Lagrangiana
Ciao 
Leggendo una dispensa del Prof. mi sono imbattuta su una parte che non mi è chiara: dice che per un sistema olonomo autonomo (cioè con lagrangiana indipendente esplicitamente dal tempo, questo perché ho vincoli scleronomi) $(\partialL)/(\partialt)=0$.
Il mio dubbio è però questo, generalmente:
Essendo in generale $L=T+U$ con $L=1/2g_(\mu\nu)\dotq^\mudotq^\nu+U(q^\lambda)$
$L(q,\dotq)$ e $q(t)$, quindi non dovrei avere: $(\partialL)/(\partialt)=1/2(\partialg_(\mu\nu))/(\partialq^\lambda)\dotq\^\lambda\dotq\^\mu\dotq\^\nu+g_(\mu\nu)\dot\dotq^\mu\dotq^\nu+(\partialU)/(\partialq^lambda)\dot\q^lambda$.
Questo per dire che in generale non capisco perché affermi che è nulla quella derivata, infatti ho una dipendenza indiretta, cosa sbaglio nella mia considerazione?
Usando la convenzione di E. sulle sommatorie.
Vi ringrazio
Leggendo una dispensa del Prof. mi sono imbattuta su una parte che non mi è chiara: dice che per un sistema olonomo autonomo (cioè con lagrangiana indipendente esplicitamente dal tempo, questo perché ho vincoli scleronomi) $(\partialL)/(\partialt)=0$.
Il mio dubbio è però questo, generalmente:
Essendo in generale $L=T+U$ con $L=1/2g_(\mu\nu)\dotq^\mudotq^\nu+U(q^\lambda)$
$L(q,\dotq)$ e $q(t)$, quindi non dovrei avere: $(\partialL)/(\partialt)=1/2(\partialg_(\mu\nu))/(\partialq^\lambda)\dotq\^\lambda\dotq\^\mu\dotq\^\nu+g_(\mu\nu)\dot\dotq^\mu\dotq^\nu+(\partialU)/(\partialq^lambda)\dot\q^lambda$.
Questo per dire che in generale non capisco perché affermi che è nulla quella derivata, infatti ho una dipendenza indiretta, cosa sbaglio nella mia considerazione?
Usando la convenzione di E. sulle sommatorie.
Vi ringrazio
Risposte
Allora, se la lagrangiana di un sistema meccanico non dipende esplicitamente dal tempo
$L=L(q,\dotq)$, allora l'energia del sistema e' un integrale primo
Il tuo deve essere un moto multidimensionale, e le traiettorie del moto coincidono con le geodetiche della varieta' reimaiana.
Su queste geodetiche la velocità è costante
Poi se riesco a scriverlo ti posto l'integrale primo
Devi fare le derivate parziali rispetto alle coordinate generalizzate
E buono studio Saretta
$L=L(q,\dotq)$, allora l'energia del sistema e' un integrale primo
Il tuo deve essere un moto multidimensionale, e le traiettorie del moto coincidono con le geodetiche della varieta' reimaiana.
Su queste geodetiche la velocità è costante
Poi se riesco a scriverlo ti posto l'integrale primo
Devi fare le derivate parziali rispetto alle coordinate generalizzate
E buono studio Saretta
Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo perché usi il simbolo di derivata parziale?
Perche' ne dipendono le coordinate generalizzate, ma globalmente no
"Gabrio":
Perche' ne dipendono le coordinate generalizzate, ma globalmente no
Ok quindi è una derivata $frac {d}{dt} $ di una funzione composta,non una derivata parziale.Comunque poco importa,non è questo il punto.
In ogni caso mi pare che ci siano imprecisioni nelle cose scritte.
Per me $E=T+U $ mentre $L=T-U $.
Poi credo che lei abbia confuso l'espressione di $T $ con quella di $L $.
No non e' una derivata composta, e' una derivata parziale.
Una e' la derivata di Lagrange rispetto al tempo, che e' una delle variabili della lagrangiana
Si un errore di scrittura probabilmente
No L è giusta, ed è una costante di moto in quel caso, cioè non varia nel tempo
Una e' la derivata di Lagrange rispetto al tempo, che e' una delle variabili della lagrangiana
Si un errore di scrittura probabilmente
No L è giusta, ed è una costante di moto in quel caso, cioè non varia nel tempo
@Saretta
Confondi il concetto di derivata parziale con quello di derivata totale. Considera due funzioni del tempo $x(t)$ e $y(t)$ e poi considera una funzione di due variabili $f(u,v)$. Se scrivi $f(x(t),y(t))$ allora hai che $\frac{\partial f}{\partial t} =0$, mentre se scrivi $f(x(t),t)$ allora hai che, in generale, $\frac{\partial f}{\partial t} \ne 0$. Cioè, la derivata parziale rispetto ad una data variabile $w$ di una funzione $f$ di $n$ variabili, è identicamente nulla se nessuno degli $n$ argomenti di $f$ è proprio $w$. Non ha importanza che $w$ sia presente "indirettamente" tramite altre variabili.
