Interazione coulombiana tra particelle
Buonasera ragazzi, in un esercizio mi viene chiesto di trovare gli stati legati relativi alla Hamiltoniana di interazione coulombiana tra due elettroni di spin s=1/2 e un protone con s=1/2, senza tenere conto del fattore di repulsione tra i due elettroni. Ora, preliminarmente, senza considerare lo spin, avrei una Hamiltoniana del tipo :
$ H = vecp^2/(2m) + vecP_1^2/(2M)+ vecP_2^2/(2M) -e^2/(4piepsi_0)(1/r_1+1/r_2) $
ove $ vec(p) $ è riferito al protone di massa $ m $ ; mentre $ vec(r_i)= vec(r) - vec(R_i) $ , con $ vec(r), vec(R_i) $ i vettori posizione di, rispettivamente, protone ed elettrone i-esimo(i=1,2).
Il problema è che non mi è chiarissimo come risolvere questa equazione. Avevo pensato di potermi mettere nel sistema di riferimento del centro di massa per continuare, sarebbe corretto?
$ H = vecp^2/(2m) + vecP_1^2/(2M)+ vecP_2^2/(2M) -e^2/(4piepsi_0)(1/r_1+1/r_2) $
ove $ vec(p) $ è riferito al protone di massa $ m $ ; mentre $ vec(r_i)= vec(r) - vec(R_i) $ , con $ vec(r), vec(R_i) $ i vettori posizione di, rispettivamente, protone ed elettrone i-esimo(i=1,2).
Il problema è che non mi è chiarissimo come risolvere questa equazione. Avevo pensato di potermi mettere nel sistema di riferimento del centro di massa per continuare, sarebbe corretto?
Risposte
Ciao, io personalmente vedrei il problema come un analogo dell'atomo di Elio. vista l'approssimazione che ci chiedono di considerare, siamo nel caso che si riesce a risolvere. l'hamiltoniana "classica" è (metto tutte le costanti a 1 per evitare di scrivere):
\[
H = \frac{p_1}{2} + \frac{p_2}{2} - \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}
\]
Passando agli operatori arriviamo alla seguente hamiltoniana "quantistica"
\[
H = -\frac{1}{2} \nabla_{1}^{2} -\frac{1}{r_1} - \frac{1}{2} \nabla_{2}^{2} -\frac{1}{r_2} = H_1 +H_2
\]
queste sono due hamiltoniane di un atomo d'idrogeno unidimensionale. pertanto le autofunzioni sono il prodotto delle autofunzioni dei due atomi di idrogeno e l'energia la somma delle energie.
\[
H = \frac{p_1}{2} + \frac{p_2}{2} - \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}
\]
Passando agli operatori arriviamo alla seguente hamiltoniana "quantistica"
\[
H = -\frac{1}{2} \nabla_{1}^{2} -\frac{1}{r_1} - \frac{1}{2} \nabla_{2}^{2} -\frac{1}{r_2} = H_1 +H_2
\]
queste sono due hamiltoniane di un atomo d'idrogeno unidimensionale. pertanto le autofunzioni sono il prodotto delle autofunzioni dei due atomi di idrogeno e l'energia la somma delle energie.
Ciao, ho capito quello intendi, di fatto non considerando che i due elettroni interagiscono tra loro è come considerare due sistemi elettrone-protone, che possiamo schematizzare come degli atomi di idrogeno. Volevo avere però conferma di una cosa: nella hamiltoniana che hai scritto non compare il termine relativo al protone, questo è perchè consideriamo il nucleo fermo e gli elettroni in movimento intorno al nucleo giusto?
"m2d":
nella hamiltoniana che hai scritto non compare il termine relativo al protone, questo è perchè consideriamo il nucleo fermo e gli elettroni in movimento intorno al nucleo giusto
esatto.
ho fatto proprio il conto esattamente identico a quello che si fa per l'atomo di elio che in linea di principio non può essere risolto analiticamente ma solo per approssimazioni, come per esempio il calcolo delle variazioni.
visto però che non contiamo il termine di repulsione, riusciamo a ricondurci alla somma di hamiltoniane di atomi di idrogeno (problema a due corpi che una soluzione analitica ce l'ha) che quindi ci permette di risolvere anche analiticamente il problema. in pratica riusciamo a separare il problema
Perfetto, grazie mille, più tardi provo a risolverlo in questo modo
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