Lagrangiana
Ciao 
Leggendo una dispensa del Prof. mi sono imbattuta su una parte che non mi è chiara: dice che per un sistema olonomo autonomo (cioè con lagrangiana indipendente esplicitamente dal tempo, questo perché ho vincoli scleronomi) $(\partialL)/(\partialt)=0$.
Il mio dubbio è però questo, generalmente:
Essendo in generale $L=T+U$ con $L=1/2g_(\mu\nu)\dotq^\mudotq^\nu+U(q^\lambda)$
$L(q,\dotq)$ e $q(t)$, quindi non dovrei avere: $(\partialL)/(\partialt)=1/2(\partialg_(\mu\nu))/(\partialq^\lambda)\dotq\^\lambda\dotq\^\mu\dotq\^\nu+g_(\mu\nu)\dot\dotq^\mu\dotq^\nu+(\partialU)/(\partialq^lambda)\dot\q^lambda$.
Questo per dire che in generale non capisco perché affermi che è nulla quella derivata, infatti ho una dipendenza indiretta, cosa sbaglio nella mia considerazione?
Usando la convenzione di E. sulle sommatorie.
Vi ringrazio
Leggendo una dispensa del Prof. mi sono imbattuta su una parte che non mi è chiara: dice che per un sistema olonomo autonomo (cioè con lagrangiana indipendente esplicitamente dal tempo, questo perché ho vincoli scleronomi) $(\partialL)/(\partialt)=0$.
Il mio dubbio è però questo, generalmente:
Essendo in generale $L=T+U$ con $L=1/2g_(\mu\nu)\dotq^\mudotq^\nu+U(q^\lambda)$
$L(q,\dotq)$ e $q(t)$, quindi non dovrei avere: $(\partialL)/(\partialt)=1/2(\partialg_(\mu\nu))/(\partialq^\lambda)\dotq\^\lambda\dotq\^\mu\dotq\^\nu+g_(\mu\nu)\dot\dotq^\mu\dotq^\nu+(\partialU)/(\partialq^lambda)\dot\q^lambda$.
Questo per dire che in generale non capisco perché affermi che è nulla quella derivata, infatti ho una dipendenza indiretta, cosa sbaglio nella mia considerazione?
Usando la convenzione di E. sulle sommatorie.
Vi ringrazio
Risposte
Ma e' proprio questo l'esempio.
La derivata non parziale ti dice che, per esempio, l'energia non varia nel tempo.
Quella parziale ti dice se varia quella rispetto la posizione, o quella rispetto alla velocità, non ti dice nulla sul comportamento globale
La derivata non parziale ti dice che, per esempio, l'energia non varia nel tempo.
Quella parziale ti dice se varia quella rispetto la posizione, o quella rispetto alla velocità, non ti dice nulla sul comportamento globale
Ok credo il mio problema sia più nella definizione di derivata che sul fatto fisico in sé, provo ad aprire in analisi per cercare di colmare la lacuna e discutere sulle definizioni di parziale e totale. Grazie ancora.
@saretta ti dò i miei 2 centesimi.
Prendi $L(q, \dot q, t)$. Fare $\frac {\partial L}{\partial t}$ significa che quando fai la derivata devi tenere $q$ e $ \dot q$ costanti. Ora in generale $q$ e $\cdot q$ dipendono da $t$ quindi sembra strano che tu possa variare $t$ ma tenere costanti $q$ e $\dot q$, e infatti è una sorta di trucco che fai. E' un po' come se ti chiedessi: "cosa succederebbe alla mia Lagrangiana se mi spostassi di un infinitesimo temporale più avanti tenendo congelati i valori di tutte le altre grandezze?". Da qui si vede subito che, se $L$ non dipende esplicitamente dal tempo, anche se ti sposti un po' nel futuro (o nel passato), poiché mantieni congelate tutte le variabili, non succede nulla. Se invece hai una dipendenza esplicita dal tempo, nonostante tu tenga congelate tutte le variabili avrai un contributo proveniente dalla parte della Lagrangiana che contiene esplicitamente t. Quando fai $\frac {dL} {dt}$ la faccenda è diversa: qui stai chiedendo cosa succede alla tua lagrangiana se ti sposti "realmente" nel futuro (ovvero, senza tenere congelata nessuna variabile). A questo punto il tuo differenziale sarà dato da: $\frac {dL} {dt} = \frac {\partial L}{\partial t} + \frac {\partial L}{\partial q} \frac {dq}{dt}$ perché stai effettivamente cambiando i valori di tutte le variabili.
Spero di esserti dato utile
Prendi $L(q, \dot q, t)$. Fare $\frac {\partial L}{\partial t}$ significa che quando fai la derivata devi tenere $q$ e $ \dot q$ costanti. Ora in generale $q$ e $\cdot q$ dipendono da $t$ quindi sembra strano che tu possa variare $t$ ma tenere costanti $q$ e $\dot q$, e infatti è una sorta di trucco che fai. E' un po' come se ti chiedessi: "cosa succederebbe alla mia Lagrangiana se mi spostassi di un infinitesimo temporale più avanti tenendo congelati i valori di tutte le altre grandezze?". Da qui si vede subito che, se $L$ non dipende esplicitamente dal tempo, anche se ti sposti un po' nel futuro (o nel passato), poiché mantieni congelate tutte le variabili, non succede nulla. Se invece hai una dipendenza esplicita dal tempo, nonostante tu tenga congelate tutte le variabili avrai un contributo proveniente dalla parte della Lagrangiana che contiene esplicitamente t. Quando fai $\frac {dL} {dt}$ la faccenda è diversa: qui stai chiedendo cosa succede alla tua lagrangiana se ti sposti "realmente" nel futuro (ovvero, senza tenere congelata nessuna variabile). A questo punto il tuo differenziale sarà dato da: $\frac {dL} {dt} = \frac {\partial L}{\partial t} + \frac {\partial L}{\partial q} \frac {dq}{dt}$ perché stai effettivamente cambiando i valori di tutte le variabili.
Spero di esserti dato utile
@Gabrio
Non è come dici. Lagrangiana indipendente esplicitamente dal tempo non significa che le coordinate e le velocità generalizzate non dipendono dal tempo.
@saretta
Fai riferimento al post di dRic. Ora non ho tempo. Per ora ribadisco che derivata parziale e totale sono concetti diversi. Detto sinteticamente, le derivate parziali sarebbe meglio indicarle come derivate rispetto all'i-esimo argomento. Esempio: se hai f(x,y,z), la derivata parziale rispetto a z sarebbe meglio intesa se fosse chiamata derivata parziale di f rispetto al suo terzo argomento. In questo modo sarebbe più chiaro che si intende derivare rispetto a quello specifico argomento, e non alla variabile z, che potrebbe magari comparire in altre parti di f se per caso x o y dipendessero da z. Per ora non ho modo di scrivere altro. Spero di aver chiarito un po'.
Non è come dici. Lagrangiana indipendente esplicitamente dal tempo non significa che le coordinate e le velocità generalizzate non dipendono dal tempo.
@saretta
Fai riferimento al post di dRic. Ora non ho tempo. Per ora ribadisco che derivata parziale e totale sono concetti diversi. Detto sinteticamente, le derivate parziali sarebbe meglio indicarle come derivate rispetto all'i-esimo argomento. Esempio: se hai f(x,y,z), la derivata parziale rispetto a z sarebbe meglio intesa se fosse chiamata derivata parziale di f rispetto al suo terzo argomento. In questo modo sarebbe più chiaro che si intende derivare rispetto a quello specifico argomento, e non alla variabile z, che potrebbe magari comparire in altre parti di f se per caso x o y dipendessero da z. Per ora non ho modo di scrivere altro. Spero di aver chiarito un po'.
E chi lo ha mai detto.
Tu intervieni solo per fare polemica
Tu intervieni solo per fare polemica
Gabrio, lo hai scritto qui.
Affermazione sbagliata. Se la derivata parziale di $L(x(t), y(t), t)$ rispetto al tempo è nulla, allora non significa che x(t) è costante.
"Gabrio":
Come no, L non dipende da t, allora x(t) rimane costante nel tempo
Affermazione sbagliata. Se la derivata parziale di $L(x(t), y(t), t)$ rispetto al tempo è nulla, allora non significa che x(t) è costante.
Non significa ma può' essere benissimo che lo sia, e rispondeva a una domanda
"dRic":
"cosa succederebbe alla mia Lagrangiana se mi spostassi di un infinitesimo temporale più avanti tenendo congelati i valori di tutte le altre grandezze?".
&
"mathbells":
meglio indicarle come derivate rispetto all'i-esimo argomento. Esempio: se hai f(x,y,z), la derivata parziale rispetto a z sarebbe meglio intesa se fosse chiamata derivata parziale di f rispetto al suo terzo argomento.
Sono proprio una stupida, grazie. Mi ero persa in un bicchier d'acqua, ho evidenziato i pezzi illuminanti... grazie!
"Gabrio":
Non significa ma può' essere benissimo che lo sia, e rispondeva a una domanda
Bene, quindi tu hai fornito una risposta sbagliata pur di rispondere qualcosa. Terrò a mente questo quando leggerò altre tue discussioni.
Affatto mai detto che la derivata parziale di L....... come hai scritto tu
Ma almeno leggi quello che quoti
Comunque rispondi pure per me finisce qui'
Ma almeno leggi quello che quoti
Comunque rispondi pure per me finisce qui'
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo