non me ne faccio una ragione. Avevo preso a ragionare anche sulla mobilità del vincolo (P2 ruota intorno a un centro che trasla) ma finisco per complicarmi le cose.
"Nomikos":
Il centro della sbarretta è vincolato a muoversi lungo l'asse orizzontale x ed è attrattto verso il punto O sullo stesso asse da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo trascurabile.
dunque X non è una costante.
Ok, ma X avevo specificato essere la coordinata x del punto P1. Tu intendi la coordinata x del punto medio, se ben capisco. Ma questa la vedo legata a $\theta$, essendo pari a X-l*cos$\theta$.
"Nomikos":
Ok, ma X avevo specificato essere la coordinata x del punto P1. Tu intendi la coordinata x del punto medio, se ben capisco. Ma questa la vedo legata a $\theta$, essendo pari a X-l*cos$\theta$.
Sì, volevo dire la coordinata del punto medio della sbarra.
Penso che
\(\displaystyle q_1 \) = la coordinata x del punto medio della sbarra
\(\displaystyle q_2 \) = \(\displaystyle \theta \)
è la scelta più logica per le coordinate.
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