Confondi il concetto di derivata parziale con quello di derivata totale. Considera due funzioni del tempo $x(t)$ e $y(t)$ e poi considera una funzione di due variabili $f(u,v)$. Se scrivi $f(x(t),y(t))$ allora hai che $\frac{\partial f}{\partial t} =0$, mentre se scrivi $f(x(t),t)$ allora hai che, in generale, $\frac{\partial f}{\partial t} \ne 0$. Cioè, la derivata parziale rispetto ad una data variabile $w$ di una funzione $f$ di $n$ variabili, è identicamente nulla se nessuno degli $n$ argomenti di $f$ è proprio $w$. Non ha importanza che $w$ sia presente "indirettamente" tramite altre variabili.
"Gabrio":
Allora, se la lagrangiana di un sistema meccanico non dipende esplicitamente dal tempo
$L=L(q,\dotq)$, allora l'energia del sistema e' un integrale primo
Il tuo deve essere un moto multidimensionale, e le traiettorie del moto coincidono con le geodetiche della varieta' reimaiana.
Su queste geodetiche la velocità è costante
Poi se riesco a scriverlo ti posto l'integrale primo
Devi fare le derivate parziali rispetto alle coordinate generalizzate
E buono studio Saretta
Ti invito, quando rispondi, a non divagare. Il nodo della domanda di Saretta era chiaro. Se puoi fare chiarezza, fallo, altrimenti evita di iniziare mille discorsi inutili (cioè non richiesti) che creano solo confusione nell'utente. Te lo dico perché è un po' che ti tengo d'occhio, ed ho notato che questo modo di fare non è occasionale ma è una tua caratteristica.
"mathbells":
@Saretta
Confondi il concetto di derivata parziale con quello di derivata totale. Considera due funzioni del tempo $x(t)$ e $y(t)$ e poi considera una funzione di due variabili $f(u,v)$. Se scrivi $f(x(t),y(t))$ allora hai che $\frac{\partial f}{\partial t} =0$, mentre se scrivi $f(x(t),t)$ allora hai che, in generale, $\frac{\partial f}{\partial t} \ne 0$. Cioè, la derivata parziale rispetto ad una data variabile $w$ di una funzione $f$ di $n$ variabili, è identicamente nulla se nessuno degli $n$ argomenti di $f$ è proprio $w$. Non ha importanza che $w$ sia presente "indirettamente" tramite altre variabili.
E' esattamente quello che cerco di dire anche io.Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo $ frac {partial L}{partial t}=0$ banalmente.
Mentre altra cosa è calcolare $frac {d}{dt} L (vec {q(t)},vec {dot q (t)})$.
Si ma dillo a tutti, perché mi pare che altri utenti divaghino eccome
E comunque no problem, ultimo post
E comunque no problem, ultimo post
Mi scuso per la mia latitanza, purtroppo sto preparando un altro esame per gennaio e questo è passato un po' in secondo piano. Tuttavia non essendo chiaro qualcosa di molto importante vorrei tornare sull'argomento per giungere finalmente alla comprensione.
Penso @mathbells abbia centrato più di tutti il punto, quindi risponderò a lui. Ovviamente chiunque potrà intervenire e ringrazio davvero molto tutti per l'aiuto che mi state dando.
Tornando al dunque..
L'errore che faccio è proprio qui ma non capisco il perché, infatti qualunque funzione derivata rispetto a una variabile x può scriversi come: $(df)/(dx)=(df)/(dy)(dy)/(dx)$ ammettendo che y(x), cioè y sia funzione di x.
Questo (*) mi sembra esattamente il caso essendo x(t) e y(t) solo che abbiamo una derivata parziale avendo una funzione a due valori.
In effeti, a conti fatti, se $f(x(t),y(t))$ la f varia al variare di t, quindi la derivata non può restituirmi zero. Se f non è costante al variare di una certa t non potrà darmi valore zero il processo di derivazione.
Spero di aver fatto capire dove risiede il dubbio.
Per intanto grazie e buone feste a voi tutti!
Penso @mathbells abbia centrato più di tutti il punto, quindi risponderò a lui. Ovviamente chiunque potrà intervenire e ringrazio davvero molto tutti per l'aiuto che mi state dando.
Tornando al dunque..
$f(x(t),y(t))$ allora hai che $\frac{\partial f}{\partial t} =0$(*)
L'errore che faccio è proprio qui ma non capisco il perché, infatti qualunque funzione derivata rispetto a una variabile x può scriversi come: $(df)/(dx)=(df)/(dy)(dy)/(dx)$ ammettendo che y(x), cioè y sia funzione di x.
Questo (*) mi sembra esattamente il caso essendo x(t) e y(t) solo che abbiamo una derivata parziale avendo una funzione a due valori.
In effeti, a conti fatti, se $f(x(t),y(t))$ la f varia al variare di t, quindi la derivata non può restituirmi zero. Se f non è costante al variare di una certa t non potrà darmi valore zero il processo di derivazione.
Spero di aver fatto capire dove risiede il dubbio.
Per intanto grazie e buone feste a voi tutti!
Se la f e' funzione di variabili che globalmente sono costanti al variare di t, cosa fa la tua f?
Forse e' meglio che dai prima analisi II
Forse e' meglio che dai prima analisi II
Il problema è che ho già dato analisi 2, quindi è una lacuna che devo per forza colmare essendo importante.
Quel che non mi torna è che dici f essere costante al variare di t, ma se ogni x(y), y(t) è funzione di t non mi pare costante.
Quel che non mi torna è che dici f essere costante al variare di t, ma se ogni x(y), y(t) è funzione di t non mi pare costante.
Prendiamo il numeratore della definzione di derivata direzionale: $f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y)$ io voglio derivare parzialmente rispetto ad s, il fatto che io abbia una curva per HP tale che $f(\gamma(s+h)-f(gamma(s))$ sia uguale alla precedente dovrebbe portarmi a cocludere che posso derivare g(s) avendo a numeratore $g(s+h)-g(s)$ rispetto ad s sempre e comunque.
Esattamente come riportavonel caso di funzioni di una variabile reale, se esiste y(x) posso sempre derivare rispetto a x la f(y) potendola comporre
Esattamente come riportavonel caso di funzioni di una variabile reale, se esiste y(x) posso sempre derivare rispetto a x la f(y) potendola comporre
Ascolta, se x(t) e' costante, lo e f(x(t)) e la derivata vale zero
Non saprei come altro dirlo.
Se nella lagrangiana p e q sono costanti nel tempo, lo è anche L
Non saprei come altro dirlo.
Se nella lagrangiana p e q sono costanti nel tempo, lo è anche L
Certo se x(t)=costante sono d'accordo. Ma nessuno ha mai detto che in generale debba essere costante. Dire che "non dipende esplicitamente dal tempo" non vorrebbe dire semplicemente che l'espressione di f è $f(x(t))$ e non $f(x(t),t)$?
Non mi torna quanto dici, inoltre nella lagrangiana non c'è $p$ ma solo $q,\dotq$
Sono confusa
Non mi torna quanto dici, inoltre nella lagrangiana non c'è $p$ ma solo $q,\dotq$
Sono confusa
Come no, L non dipende da t, allora x(t) rimane costante nel tempo
p e' una coordinata generalizzata, $ q=dotp $ è l'altra
Hai un libro? Va che ci deve essere scritto
p e' una coordinata generalizzata, $ q=dotp $ è l'altra
Hai un libro? Va che ci deve essere scritto
"Gabrio":
Come no, L non dipende da t, allora x(t) rimane costante nel tempo
Allora sono d'accordo, dal discorso di mathbells mi pareva che ci fosse una differenza sostanziale tra derivata totale e parziale e che il valore zero della derivata fosse data per un fatto di definizioni di derivata totale vs parziale: ossia avevo inteso che se $L(x(t))$ con anche x(t) diversa da costante al variare di t potesse dare come risultati..
-derivata parziale $\(partialL)/(\partialt)=0$
-derivata totale $\(dL)/(\dt)$ diverso da zero.
Per questo ho parlato di composizione e che non mi torna: $\(partialL)/(\partialt)=0$. Ma da quanto dici tu allora derivata parziale e totale sono la stessa cosa.
p e' una coordinata generalizzata, $ q=dotp $ è l'altra
Per me $p$, nella mia notazione, era il momento coniugato alle coordinate generalizzate. Forse per questo non avevo capito.
Guarda, se una somma (con segno) di energia cinetica e potenziale rimane costante ( intendo L), non vuol dire ne che x(t) rimanga costante ne che y(t) rimanga costante.
Quello che non varia e' la loro somna, L.
Quindi se L non deve dipendere esplicitamente dal tempo, implicitamente dipende.
Le derivate parziali possono essere non nulle, ma quella totale no
Quello che non varia e' la loro somna, L.
Quindi se L non deve dipendere esplicitamente dal tempo, implicitamente dipende.
Le derivate parziali possono essere non nulle, ma quella totale no
Sì certo quello sì, ma io mi ero persuasa che valesse anche per L che varia nel tempo (in modo composto, ossia una ipotetica L che varia nel tempo con q(t) e q'(t): $L(q,dotq)$) il discorso della differenza tra derivata totale e parziale.
A questo punto però mi sorge il dubbio di quale sia la differenza, io le ho sempre viste come derivate composte e non mi sono mai accorta del problema, cosas cambia tra:
$\(partialf)/(\partialt)$ e $\(df)/(\dt)$? In ogni caso posso comporle e mi sembrano la stessa derivata
"Brufus":
E' esattamente quello che cerco di dire anche io.Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo $ frac {partial L}{partial t}=0$ banalmente.
Mentre altra cosa è calcolare $frac {d}{dt} L (vec {q(t)},vec {dot q (t)})$.
A questo punto però mi sorge il dubbio di quale sia la differenza, io le ho sempre viste come derivate composte e non mi sono mai accorta del problema, cosas cambia tra:
$\(partialf)/(\partialt)$ e $\(df)/(\dt)$? In ogni caso posso comporle e mi sembrano la stessa derivata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo