Lagrangiana di un sistema
ho il dubbio,proseguendo nell'esercizio,che la lagrangiana da me scritta sia errata...o meglio non abbia i segni corretti
una sbarra di lunghezza $l$ e massa $m$ ed estremi $A$ e $B$ è ancorata nell'origine del piano cartesiano grazie ad $A$. L'angolo che essa forma con l'asse $x$ è $theta$.
Vi è la forza peso e all'estremità $B$ è presente una molla di costante $k$ che tende a riportare la sbarra orizzontale.
Si calcoli la lagrangiana del sistema e i punti di equilibrio.
$T_"sbarra"=1/2*1/(12)ml^2(d/dt(theta))^2$
$U=mgy_"CM"=mgl/2sin(theta)$
$U_"elastica"=1/2ky^2=1/2kl^2(sin(theta))^2$
$L=T-U=1/2*1/(12)ml^2(d/dt(theta))^2-mgl/2sin(theta)-1/2kl^2(sin(theta))^2$
grazie
una sbarra di lunghezza $l$ e massa $m$ ed estremi $A$ e $B$ è ancorata nell'origine del piano cartesiano grazie ad $A$. L'angolo che essa forma con l'asse $x$ è $theta$.
Vi è la forza peso e all'estremità $B$ è presente una molla di costante $k$ che tende a riportare la sbarra orizzontale.
Si calcoli la lagrangiana del sistema e i punti di equilibrio.
$T_"sbarra"=1/2*1/(12)ml^2(d/dt(theta))^2$
$U=mgy_"CM"=mgl/2sin(theta)$
$U_"elastica"=1/2ky^2=1/2kl^2(sin(theta))^2$
$L=T-U=1/2*1/(12)ml^2(d/dt(theta))^2-mgl/2sin(theta)-1/2kl^2(sin(theta))^2$
grazie
Risposte
Probabilmente c'è un problema con il termine di gravità. Puoi chiarire meglio il sistema di riferimento che hai scelto?
Ma potrebbe esserci anche un problema nel potenziale elastico: sicuro che la molla non sia ancorata in entrambe le posizioni, una estremità alla sbarra e l'altra alle coordinate (l,0)?
Ma potrebbe esserci anche un problema nel potenziale elastico: sicuro che la molla non sia ancorata in entrambe le posizioni, una estremità alla sbarra e l'altra alle coordinate (l,0)?
Purtroppo il testo è solamente questo!
Sull'energia potenziale sono sicuro sia banalmente cosi!
Quella elastica come potrebbe diventare?
Ho la sensazione che manchi un segno $-$ ecco
Sull'energia potenziale sono sicuro sia banalmente cosi!
Quella elastica come potrebbe diventare?
Ho la sensazione che manchi un segno $-$ ecco
Se orienti l'asse y verso l'alto, forza di gravità e orientazione dell'asse sono opposti ed è corretto $U = mgy$.
Se invece orienti l'asse y verso il basso, le due sono discordi e $U = - mgy$. Questo discende dalla definizione di energia potenziale, ossia dal fatto che la forza è pari a meno gradiente dell'energia potenziale rispetto alle coordinate.
Senza specificare il sistema di riferimento non si può dire se è giusta/sbagliata. Per chiarire, esso sarebbe giusto se scegliessi l'asse y orientato verso l'alto. Ovviamente in questo caso (dimenticati per un attimo l'azione della molla) la sbarra tenderà a ruotare verso il basso (guadagna energia cinetica) e quindi verso angoli negativi: il termine di energia cinetica aumenta ma a sua volta il termine di energia potenziale che hai scritto diminuirebbe in modo da conservare l'energia.
E' una scelta arbitraria completamente nelle tue mani, però sceglila bene
Una volta fatto, si può discutere se quello che hai scritto sia giusto o meno.
Se invece orienti l'asse y verso il basso, le due sono discordi e $U = - mgy$. Questo discende dalla definizione di energia potenziale, ossia dal fatto che la forza è pari a meno gradiente dell'energia potenziale rispetto alle coordinate.
Senza specificare il sistema di riferimento non si può dire se è giusta/sbagliata. Per chiarire, esso sarebbe giusto se scegliessi l'asse y orientato verso l'alto. Ovviamente in questo caso (dimenticati per un attimo l'azione della molla) la sbarra tenderà a ruotare verso il basso (guadagna energia cinetica) e quindi verso angoli negativi: il termine di energia cinetica aumenta ma a sua volta il termine di energia potenziale che hai scritto diminuirebbe in modo da conservare l'energia.
E' una scelta arbitraria completamente nelle tue mani, però sceglila bene
Una volta fatto, si può discutere se quello che hai scritto sia giusto o meno.
Allora l'asse $y$ è verso l'alto, purtroppo non riesco a mettere qui il disegno della situazione.
Quindi $U=mgy$ con segno $+$, mentre l'energia elastica avrebbe segno meno?
Perché?
Grazie
Quindi $U=mgy$ con segno $+$, mentre l'energia elastica avrebbe segno meno?
Perché?
Grazie
Se orienti così, direi che la lagrangiana è corretta (trascuriamo l'allungamento nel potenziale elastico per il momento). Cosa non ti torna?
Purtroppo postare tutti i conti è molto difficile.
Provo a riassumere quello che non torna.
Scrivo il potenziale e ricerco le posizioni di equilibrio:
Trovo che $U_"eff"(theta)$ ha 2 minimi $theta=-pi/2$ e $theta=arcsin(-mg/(2kl))$
Calcolo se i minimi sono stabili e la frequenza delle piccole oscillazioni intorno a $-pi/2$ e trovo che posto $theta=-pi/2 + eps$, allora $eps"=(6g/l+12k/l)eps$ e il che è assurdo, perché sarebbe $-omega^2=6g/l+12k/l$
Ma sono quasi certo che $-pi/2$ sia stabile e quindi dovrei trovare l'eq.di un oscillatore armonico
Provo a riassumere quello che non torna.
Scrivo il potenziale e ricerco le posizioni di equilibrio:
Trovo che $U_"eff"(theta)$ ha 2 minimi $theta=-pi/2$ e $theta=arcsin(-mg/(2kl))$
Calcolo se i minimi sono stabili e la frequenza delle piccole oscillazioni intorno a $-pi/2$ e trovo che posto $theta=-pi/2 + eps$, allora $eps"=(6g/l+12k/l)eps$ e il che è assurdo, perché sarebbe $-omega^2=6g/l+12k/l$
Ma sono quasi certo che $-pi/2$ sia stabile e quindi dovrei trovare l'eq.di un oscillatore armonico
Vedo un paio di problemi:
1) il primo: l'angolo $\theta=-pi/2$ non è in generale di equilibrio stabile. Ipotizzando che il potenziale elastico è proporzionale alla coordinata y (che fa le veci dell'allungamento della molla), è possibile una condizione di equilibrio (quella in cui forza elastica e gravità si bilanciano). Cosa succede se perturbi un pochino l'angolo? Il sistema oscilla attorno all'equilibrio (equ stabile) oppure no a seconda dei parametri del problema. Come hai studiato tutto ciò?
2) il secondo: ho comunque forti dubbi che l'allungamento della molla sia quello che hai scritto. Io avevo pensato subito che era la distanza tra il punto (l,0) e l'estremo B dell'asta. Conviene chiarire subito questo punto, non hai modo di ottenere chiarimenti circa il testo?
1) il primo: l'angolo $\theta=-pi/2$ non è in generale di equilibrio stabile. Ipotizzando che il potenziale elastico è proporzionale alla coordinata y (che fa le veci dell'allungamento della molla), è possibile una condizione di equilibrio (quella in cui forza elastica e gravità si bilanciano). Cosa succede se perturbi un pochino l'angolo? Il sistema oscilla attorno all'equilibrio (equ stabile) oppure no a seconda dei parametri del problema. Come hai studiato tutto ciò?
2) il secondo: ho comunque forti dubbi che l'allungamento della molla sia quello che hai scritto. Io avevo pensato subito che era la distanza tra il punto (l,0) e l'estremo B dell'asta. Conviene chiarire subito questo punto, non hai modo di ottenere chiarimenti circa il testo?
1)ho preso il potenziale che compare nel testo(poiché in questo caso coincide con quello efficace) e ho calcolato $U'=0$ per trovare i punti di equilibrio e poi ho studiato $U'>0$ per trovare minimi e massimi.
Per questo penso che l'errore sia nella Lagrangiana.
2) essendo da un tema d'esame passato, sto cercando di recuperare il testo ma non ho risultati per ora.
Se fosse come intendi tu, l'energia potenziale della molla come vorrebbe?
Perché onestamente non capisco però come trovi $(l,0)$...nel senso io ho una sbarra di lunghezza $l$ che ha estremi $A=O$ e $B$, forma un angolo $theta$ con l'asse $x$ e all'estremo $B$ ha appesa una molla di costante $k$.
Per questo penso che l'errore sia nella Lagrangiana.
2) essendo da un tema d'esame passato, sto cercando di recuperare il testo ma non ho risultati per ora.
Se fosse come intendi tu, l'energia potenziale della molla come vorrebbe?
Perché onestamente non capisco però come trovi $(l,0)$...nel senso io ho una sbarra di lunghezza $l$ che ha estremi $A=O$ e $B$, forma un angolo $theta$ con l'asse $x$ e all'estremo $B$ ha appesa una molla di costante $k$.
Il testo dice che la molla tende a riportare la sbarra in posizione orizzontale: per cui immagino una molla fissata nella posizione occupata da B quando orizzontale e cioé (l, 0). L'allungamento lo calcoli facile come distanza tra due punti, (l, 0) e B.
Tornado allo studio dei massimi/minimi, il procedimento che descrivi è sbagliato. Devi studiare il segno della derivata seconda per determinare se un punto stazionario è massimo o minimo.
Tornado allo studio dei massimi/minimi, il procedimento che descrivi è sbagliato. Devi studiare il segno della derivata seconda per determinare se un punto stazionario è massimo o minimo.
Ho capito, hai ragione...Quindi $U_"el"=1/2k((x_B-l)^2+(y_B-0)^2))$ no?
Solamente questa variazione potrebbe va apporta alla Lagrangiana?
Perché sbagliato? Faccio lo studio di quanto la derivata prima e positiva e poi con la tabellina trovo quando sono massimi e minimi... non è equivalente a studiare la derivata seconda?
Mi paiono modi equivalenti
Solamente questa variazione potrebbe va apporta alla Lagrangiana?
Perché sbagliato? Faccio lo studio di quanto la derivata prima e positiva e poi con la tabellina trovo quando sono massimi e minimi... non è equivalente a studiare la derivata seconda?
Mi paiono modi equivalenti
Ok, però devi ancora esprimere il potenziale in termini di angolo. Una volta fatto, conviene svolgere il quadrato e semplificare il tutto eliminando termini costanti (che non dipendono dalle coordinate) per avere una lagrangiana il più semplice possibile.
I punti di equilibrio sono punti stazionario dell'energia potenziale. Gli equilibri stabili sono minimi, quelli instabili massimi (questo almeno in 1D). Prima trovi gli equilibri, poi in ciascun punto calcoli la derivata seconda.
Direi che ciò che hai scritto nel post precedente non è equivalente a questo procedimento.
Per chiarire il tuo ragionamento conviene che tu scriva nel dettaglio conti e procedimento. Ma è molto probabile che il problema sia solo lì, e non nella lagrangiana (a meno di modifiche nel pot elastico)
I punti di equilibrio sono punti stazionario dell'energia potenziale. Gli equilibri stabili sono minimi, quelli instabili massimi (questo almeno in 1D). Prima trovi gli equilibri, poi in ciascun punto calcoli la derivata seconda.
Direi che ciò che hai scritto nel post precedente non è equivalente a questo procedimento.
Per chiarire il tuo ragionamento conviene che tu scriva nel dettaglio conti e procedimento. Ma è molto probabile che il problema sia solo lì, e non nella lagrangiana (a meno di modifiche nel pot elastico)
Appena torno a casa questa sera scrivo tutto con il pc.
Perché non sono equivalenti questi 2 modi? Non bisogna trovare se le $theta$ tali che
$U'(theta)=0$ sono massimi o minimi?
E quindi posso studiare il segno della derivata oppure la derivata seconda?
Perché non sono equivalenti questi 2 modi? Non bisogna trovare se le $theta$ tali che
$U'(theta)=0$ sono massimi o minimi?
E quindi posso studiare il segno della derivata oppure la derivata seconda?
Da come lo avevi descritto in precedenza, il procedimento mi pareva sbagliato. Questo confermato dal fatto che il risultato era palesemente errato ... Cioé per fugare ogni dubbio (scusami per la domanda banale): $x^3$ ha derivata prima $3 x^2$, che è ovunque $>=0$; $x=0$ è massimo o minimo o nulla?
Certo, puoi studiare il segno della derivata prima per capire se è un massimo o minimo e il risultato è identico (ipotizzando per esempio potenziali di classe C2, caso in cui si ricade qui). Però se giungi a quel risultato qualche errore nel tuo procedimento deve esserci: da qui la richiesta di postare il tuo procedimento.
Certo, puoi studiare il segno della derivata prima per capire se è un massimo o minimo e il risultato è identico (ipotizzando per esempio potenziali di classe C2, caso in cui si ricade qui). Però se giungi a quel risultato qualche errore nel tuo procedimento deve esserci: da qui la richiesta di postare il tuo procedimento.
Capisco! Sto rispondendo da un telefono.
Questa sera posto il conto completo scritto a pc o se riesco mando la foto
Questa sera posto il conto completo scritto a pc o se riesco mando la foto
"Lampo1089":
Da come lo avevi descritto in precedenza, il procedimento mi pareva sbagliato. Questo confermato dal fatto che il risultato era palesemente errato ... Cioé per fugare ogni dubbio (scusami per la domanda banale): $x^3$ ha derivata prima $3 x^2$, che è ovunque $>=0$; $x=0$ è massimo o minimo o nulla?
Certo, puoi studiare il segno della derivata prima per capire se è un massimo o minimo e il risultato è identico (ipotizzando per esempio potenziali di classe C2, caso in cui si ricade qui). Però se giungi a quel risultato qualche errore nel tuo procedimento deve esserci: da qui la richiesta di postare il tuo procedimento.
Allora ho rifatto i conti, trovando sia un errore di calcolo sia usando il tuo consiglio di utilizzare la derivata seconda e in effetti tutto torna!
La Lagrangiana infatti, con l'opportuna modifica, è corretta quindi.
Grazie
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