La derivata covariante
Salve a tutti, so che è un argomenti di Geometria Differenziale ma mi ha introdotto a questo argomento il corso di Relatività Generale e quindi mi sembra più opportuno parlarne qui(anche perchè non vorrei una discussione troppo "matematica").
Avrei dei dubbi sul concetto di derivata covariante. Il testo su cui studio la introduce definendola come una mappa che prende due campi vettoriali(tensoriali)$V, U$ e restituisce un campo vettoriale(tensoriale) $(\nabla_UV)_p$.
Dove $V$ è un campo vettoriale definito ovunque su una certa varietà differenziabile, $U$ è il campo vettoriale tangente alla curva lungo la quale si calcola tale derivata(e lungo la quale si fa quindi il trasporto parallelo) e $p$ è un punto ti tale curva.
Quindi è corretto dire che la derivata covariante definisce la variazione di $V$ lungo la direzione $U$ solo nei punti della curva integrale di U e non su tutta la varietà?
Avrei dei dubbi sul concetto di derivata covariante. Il testo su cui studio la introduce definendola come una mappa che prende due campi vettoriali(tensoriali)$V, U$ e restituisce un campo vettoriale(tensoriale) $(\nabla_UV)_p$.
Dove $V$ è un campo vettoriale definito ovunque su una certa varietà differenziabile, $U$ è il campo vettoriale tangente alla curva lungo la quale si calcola tale derivata(e lungo la quale si fa quindi il trasporto parallelo) e $p$ è un punto ti tale curva.
Quindi è corretto dire che la derivata covariante definisce la variazione di $V$ lungo la direzione $U$ solo nei punti della curva integrale di U e non su tutta la varietà?
Risposte
Si, è corretto. La derivata covariante è locale, e differisce dalla derivata ordinaria per la presenza del termine (o dei termini) contenente i coefficienti di connessione , e come sai i coefficienti di Christoffel (del 2º tipo) , sono funzioni dei coefficienti della metrica $g_(\mu\nu) ( x^\alpha)$ , che sono funzioni delle coordinate. L’operatore derivata direzionale $nabla_(vecu) $ lungo la curva, nella direzione del vettore tangente $vecu$ , è un operatore differenziale lineare definito matematicamente come :
$nabla_(vecu) = d/(d\lambda) = (dx^\alpha)/(d\lambda) * (del)/(delx^alpha) = u^alpha nabla_\alpha $
Questo operatore, applicato a un vettore $vecv$ di un campo vettoriale, fornisce un altro vettore , cioe un tensore di tipo $(1,0)^T$ , che rappresenta la derivata direzionale di $vecv$ nella direzione di $vecu$ . Si ha, in coordinate locali :
$nabla_(vecu) vecv = u^alpha\nabla_(alpha) ( v^\beta hate_\beta) = (u^alpha nabla_alphav^\beta)hate_\beta + u^\alpha v^\beta ( nabla_alpha hate_\beta) = (dv^beta)/(d\lambda) hate_\beta + u^alphav^beta Gamma_(betaalpha)^sigma hate_sigma$
Penso ti sia noto il significato dei coefficienti di connessione $Gamma_(betaalpha)^sigma$ , e del fatto che non sono le componenti di un tensore. È la somma dei due termini a secondo membro che si trasforma come un tensore, non ciascuno dei due addendi separatamente.
Ti metto alcune pagine di un libro:
leggi anche queste discussioni :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8310472
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8309037
$nabla_(vecu) = d/(d\lambda) = (dx^\alpha)/(d\lambda) * (del)/(delx^alpha) = u^alpha nabla_\alpha $
Questo operatore, applicato a un vettore $vecv$ di un campo vettoriale, fornisce un altro vettore , cioe un tensore di tipo $(1,0)^T$ , che rappresenta la derivata direzionale di $vecv$ nella direzione di $vecu$ . Si ha, in coordinate locali :
$nabla_(vecu) vecv = u^alpha\nabla_(alpha) ( v^\beta hate_\beta) = (u^alpha nabla_alphav^\beta)hate_\beta + u^\alpha v^\beta ( nabla_alpha hate_\beta) = (dv^beta)/(d\lambda) hate_\beta + u^alphav^beta Gamma_(betaalpha)^sigma hate_sigma$
Penso ti sia noto il significato dei coefficienti di connessione $Gamma_(betaalpha)^sigma$ , e del fatto che non sono le componenti di un tensore. È la somma dei due termini a secondo membro che si trasforma come un tensore, non ciascuno dei due addendi separatamente.
Ti metto alcune pagine di un libro:
leggi anche queste discussioni :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8310472
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8309037
Grazie mille per la spiegazione!
Un'ultima cosa: che cosa mi garantisce che un tale operatore sia covariante? D'altronde come hai detto tu è un operatore locale e per calcolarlo devo scegliere una determinata carta e quindi le funzioni $\Gamma$ che caratterizzano la connessione non dipendono dal sistema scelto oltre che dal punto in cui si calcola?
Un'ultima cosa: che cosa mi garantisce che un tale operatore sia covariante? D'altronde come hai detto tu è un operatore locale e per calcolarlo devo scegliere una determinata carta e quindi le funzioni $\Gamma$ che caratterizzano la connessione non dipendono dal sistema scelto oltre che dal punto in cui si calcola?
Se posso permettermi di aggiungere qualcosa, qui c'e' dell'ottimo materiale:
https://www.youtube.com/user/eigenchris/videos
https://www.youtube.com/user/eigenchris/videos
Ale
Rileggi bene i link. A un certo punto ho detto che la derivata covariante di un vettore o un tensore qualsiasi si trasforma come un tensore, per cambiamento di coordinate. Questo è quanto basta. I simboli di Christoffel invece Non sono tensori, e infatti la loro trasformazione per cambiamento di coordinate non è tensoriale. Quindi, la derivata covariante di un semplice vettore è fatta di due termini: la derivata parziale ordinaria e il termine con i simboli di christoffel. Ciascuno dei due dipende dalle coordinate, la loro somma no. Questo è un fatto molto importante, come vedrai, che trova applicazione in vari punti, ma non voglio anticipare nulla,
Quinzio grazie!
Rileggi bene i link. A un certo punto ho detto che la derivata covariante di un vettore o un tensore qualsiasi si trasforma come un tensore, per cambiamento di coordinate. Questo è quanto basta. I simboli di Christoffel invece Non sono tensori, e infatti la loro trasformazione per cambiamento di coordinate non è tensoriale. Quindi, la derivata covariante di un semplice vettore è fatta di due termini: la derivata parziale ordinaria e il termine con i simboli di christoffel. Ciascuno dei due dipende dalle coordinate, la loro somma no. Questo è un fatto molto importante, come vedrai, che trova applicazione in vari punti, ma non voglio anticipare nulla,
Quinzio grazie!
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