Lagrangiana
Salve.
Sto cercando di ricavare la lagrangiana del sistema a partire dal principio di Hamilton della minima azione. Mi sono inceppato in alcuni punti.
(Sto studiando sul Goldestein, Classical Mechanics).
Il principio di minima azione asserisce che il sistema evolve dalla coordinata generalizzata $q^1$ all'istante $t_1$ a $q^2$ all'istante $t^2$ in modo che l'integrale dell'azione sia minimo o dotato di estremo relativo. Dunque per ricavare il valore stazionario di tale integrale definito dobbiamo ricorrere al calcolo variazionale. Consideriamo dapprima il caso più semplice monodimensionale. Oltre alla curva q(t), prendiamo in considerazione altre curve che abbiano lo stesso punto di partenza e di arrivo, classificate da un parametro infinitesimo $delta$. Denotiamo con $q(t, delta)$ l'insieme delle curve "vicine" a q(t) e con $q(t,0)$ la curva iniziale. Facciamo ricorso ad una funzione ausiliaria $gamma(t)$, dunque un possibile stock di curve (traiettorie) vicine puo' essere dato da $q(t, delta)=q(t,0)+delta gamma(t)$. Per comodità si assume che q(t) e la funzione ausiliaria $gamma(t)$ sono continue e prive di punti di singolarità in $[t_1,t_2]$ con funzioni derivata continue fino al secondo ordine. Per qualsiasi curva dipendenta dal parametro $delta$, l'azione $A$ è funzione anche di $delta$:
$A(delta)=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t,delta), dot q(t, delta), t) dt$
e la condizione per ottenere un punto stazionario è
$((dA)/(ddelta))_(delta=0) = 0$
Perché si pone $delta=0$?
Differenziando sotto il segno di integrale, si ottiene:
$((dA)/(ddelta))=\int_{t_1}^{t_2} (delL)/(delq) (delq)/(deldelta) + (delL)/(deldot q) (deldot q)/(deldelta) dt$
Qual è la regola generale per differenziare sotto segno di integrale?
Inoltre: perché la derivata parziale di q rispetto $delta$ deve annullarsi in $t_1$ e $t_2$?
Una volta giunto proseguendo con la dimostrazione a:
$\int_{t_1}^{t_2} ((delL)/(delq) - d/(dt) (delL)/(deldot q)) ((delq)/(deldelta))_0 dt =0$
come mi ricavo la lagrangiana?[\b]
Grazie.
Sto cercando di ricavare la lagrangiana del sistema a partire dal principio di Hamilton della minima azione. Mi sono inceppato in alcuni punti.
(Sto studiando sul Goldestein, Classical Mechanics).
Il principio di minima azione asserisce che il sistema evolve dalla coordinata generalizzata $q^1$ all'istante $t_1$ a $q^2$ all'istante $t^2$ in modo che l'integrale dell'azione sia minimo o dotato di estremo relativo. Dunque per ricavare il valore stazionario di tale integrale definito dobbiamo ricorrere al calcolo variazionale. Consideriamo dapprima il caso più semplice monodimensionale. Oltre alla curva q(t), prendiamo in considerazione altre curve che abbiano lo stesso punto di partenza e di arrivo, classificate da un parametro infinitesimo $delta$. Denotiamo con $q(t, delta)$ l'insieme delle curve "vicine" a q(t) e con $q(t,0)$ la curva iniziale. Facciamo ricorso ad una funzione ausiliaria $gamma(t)$, dunque un possibile stock di curve (traiettorie) vicine puo' essere dato da $q(t, delta)=q(t,0)+delta gamma(t)$. Per comodità si assume che q(t) e la funzione ausiliaria $gamma(t)$ sono continue e prive di punti di singolarità in $[t_1,t_2]$ con funzioni derivata continue fino al secondo ordine. Per qualsiasi curva dipendenta dal parametro $delta$, l'azione $A$ è funzione anche di $delta$:
$A(delta)=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t,delta), dot q(t, delta), t) dt$
e la condizione per ottenere un punto stazionario è
$((dA)/(ddelta))_(delta=0) = 0$
Perché si pone $delta=0$?
Differenziando sotto il segno di integrale, si ottiene:
$((dA)/(ddelta))=\int_{t_1}^{t_2} (delL)/(delq) (delq)/(deldelta) + (delL)/(deldot q) (deldot q)/(deldelta) dt$
Qual è la regola generale per differenziare sotto segno di integrale?
Inoltre: perché la derivata parziale di q rispetto $delta$ deve annullarsi in $t_1$ e $t_2$?
Una volta giunto proseguendo con la dimostrazione a:
$\int_{t_1}^{t_2} ((delL)/(delq) - d/(dt) (delL)/(deldot q)) ((delq)/(deldelta))_0 dt =0$
come mi ricavo la lagrangiana?[\b]
Grazie.
Risposte
Non ti so rispondere completamente perchè questi argomenti non li ho studiati dal Goldstein...
però penso che il punto fondamentale che non hai scritto è che i punti iniziali e finali sono fissi e che quindi la variazione in $q_1$ e $q_2$ è nulla (e per questo si annulla la derivata).
Inoltre poichè le condizioni iniziali e finali sono fisse, all'ultimo passaggio puoi dire che l'argomento dell'integrale è nullo, ottenendo l'equazione di Eulero-Lagrange. Una lagrangiana $L=1/2m\dot q^2-V(q)$ soddisfa questa equazione.
per il fatto del $\delta=0$ a prima vista non ti so dire il perchè....sul libro non c'è scritto?? ma non credo dovrebbe influire sulla dimostrazione...(probabilmente sta a indicare proprio che all'istante iniziale 0 non c'è variazione...)
ciao
però penso che il punto fondamentale che non hai scritto è che i punti iniziali e finali sono fissi e che quindi la variazione in $q_1$ e $q_2$ è nulla (e per questo si annulla la derivata).
Inoltre poichè le condizioni iniziali e finali sono fisse, all'ultimo passaggio puoi dire che l'argomento dell'integrale è nullo, ottenendo l'equazione di Eulero-Lagrange. Una lagrangiana $L=1/2m\dot q^2-V(q)$ soddisfa questa equazione.
per il fatto del $\delta=0$ a prima vista non ti so dire il perchè....sul libro non c'è scritto?? ma non credo dovrebbe influire sulla dimostrazione...(probabilmente sta a indicare proprio che all'istante iniziale 0 non c'è variazione...)
ciao
Ho deciso di studiare sul Goldstein perchè il Landau mi sembrava poco eloquente.
"Bob_inch":
Ho deciso di studiare sul Goldstein perchè il Landau mi sembrava poco eloquente.
è il "problema" di tutti i Landau......sono libri scritti da un russo e i russi non hanno avuto la rivoluzione cartesiana perciò il loro modo di ragionare risulta abbastanza oscuro in molte circostanze.....il Godstein è comunque un ottimo testo. Ti consiglio di rileggerli dopo aver studiato su altri testi più "scolastici", infatti presentandoti le cose in maniera differente riescono a darti un altro punto di vista, molto interessante (pensa che Landau ricava la forma della Lagrangiana suggerita da Cantaro usando solo argomenti di simmetria!!!).
Per tornare al problema più prettamente matematico della minimizzazione del funzionale penso che l'approccio del Goldstein non sia troppo lineare. Io formulerei il problema in questi termini. Considera lo spazio delle traiettorie con derivata prima continua nello spazio delle configurazioni, diciamo d-dimensionale, $C={x(t):[t_1,t_2](sube RR)->RR^d|x in C^1}$. Ora fissa gli estremi e restringi lo spazio delle traiettorie a quelle con estremi fissati $C_12 = {x(t) in C | x(t_1)=x_1 , x(t_2)=x_2}$. Ora tra tutte le traiettorie che stanno in $C_12$ ne distinguiamo una chiamata $q(t)$ e la chiamiamo Traiettoria Fisica, cioè quella che il sistema in esame segue nella sua evoluzione. A questo punto possiamo limitarci a descrivere le traiettorie "vicine" a quella fisica in $C_12$ introducendo delle funzioni vettoriali di classe $C^1$ dette $h(t)$, tali che $h(t_1) = h(t_2) = 0$, così da ottenere le altre traiettorie di $C_12$ nella forma $\bar q(t) = q(t) + h(t)$ chiamate Traiettoria Variate. Puoi verificare facilmente che $\bar q (t)$ appartiene a $C_12$.
