Istante prima dell'urto : si fraintende!
Caso $A$ :
il momento angolare si conserva subito prima e dopo l'urto.
Prima dell'urto la soluzione dice che è $L_i=mv(L/2 − d_{cmA})$
dove $d_{cmA}$ rappresenta quanto dista il $CM$ del sistema $M+m$ da metà sbarretta.
Ma perchè prima dell'urto consideriamo il corpo del sistema $m+M$ ?
Il punto materiale $m$ lo immagino non ancora a contatto con la sbarretta quindi mi verrebbe da scrivere $L_i=mv(L/2)$
Il significato prima dell'urto lo si fraintende ma immagino che in fisica sia quasi coincidente con l'istante dell'urto.
Risposte
Se non consideri il sistema come composto dalla massa $m$ E la sbarra non puoi dire che non ci sono momenti della forza esterni e, di conseguenza, non puoi imporre la conservazione del momento angolare.
Ma dove lo vedi che si considera il corpo del sistema m+M????
In realta' la sbarra non sta entrando in gioco. Lo scrivi tu stesso che il momento angolare prima dell'urto e' funzione solo della massa m e non della M. Anche la risposta di singularity non la capisco molto.
Il punto e' che lui sceglie quel polo ai fini del calcolo del momento angolare prima dell'urto. Ma e' una scelta totalmente arbitraria.
Ma potresti anche scegliere come polo un punto giacente sulla traiettoria del proiettile e il mom. angolare prima dell'urto sarebbe $L_i=0$
Il momento dopo l'urto sarebbe $L_f=(m+M)v_[cm](L/2-d)+I_[cm]omega$
Quindi $omega=-(m+M)v_[cm]/I_[cm]$
La velocita' del cdm $v_[cm]$ la ricavi dalla conservazione della qdm.
La sua scelta del polo, invece, gli permette di scrivere, semplicemente, $L_f=I_[cm]omega=L_i=m(L/2-d)$ senza mettere in conto la velocita' del centro di massa dopo l'urto, ma il risultato, se provi, non cambia.
In realta' la sbarra non sta entrando in gioco. Lo scrivi tu stesso che il momento angolare prima dell'urto e' funzione solo della massa m e non della M. Anche la risposta di singularity non la capisco molto.
Il punto e' che lui sceglie quel polo ai fini del calcolo del momento angolare prima dell'urto. Ma e' una scelta totalmente arbitraria.
Ma potresti anche scegliere come polo un punto giacente sulla traiettoria del proiettile e il mom. angolare prima dell'urto sarebbe $L_i=0$
Il momento dopo l'urto sarebbe $L_f=(m+M)v_[cm](L/2-d)+I_[cm]omega$
Quindi $omega=-(m+M)v_[cm]/I_[cm]$
La velocita' del cdm $v_[cm]$ la ricavi dalla conservazione della qdm.
La sua scelta del polo, invece, gli permette di scrivere, semplicemente, $L_f=I_[cm]omega=L_i=m(L/2-d)$ senza mettere in conto la velocita' del centro di massa dopo l'urto, ma il risultato, se provi, non cambia.
Visto che ho 10 minuti di tempo, ti faccio 3 esempi di scelta di polo.
d e' la distanza dal centro della sbarretta del baricentro.
Le rotazioni orarie sono, per me, positive.
La velocita' del centro di massa G del sistema dopo l'urto, per la conservazione della qdm e' $v_G=m/(m+M)v_0$
Opzione 1: Polo sulla retta orizzontale passante per G
$L_i=mv_0(L/2-d)$
$L_f=I_Gomega$
Equazione risolutiva: $mv_0(L/2-d)=I_Gomega$
Opzione 2: Polo sulla retta orizzontale contenente $v_0$
$L_i=0$
$L_f=-(M+m)v_G(L/2-d)+I_Gomega$
Equazione risolutiva: $0=-(M+m)v_G(L/2-d)+I_Gomega$ che, ricordando che $v_G=m/(m+M)v_0$ e sostituendo, diventa
$0=-mv_0(L/2-d)+I_Gomega$, ovvero:
$mv_0(L/2-d)=I_Gomega$
Opzione 3: Polo sulla retta orizzontale passante per meta barretta.
$L_i=mv_0L/2$
$L_f=(M+m)v_Gd+I_Gomega$
Equazione risolutiva: $mv_0L/2=(M+m)v_Gd+I_Gomega$ che, ricordando nuovamente che $v_G=m/(m+M)v_0$ e sostituendo, diventa
$mv_0L/2=mv_0d+I_Gomega$ ovvero:
$mv_0(L/2-d)=I_Gomega$
Opzione 4: Polo sull'estremo inferiore della barretta:
$L_i=mv_0L$
$L_f=(M+m)v_G(L/2+d)+I_Gomega$
Equazione risolutiva: $mv_0L=(M+m)v_G(L/2+d)+I_Gomega$ che, ricordando nuovamente che $v_G=m/(m+M)v_0$ e sostituendo, diventa
$mv_0L=mv_0(L/2+d)+I_Gomega$ ovvero:
$mv_0(L/2-d)=I_Gomega$
E cosi via per qualsiasi polo scelto (ma questi sono i poli "naturali", non ha senso scegliere altri poli.
Il risultato a cui arrivi e', ovviamente, lo stesso per tutti i casi
d e' la distanza dal centro della sbarretta del baricentro.
Le rotazioni orarie sono, per me, positive.
La velocita' del centro di massa G del sistema dopo l'urto, per la conservazione della qdm e' $v_G=m/(m+M)v_0$
Opzione 1: Polo sulla retta orizzontale passante per G
$L_i=mv_0(L/2-d)$
$L_f=I_Gomega$
Equazione risolutiva: $mv_0(L/2-d)=I_Gomega$
Opzione 2: Polo sulla retta orizzontale contenente $v_0$
$L_i=0$
$L_f=-(M+m)v_G(L/2-d)+I_Gomega$
Equazione risolutiva: $0=-(M+m)v_G(L/2-d)+I_Gomega$ che, ricordando che $v_G=m/(m+M)v_0$ e sostituendo, diventa
$0=-mv_0(L/2-d)+I_Gomega$, ovvero:
$mv_0(L/2-d)=I_Gomega$
Opzione 3: Polo sulla retta orizzontale passante per meta barretta.
$L_i=mv_0L/2$
$L_f=(M+m)v_Gd+I_Gomega$
Equazione risolutiva: $mv_0L/2=(M+m)v_Gd+I_Gomega$ che, ricordando nuovamente che $v_G=m/(m+M)v_0$ e sostituendo, diventa
$mv_0L/2=mv_0d+I_Gomega$ ovvero:
$mv_0(L/2-d)=I_Gomega$
Opzione 4: Polo sull'estremo inferiore della barretta:
$L_i=mv_0L$
$L_f=(M+m)v_G(L/2+d)+I_Gomega$
Equazione risolutiva: $mv_0L=(M+m)v_G(L/2+d)+I_Gomega$ che, ricordando nuovamente che $v_G=m/(m+M)v_0$ e sostituendo, diventa
$mv_0L=mv_0(L/2+d)+I_Gomega$ ovvero:
$mv_0(L/2-d)=I_Gomega$
E cosi via per qualsiasi polo scelto (ma questi sono i poli "naturali", non ha senso scegliere altri poli.
Il risultato a cui arrivi e', ovviamente, lo stesso per tutti i casi
"professorkappa":
In realta' la sbarra non sta entrando in gioco. Lo scrivi tu stesso che il momento angolare prima dell'urto e' funzione solo della massa m e non della M. Anche la risposta di singularity non la capisco molto.
Il punto e' che lui sceglie quel polo ai fini del calcolo del momento angolare prima dell'urto. Ma e' una scelta totalmente arbitraria.
Ma potresti anche scegliere come polo un punto giacente sulla traiettoria del proiettile e il mom. angolare prima dell'urto sarebbe $L_i=0$
I
Accidenti accidenti ! Ma cosa ho scritto!?!?!?!
Mi rendo conto solo adesso... le troppe ore di studio mi hanno inceppato e imposto una rotazione antioraria dei neuroni!
Chiedo scusa per lo sfondone! Me lo avrai detto 1000 volte.
"professorkappa":
Visto che ho 10 minuti di tempo, ti faccio 3 esempi di scelta di polo.
Li analizzato tutti i casi e mi torna perfettamente.
Grazie per l'esauriente spiegazione, se ritornassi su questo argomento sicuramente sarà in un'altra vita!
"zio_mangrovia":
Me lo avrai detto 1000 volte.
Ah, eri tu?
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