Adesso il principio di Minima Azione (anche se sarebbe meglio chiamarlo di Azione Stazionaria) ci dice che la traiettoria seguita dal sistema è quella per cui l'Azione è stazionaria al primo ordine. Per ottenere le equazioni di Lagrange ti basta quindi calcolare al primo ordine, in h, la variazione tra l'azione calcolata lungo una traiettoria variata e l'azione calcolata lungo la traiettoria fisica. In formule
$\delta A = \int_(t_1)^(t_2) L(\bar q(t),\dot \bar q(t)) dt - \int_(t_1)^(t_2) L(q(t),\dot q(t)) dt = $
$= \int_(t_1)^(t_2) [ L(\bar q(t),\dot \bar q(t)) - L(q(t),\dot q(t)) ] dt = $
se sviluppi la differenza al primo ordine, integri per parti annullando i termini noti in virtù delle proprietà di h(t) agli estremi, ottieni
$= \int_(t_1)^(t_2) [ (\partial L)/(\partial q) - d/(dt) (\partial L)/(\partial \dot q) ] h(t) dt$
Ora tu sai per principio che questo integrale si deve annullare per ogni funzione h(t) con le giuste proprietà di bordo e questo può succedere solo se valgono le equazioni di Eulero-Lagrange.
Per la forma della Lagrangiana puoi verificare che quella suggerita da Cantaro è quella corretta semplicemente sostituendola nelle suddette equazioni....quello che ottieni non ti è familiare??
Spero che questa impostazioni ti schiarisca un po' le idee....ciao!
Anch'io ho studiato sul Goldstein, quindi provo a risponderti.
Per quanto riguarda il fatto che $\delta=0$:
E' la stessa cosa che fai nel calcolo dei punti stazionari delle funzioni: Se vuoi che $\barx$ sia un punto stazionario di una funzione $f(x)$, devi considerae la derivata di f rispetto a x, calcolarla nel punto $\barx$ e imporre che sia uguale a 0.
Nel tuo caso $\barx$ non è un punto, ma una curva e più precisamente la curva reale del tuo percorso. Questa curva la ottieni ponendo $\delta=0$. Quindi se vuoi che la tua curva sia stazionaria devi, in analogia con quanto fai con le funzioni, trovare una famiglia di curve che contenga la tua curva, derivarla, calcolare la derivata nella curva che vuoi rendere stazionaria (cioè in $\delta=0$) e porla uguale a 0.
La regola per la derivazione sotto segno di integrale è: sia $f(x,y)$ continua e definita da $ExF->R$, con E insieme compatto di $R^n$ e F insieme compatto e misurabile di $R^k$ e $g(x)=\int_F f(x,y)dy$ (nota che x, y e dy sono vettori e non scalari).
Se la derivata di f nella direzione v esiste ed è continua, si ha:
$\(delg)/(delv)(x)=\int_F(delf)/(delv)(x,y)dy$
Nel tuo caso il Goldstein dice che $q(t,delta)$ viene supposta continua, regolare, derivabile con derivate prime e seconde continue. Quindi si ha che $dotq$ e $ddotq$ sono continue e allora anche $L$ avrà derivate prime continue, perchè composizione di funzioni che hanno derivate prime continue. Perciò puoi portare la derivata sotto il segno di integrale.
La derivata di q rispetto a $\delta$ deve annullarsi in $t_1$ e $t_2$ perchè tu hai il tuo percorso reale che parte da un punto $A$ corrispondente a $t_1$ dello spazio delle configurazioni e arriva a un punto $B$ corrispondente a $t_2$. Poi devi variare questo percorso, ma vari solo la traiettoria e non i punti di arrivo e fine: cioè, tu devi partire sempre da $A$ e arrivare a $B$, ma seguendo percorsi diversi. Quindi gli estremi dei percorsi non variano e perciò la derivata agli estremi è nulla.
Per l'ultimo punto la lagrangiana la ricavi considerando il cosiddetto "lemma fondamentale" del calcolo variazionale: se
$\int_{x_1}^{x_2}M(x)\eta(x)dx=0
per ogni funzione $\eta(x)$ arbitraria continua fino al secondo ordine di derivazione, allora la funzione M(x) è identicamente nulla nell'intervallo $(x_1,x_2)$
E' un po' confusionario, lo so
, ma è il meglio che sono riuscito a scrivere... se qualche passaggio non ti è chiaro proverò a riscriverlo meglio.
Però volevo chiederti che edizione del Goldstein usi?
Per quanto riguarda il fatto che $\delta=0$:
E' la stessa cosa che fai nel calcolo dei punti stazionari delle funzioni: Se vuoi che $\barx$ sia un punto stazionario di una funzione $f(x)$, devi considerae la derivata di f rispetto a x, calcolarla nel punto $\barx$ e imporre che sia uguale a 0.
Nel tuo caso $\barx$ non è un punto, ma una curva e più precisamente la curva reale del tuo percorso. Questa curva la ottieni ponendo $\delta=0$. Quindi se vuoi che la tua curva sia stazionaria devi, in analogia con quanto fai con le funzioni, trovare una famiglia di curve che contenga la tua curva, derivarla, calcolare la derivata nella curva che vuoi rendere stazionaria (cioè in $\delta=0$) e porla uguale a 0.
La regola per la derivazione sotto segno di integrale è: sia $f(x,y)$ continua e definita da $ExF->R$, con E insieme compatto di $R^n$ e F insieme compatto e misurabile di $R^k$ e $g(x)=\int_F f(x,y)dy$ (nota che x, y e dy sono vettori e non scalari).
Se la derivata di f nella direzione v esiste ed è continua, si ha:
$\(delg)/(delv)(x)=\int_F(delf)/(delv)(x,y)dy$
Nel tuo caso il Goldstein dice che $q(t,delta)$ viene supposta continua, regolare, derivabile con derivate prime e seconde continue. Quindi si ha che $dotq$ e $ddotq$ sono continue e allora anche $L$ avrà derivate prime continue, perchè composizione di funzioni che hanno derivate prime continue. Perciò puoi portare la derivata sotto il segno di integrale.
La derivata di q rispetto a $\delta$ deve annullarsi in $t_1$ e $t_2$ perchè tu hai il tuo percorso reale che parte da un punto $A$ corrispondente a $t_1$ dello spazio delle configurazioni e arriva a un punto $B$ corrispondente a $t_2$. Poi devi variare questo percorso, ma vari solo la traiettoria e non i punti di arrivo e fine: cioè, tu devi partire sempre da $A$ e arrivare a $B$, ma seguendo percorsi diversi. Quindi gli estremi dei percorsi non variano e perciò la derivata agli estremi è nulla.
Per l'ultimo punto la lagrangiana la ricavi considerando il cosiddetto "lemma fondamentale" del calcolo variazionale: se
$\int_{x_1}^{x_2}M(x)\eta(x)dx=0
per ogni funzione $\eta(x)$ arbitraria continua fino al secondo ordine di derivazione, allora la funzione M(x) è identicamente nulla nell'intervallo $(x_1,x_2)$
E' un po' confusionario, lo so
, ma è il meglio che sono riuscito a scrivere... se qualche passaggio non ti è chiaro proverò a riscriverlo meglio.Però volevo chiederti che edizione del Goldstein usi?
Ho usato la terza edizione del Goldestein in lingua inglese, perché non sono riuscito a reperire quella in lingua italiana. Caro Luca, mi faro' risentire per dirti se persistono dubbi. Grazie a tutti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo