Intensità dell'onda polarizzata ellitticamente
Nella trattazione classica il vettore E descrive una ellisse allorquando i suoi due componenti $E_y$ e $E_z$ si possono esprimere come $E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t)$ con $E_(y0) \ne E_(z0)$
Tuttavia posso ottenere una ellisse anche introducendo una fase (p.es. aggiuntiva a quella che già implicitamente è presente nel seno rispetto al coseno) e quindi partendo da un cerchio. Ovvero $E_(0) sen(Kx-omega t + \phi)$ e $E_(0) cos(Kx-omega t)$. In cui ovviamente $E_(y0) = E_(z0) = E_(0)$. Se io ora vado a calcolare l'Intensità mediante la somma $ I = \eta E_(y0) ^2/2 + \eta E_(z0)^2/2 $ ottengo il risultato $\eta E_(0)^2$ che è sbagliato tranne che per $\phi = 0$ (caso del cerchio). In particolare per $\phi = pi/2$ (caso in cui l'ellisse degenera in una linea retta a 45 gradi) il risultato è il doppio di quello giusto. Perciò quando si dice che l'intensità di un fascio polarizzato circolarmente non dipende dalla differenza di fase si dice una inesattezza. Anche perché se c'è una differenza di fase diversa da $\phi = pi/2$ il fascio non è più circolare ma ellittico.
In conclusione può darsi che in questo mio ragionamento ci sia qualcosa di storto, anche banale, che non riesco a vedere. Ringrazio chi vorrà darmi un aiuto.
Nota aggiunta il 6 settembre.
Così avevo scritto quando non avevo ancora approfondito il problema. Il concetto errato è che l'intensità possa dipendere dalla fase in quanto essa cambia il tipo di figura generata dalla composizione dei due oscillatori ortogonali. Dopo una serie di passaggi sono prevenuto a tre equazioni semplici che consentono di trovare l'ampiezza del campo massimo, quella del campo minimo e l'angolo di pendenza del campo massimo rispetto alle ascisse. In funzione ovviamente delle ampiezze dei due campi ortogonali e del loro angolo di fase. Naturalmente c'è la dimostrazione che la somma dei quadrati delle ampiezze dei semiassi principali di tutte le ellissi (e delle loro degenerazioni circolari e lineari) è costante e non dipende quindi dalla fase.
Nota aggiunta il 18 settembre
Nell'ultimo post del 16 ho esposto le tre equazioni con cui si risolve il cosiddetto problema inverso. Adesso la trattazione è completa e merita una riflessione critica che mi propongo di eseguire sotto un altro titolo.
Chi è interessato mi dia segno della sua attenzione. Troverà in me un soggetto simpatico e collaborativo.
Tuttavia posso ottenere una ellisse anche introducendo una fase (p.es. aggiuntiva a quella che già implicitamente è presente nel seno rispetto al coseno) e quindi partendo da un cerchio. Ovvero $E_(0) sen(Kx-omega t + \phi)$ e $E_(0) cos(Kx-omega t)$. In cui ovviamente $E_(y0) = E_(z0) = E_(0)$. Se io ora vado a calcolare l'Intensità mediante la somma $ I = \eta E_(y0) ^2/2 + \eta E_(z0)^2/2 $ ottengo il risultato $\eta E_(0)^2$ che è sbagliato tranne che per $\phi = 0$ (caso del cerchio). In particolare per $\phi = pi/2$ (caso in cui l'ellisse degenera in una linea retta a 45 gradi) il risultato è il doppio di quello giusto. Perciò quando si dice che l'intensità di un fascio polarizzato circolarmente non dipende dalla differenza di fase si dice una inesattezza. Anche perché se c'è una differenza di fase diversa da $\phi = pi/2$ il fascio non è più circolare ma ellittico.
In conclusione può darsi che in questo mio ragionamento ci sia qualcosa di storto, anche banale, che non riesco a vedere. Ringrazio chi vorrà darmi un aiuto.
Nota aggiunta il 6 settembre.
Così avevo scritto quando non avevo ancora approfondito il problema. Il concetto errato è che l'intensità possa dipendere dalla fase in quanto essa cambia il tipo di figura generata dalla composizione dei due oscillatori ortogonali. Dopo una serie di passaggi sono prevenuto a tre equazioni semplici che consentono di trovare l'ampiezza del campo massimo, quella del campo minimo e l'angolo di pendenza del campo massimo rispetto alle ascisse. In funzione ovviamente delle ampiezze dei due campi ortogonali e del loro angolo di fase. Naturalmente c'è la dimostrazione che la somma dei quadrati delle ampiezze dei semiassi principali di tutte le ellissi (e delle loro degenerazioni circolari e lineari) è costante e non dipende quindi dalla fase.
Nota aggiunta il 18 settembre
Nell'ultimo post del 16 ho esposto le tre equazioni con cui si risolve il cosiddetto problema inverso. Adesso la trattazione è completa e merita una riflessione critica che mi propongo di eseguire sotto un altro titolo.
Chi è interessato mi dia segno della sua attenzione. Troverà in me un soggetto simpatico e collaborativo.
Risposte
Scusami se ti rispondo io ma, in attesa di risposte più autorevoli, mi sento chiamato in causa e provo quindi a chiarire cosa intendevo dire nel precedente thread sulla questione.
Certo, e per generalizzare possiamo introdurre anche qui una fase $E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t+\phi)$ .
Non c'è ombra di dubbio.
Non vedo perché dovrebbe essere sbagliato [nota]Una volta precisato cosa intendi indicare con $\eta$ ?[/nota].
Anche in questo caso, a mio modestissimo parere, il risultato è quello corretto, in quanto il valore massimo del campo elettrico risulta $E_M=\sqrt{2}E_0$.
E per una polarizzazione ellittica generalmente esprimibile come già detto dalle relazioni
$E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t +\phi)$ con $E_(y0) \ne E_(z0)$
a mio parere, dovrebbe sempre risultare, indipendentemente dalla fase,
$ I = \frac { E_(y0) ^2}{2 Z} + \frac { E_(z0) ^2}{2 Z} $
dove con $Z$ intendo indicare l'impedenza intrinseca $\sqrt{\mu/\epsilon}=E/H$.
Come dicevo, l'apparente "stranezza" può essere spiegata ricordando che quella espressione della media integrale non è altro che il valor medio (nel tempo T) del modulo del vettore di Poynting ($\vec S=\vec E \times \vec H$), ovvero il valore medio della potenza per unità di superficie attraverso un piano normale alla direzione di propagazione e di conseguenza, esprimendo il campo come somma di due componenti ortogonali, avremo che i due (dei quattro) contributi parziali (non nulli) del prodotto vettoriale, saranno indipendenti e relativi a campo elettrico e magnetico associato.
"Vincenzo10":
Nella trattazione classica il vettore E descrive una ellisse allorquando i suoi due componenti $E_y$ e $E_z$ si possono esprimere come $E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t)$ con $E_(y0) \ne E_(z0)$
Certo, e per generalizzare possiamo introdurre anche qui una fase $E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t+\phi)$ .
"Vincenzo10":
Tuttavia posso ottenere una ellisse anche introducendo una fase (p.es. aggiuntiva a quella che già implicitamente è presente nel seno rispetto al coseno) e quindi partendo da un cerchio. Ovvero $E_(0) sen(Kx-omega t + \phi)$ e $E_(0) cos(Kx-omega t)$. In cui ovviamente $E_(y0) = E_(z0) = E_(0)$.
Non c'è ombra di dubbio.
"Vincenzo10":
Se io ora vado a calcolare l'Intensità mediante la somma $ I = \eta E_(y0) ^2/2 + \eta E_(z0)^2/2 $ ottengo il risultato $\eta E_(0)^2$ che è sbagliato tranne che per $\phi = 0$ (caso del cerchio).
Non vedo perché dovrebbe essere sbagliato [nota]Una volta precisato cosa intendi indicare con $\eta$ ?[/nota].
"Vincenzo10":
In particolare per $\phi = pi/2$ (caso in cui l'ellisse degenera in una linea retta a 45 gradi) il risultato è il doppio di quello giusto.
Anche in questo caso, a mio modestissimo parere, il risultato è quello corretto, in quanto il valore massimo del campo elettrico risulta $E_M=\sqrt{2}E_0$.
"Vincenzo10":
Perciò quando si dice che l'intensità di un fascio polarizzato circolarmente non dipende dalla differenza di fase si dice una inesattezza. Anche perché se c'è una differenza di fase diversa da $\phi = pi/2$ il fascio non è più circolare ma ellittico.
E per una polarizzazione ellittica generalmente esprimibile come già detto dalle relazioni
$E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t +\phi)$ con $E_(y0) \ne E_(z0)$
a mio parere, dovrebbe sempre risultare, indipendentemente dalla fase,
$ I = \frac { E_(y0) ^2}{2 Z} + \frac { E_(z0) ^2}{2 Z} $
dove con $Z$ intendo indicare l'impedenza intrinseca $\sqrt{\mu/\epsilon}=E/H$.
Come dicevo, l'apparente "stranezza" può essere spiegata ricordando che quella espressione della media integrale non è altro che il valor medio (nel tempo T) del modulo del vettore di Poynting ($\vec S=\vec E \times \vec H$), ovvero il valore medio della potenza per unità di superficie attraverso un piano normale alla direzione di propagazione e di conseguenza, esprimendo il campo come somma di due componenti ortogonali, avremo che i due (dei quattro) contributi parziali (non nulli) del prodotto vettoriale, saranno indipendenti e relativi a campo elettrico e magnetico associato.
Renzo, ti ringrazio per l'attenzione. Sia per quella attuale che per quella spero futura.
Il simbolo $\eta$ rappresenta $c \epsilon_0 \sqrt{x_e/x_m}$.
In tale formula $x_e$ rappresenta la costante dielettrica relativa (in un mezzo omogeneo e isotropo) e $x_m$ la permeabilità magnetica relativa. Il simbolo è tratto dal libro di Massimo Nigro e Cesare Voci "Problemi di Fisica Generale" Elettromagnetismo - Ottica Ed. Cortina Padova 2002 pag. 374.
Il simbolo $\eta$ rappresenta $c \epsilon_0 \sqrt{x_e/x_m}$.
In tale formula $x_e$ rappresenta la costante dielettrica relativa (in un mezzo omogeneo e isotropo) e $x_m$ la permeabilità magnetica relativa. Il simbolo è tratto dal libro di Massimo Nigro e Cesare Voci "Problemi di Fisica Generale" Elettromagnetismo - Ottica Ed. Cortina Padova 2002 pag. 374.
Esattamente l'inverso di quanto si usa normalmente, ovvero con $\eta$ Nigro (il mio prof. di Fisica 
) indica l'inverso dell'impedenza intrinseca, ovvero l'ammettenza intrinseca $Y=1/Z$, ad ogni modo ok, non cambia nulla.
) indica l'inverso dell'impedenza intrinseca, ovvero l'ammettenza intrinseca $Y=1/Z$, ad ogni modo ok, non cambia nulla.
Ho studiato meglio il comportamento del campo di un'onda circolare. Al variare della fase il cerchio degenera in ellissi che hanno tutte la caratteristica di avere l'asse maggiore inclinato a 45 gradi (o anche 135). In particolare può degenerare in un segmento inclinato a 45 gradi. La composizione dei due campi ortogonali al fine di ottenere il campo risultante risente della fase. Per cui si può avere che con differenza di fase di 90 gradi (tipica quella tra seno e coseno) il campo risultante coincide in modulo con uno dei due ortogonali e ruota nel tempo formando un cerchio. Per una fase diversa il campo risultante ruota facendo passare il proprio modulo da un minimo a un massimo e generando una ellisse "inclinata". Infine si può generare un segmento in cui il campo effettua una vibrazione. In tal caso il suo modulo cresce e vale $E_M=\sqrt{2}E_0$. In tutti i casi effettivamente si ottiene $I = \eta E_(0)^2$ e, in questo senso, il risultato è esatto.
In conclusione però è bene sapere che la identità del flusso energetico di figure così diverse - che vanno dal cerchio (non polarizzato), all'ellisse ( parzialmente polarizzata), al segmento (completa polarizzazione lineare) - si mantiene grazie a una variazione del modulo del campo composto la cui determinazione a partire dai due ortogonali dipende non banalmente dalla fase.
In conclusione però è bene sapere che la identità del flusso energetico di figure così diverse - che vanno dal cerchio (non polarizzato), all'ellisse ( parzialmente polarizzata), al segmento (completa polarizzazione lineare) - si mantiene grazie a una variazione del modulo del campo composto la cui determinazione a partire dai due ortogonali dipende non banalmente dalla fase.
"Vincenzo10":
... In conclusione però è bene sapere che la identità del flusso energetico ... si mantiene grazie a una variazione del modulo del campo composto ... (che) ... dipende non banalmente dalla fase.
Scusa ma non capisco questa conclusione, come ti dicevo, se continui ad assumere quella media integrale del post iniziale come una definizione è chiaro che troverai dei problemi nello spiegare l'indipendenza dell'intensità dalla fase fra le due componenti, se invece vai a considerare che quel campo elettrico al quadrato deriva dal modulo del vettore di Poynting, ovvero dal prodotto vettoriale fra vettore campo elettrico e vettore campo magnetico (intendo "all'antica" $\vec H$), l'indipendenza dalla fase ti risulterà chiarissima e non dovrai andare a spiegare la costanza dell'intensità attraverso una "miracolosa" dipendenza di $|\vec E|$ dalla fase.
Bella risposta. Ho faticato un po' a capirla ma penso che tu intenda il fatto che mentre il vettore E è controllato - anche - dalla fase (intendo $\phi$) il vettore di Pointing no perché H è sempre ortogonale a E. Va bene.
Io però sono incuriosito da queste ellissi che si generano da due vibrazioni ortogonali. Vorrei capire meglio non solo il problema "diretto" ma anche e soprattutto quello "inverso". Se uno ha una ellisse, infatti, può scegliere di scomporla secondo una coppia d'assi ortogonali arbitrariamente orientata rispetto ai suoi assi principali.... Questo accade quando si mette un polarimetro davanti a una onda piana...etc.
Io però sono incuriosito da queste ellissi che si generano da due vibrazioni ortogonali. Vorrei capire meglio non solo il problema "diretto" ma anche e soprattutto quello "inverso". Se uno ha una ellisse, infatti, può scegliere di scomporla secondo una coppia d'assi ortogonali arbitrariamente orientata rispetto ai suoi assi principali.... Questo accade quando si mette un polarimetro davanti a una onda piana...etc.
Vorrei riprendere questo argomento senza ingarbugliarlo. Perciò tralascio per il momento il problema energetico.
Si sa che due campi vibranti (i.e. onde piane polarizzate linearmente) ortogonali si compongono per dar luogo a un campo che descrive ellissi generalmente inclinate. In particolare penso di ricavare il valore del campo massimo a partire dalla conoscenza dei campi $E_(y0)$ ; $ E_(z0)$ e dalla costante di fase relativa $ \varphi $
Ho provato a scrivere l'equazione dell'ellisse nella forma: $E_(y0) cos(Kx-omega t); E_(z0) cos(Kx-omega t+\phi )$ nel piano $yz$ e ho semplificato il simbolismo introducendo la variabile $ u=Kx-omega t$ e $a = E_(y0)$ ; $ b=E_(z0)$.
Così il vettore campo elettrico risulta rappresentato dalle componenti:
$ \vec {E}(u) \equiv {a\cdot\cos(u) ; b\cdot\cos(u+\varphi)}$
Il suo modulo al quadrato è dato dalla espressione:
$ │E(u)│^2 = (a^2+b^2\cos(\varphi)^2)\cos(u)^2 +b^2\sin(u)^2\sin(\varphi)^2-1/2 b^2\sin(2u)sin(2\varphi)$
che si può considerare una funzione di u con parametro $\varphi$.
Se ne può annullare la derivata e si ottiene:
$\tan(2u)=-b^2\sin(2\varphi)/(a^2+b^2\cos(2\varphi))$
Con questa formula siamo in grado di ricavare il particolare valore di u che corrisponde al campo massimo.
In realtà ci sono due campi massimi e due campi minimi. Ma lo vedremo alla prossima puntata.
Per la quale prevedo cose strabilianti.....
Si sa che due campi vibranti (i.e. onde piane polarizzate linearmente) ortogonali si compongono per dar luogo a un campo che descrive ellissi generalmente inclinate. In particolare penso di ricavare il valore del campo massimo a partire dalla conoscenza dei campi $E_(y0)$ ; $ E_(z0)$ e dalla costante di fase relativa $ \varphi $
Ho provato a scrivere l'equazione dell'ellisse nella forma: $E_(y0) cos(Kx-omega t); E_(z0) cos(Kx-omega t+\phi )$ nel piano $yz$ e ho semplificato il simbolismo introducendo la variabile $ u=Kx-omega t$ e $a = E_(y0)$ ; $ b=E_(z0)$.
Così il vettore campo elettrico risulta rappresentato dalle componenti:
$ \vec {E}(u) \equiv {a\cdot\cos(u) ; b\cdot\cos(u+\varphi)}$
Il suo modulo al quadrato è dato dalla espressione:
$ │E(u)│^2 = (a^2+b^2\cos(\varphi)^2)\cos(u)^2 +b^2\sin(u)^2\sin(\varphi)^2-1/2 b^2\sin(2u)sin(2\varphi)$
che si può considerare una funzione di u con parametro $\varphi$.
Se ne può annullare la derivata e si ottiene:
$\tan(2u)=-b^2\sin(2\varphi)/(a^2+b^2\cos(2\varphi))$
Con questa formula siamo in grado di ricavare il particolare valore di u che corrisponde al campo massimo.
In realtà ci sono due campi massimi e due campi minimi. Ma lo vedremo alla prossima puntata.
Per la quale prevedo cose strabilianti.....
Come dicevo, ci sono due massimi e due minimi. Ma solo un massimo e un minimo è compreso entro $\pi$. Per una più semplice gestione di ciò che sto per mostrare conviene sintetizzare la formula usando i seguenti simboli. Solo per comodità pratica. $A=a^2 ; B = b^2 ; \sin(2\varphi)=bar{2\varphi} ; \cos(2\varphi}=hat{2\varphi}; A*hat{2\varphi}=hat{A}; A*bar{2\varphi}=bar{A} ;B*hat{2\varphi}=hat{B}; B*bar{2\varphi}=bar{B} ; \cos(u) = hat{u}; \sin(u)= bar{u}; \cos(\varphi) = hat{\varphi}; \sin(\varphi)= bar{\varphi}; $
In questo modo la formula diventa
$\tan(2u)=-bar{B}/(A+hat{B})$
Da questa, applicando la formula di duplicazione della tangente otteniamo:
$\tan(u)=(A+hat{B} \pm \sqrt(A^2+2Ahat{B}+B^2))/bar{B}$
Con questa formula siamo al punto in cui, dati due vibratori di ampiezza a e b e la loro fase $\varphi$ possiamo ricavare il valore della variabile angolare u sia per il massimo che per il minimo. Utilizzando, ovviamente le due determinazioni del segno davanti alla radice.
Possiamo adesso ottenere molte cose.
La prima è la posizione angolare ( diciamo $\theta$ ) del campo massimo (o minimo) proprio nel piano cartesiano.
Infatti se $ \vec {E}(u) \equiv {a\cdot\cos(u) ; b\cdot\cos(u+\varphi)}$ si ricava:
$tan(\theta) =(b\cdot\cos(u+\varphi))/(a\cdot\cos(u)) = (b/a)*(hat{u}hat{\varphi}-bar{u}bar{\varphi})/hat{u} = b/a (hat{\varphi}-\tan(u)*bar{\varphi})$
Questa osservazione è importante perché mostra che la posizione dei campi "estremi" non è banalmente legata alla variabile angolare u.
Ma la prossima osservazione lascerà stupefatti....
In questo modo la formula diventa
$\tan(2u)=-bar{B}/(A+hat{B})$
Da questa, applicando la formula di duplicazione della tangente otteniamo:
$\tan(u)=(A+hat{B} \pm \sqrt(A^2+2Ahat{B}+B^2))/bar{B}$
Con questa formula siamo al punto in cui, dati due vibratori di ampiezza a e b e la loro fase $\varphi$ possiamo ricavare il valore della variabile angolare u sia per il massimo che per il minimo. Utilizzando, ovviamente le due determinazioni del segno davanti alla radice.
Possiamo adesso ottenere molte cose.
La prima è la posizione angolare ( diciamo $\theta$ ) del campo massimo (o minimo) proprio nel piano cartesiano.
Infatti se $ \vec {E}(u) \equiv {a\cdot\cos(u) ; b\cdot\cos(u+\varphi)}$ si ricava:
$tan(\theta) =(b\cdot\cos(u+\varphi))/(a\cdot\cos(u)) = (b/a)*(hat{u}hat{\varphi}-bar{u}bar{\varphi})/hat{u} = b/a (hat{\varphi}-\tan(u)*bar{\varphi})$
Questa osservazione è importante perché mostra che la posizione dei campi "estremi" non è banalmente legata alla variabile angolare u.
Ma la prossima osservazione lascerà stupefatti....
Adesso viene il bello.... già perché nella espressione generale del modulo al quadrato del campo elettrico possiamo inserire i due valori di u ottenuti dalla formula di $ \tan(u)$ (non quella di $\tan(2u)$). Li chiamo $u_-$ se proviene dal segno meno e $u_+$ se proviene dal segno + sempre nella stessa formula della tangente. Di conseguenza i due vettori estremi sono:
$│E_(-)│^2 = (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(-))^2 +B*bar(u_(-))^2*\bar(\varphi)^2-1/2 B*\bar(2u_(-))*\bar(2\varphi)$
$│E_(+)│^2 = (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(+))^2 +B*bar(u_(+))^2*\bar(\varphi)^2-1/2 B*\bar(2u_(+))*\bar(2\varphi)$
Dovremmo usare l'arcotangente per cavar fuori $u_(-)$ e poi $ u_(+)$ per utilizzarli nelle due precedenti espressioni.
In genere la gente arriva a questo punto e si scoraggia. Ma invece si può continuare utilizzndo bene le formule di trasformazione da tangente a coseno e a seno e compattare ulteriormente il formalismo.
Attenzione per chi segue pedissequamente i passaggi che $\hat(B)^2+\bar(B)^2 = B^2$.
Allora spezzando in tre termini una qualsiasi delle espressioni sopra riportate (la prima col meno) e avendo introdotto il simbolo $\Delta = A^2+2Ahat{B}+B^2$ otteniamo:
$ \tan(u)=(A+hat{B} \pm \sqrt(A^2+2Ahat{B}+B^2))/bar{B} =(A+hat{B} \pm \sqrt(\Delta))/bar{B} $
$ (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(-))^2 = (\bar(B)^2*(A+B*\hat(\varphi)^2))/(2*\Delta-2*(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta))$
$ B*\bar(u_(-))^2*\bar(\varphi)^2 = B*\bar(\varphi)^2*(1-\bar(B)^2/(2*(\Delta - (A + \hat(B))*\sqrt(\Delta)) )) $
$ -1/2 B*\bar(2u_(-))*\bar(2\varphi) = (-)1/2*\bar(B)^2/(-\sqrt(\Delta))$
Sommati i tre termini e fatto qualche passaggio, abbiamo:
$│E_(-)│^2= B*\bar(\varphi)^2+\bar(B)^2/2 * ((A+\hat(B))/(\Delta-(A+\hat(B))sqrt(\Delta)))+1/2*\bar(B)^2/\sqrt(\Delta)$
$│E_(+)│^2= B*\bar(\varphi)^2+\bar(B)^2/2 * ((A+\hat(B))/(\Delta+(A+\hat(B))sqrt(\Delta)))-1/2*\bar(B)^2/\sqrt(\Delta)$
Sommando membro a membro abbiamo:
$│E_(-)│^2+│E_(+)│^2 =2*B*\bar(varphi)^2 +(\bar(B)^2/2)*((A+\hat(B))/(\Delta -(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta))-(A+\hat(B))/(\Delta +(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta)))=$
indovinate un po'....$= B+A=b^2+a^2$
Questo risultato è notevole (almeno per me) perché consente di stabilire che tutti i possibili campi ellittici generati da due oscillatori perpendicolari sono caratterizzati dal fatto che la somma dei quadrati del campo minimo e del campo massimo è costante e non dipende dalla differenza di fase. Purché ovviamente anche la fase sia costante durante l'evoluzione temporale.
Bel risultato?
Direi di si. Ma ce ne saranno altri e li vedrete quando comincerò a pensare ed esporre il problema inverso. Che poi è quello che ci interessa maggiormente. Perché quando un'onda ellittica viene ad attraversare un polarimetro noi conosciamo i due campi massimo e minimo più l'angolo di "inclinazione" ma non conosciamo l'intensità dei campi ortogonali né la loro fase reciproca in cui alla fine l'ellisse si va a decomporre.
$│E_(-)│^2 = (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(-))^2 +B*bar(u_(-))^2*\bar(\varphi)^2-1/2 B*\bar(2u_(-))*\bar(2\varphi)$
$│E_(+)│^2 = (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(+))^2 +B*bar(u_(+))^2*\bar(\varphi)^2-1/2 B*\bar(2u_(+))*\bar(2\varphi)$
Dovremmo usare l'arcotangente per cavar fuori $u_(-)$ e poi $ u_(+)$ per utilizzarli nelle due precedenti espressioni.
In genere la gente arriva a questo punto e si scoraggia. Ma invece si può continuare utilizzndo bene le formule di trasformazione da tangente a coseno e a seno e compattare ulteriormente il formalismo.
Attenzione per chi segue pedissequamente i passaggi che $\hat(B)^2+\bar(B)^2 = B^2$.
Allora spezzando in tre termini una qualsiasi delle espressioni sopra riportate (la prima col meno) e avendo introdotto il simbolo $\Delta = A^2+2Ahat{B}+B^2$ otteniamo:
$ \tan(u)=(A+hat{B} \pm \sqrt(A^2+2Ahat{B}+B^2))/bar{B} =(A+hat{B} \pm \sqrt(\Delta))/bar{B} $
$ (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(-))^2 = (\bar(B)^2*(A+B*\hat(\varphi)^2))/(2*\Delta-2*(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta))$
$ B*\bar(u_(-))^2*\bar(\varphi)^2 = B*\bar(\varphi)^2*(1-\bar(B)^2/(2*(\Delta - (A + \hat(B))*\sqrt(\Delta)) )) $
$ -1/2 B*\bar(2u_(-))*\bar(2\varphi) = (-)1/2*\bar(B)^2/(-\sqrt(\Delta))$
Sommati i tre termini e fatto qualche passaggio, abbiamo:
$│E_(-)│^2= B*\bar(\varphi)^2+\bar(B)^2/2 * ((A+\hat(B))/(\Delta-(A+\hat(B))sqrt(\Delta)))+1/2*\bar(B)^2/\sqrt(\Delta)$
$│E_(+)│^2= B*\bar(\varphi)^2+\bar(B)^2/2 * ((A+\hat(B))/(\Delta+(A+\hat(B))sqrt(\Delta)))-1/2*\bar(B)^2/\sqrt(\Delta)$
Sommando membro a membro abbiamo:
$│E_(-)│^2+│E_(+)│^2 =2*B*\bar(varphi)^2 +(\bar(B)^2/2)*((A+\hat(B))/(\Delta -(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta))-(A+\hat(B))/(\Delta +(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta)))=$
indovinate un po'....$= B+A=b^2+a^2$
Questo risultato è notevole (almeno per me) perché consente di stabilire che tutti i possibili campi ellittici generati da due oscillatori perpendicolari sono caratterizzati dal fatto che la somma dei quadrati del campo minimo e del campo massimo è costante e non dipende dalla differenza di fase. Purché ovviamente anche la fase sia costante durante l'evoluzione temporale.
Bel risultato?
Direi di si. Ma ce ne saranno altri e li vedrete quando comincerò a pensare ed esporre il problema inverso. Che poi è quello che ci interessa maggiormente. Perché quando un'onda ellittica viene ad attraversare un polarimetro noi conosciamo i due campi massimo e minimo più l'angolo di "inclinazione" ma non conosciamo l'intensità dei campi ortogonali né la loro fase reciproca in cui alla fine l'ellisse si va a decomporre.
"Vincenzo10":
Adesso viene il bello.... Sommando membro a membro abbiamo: ... indovinate un po'....
$│E_(-)│^2+│E_(+)│^2 = b^2+a^2$
Questo risultato è notevole .
Non vedo come potrebbe essere altrimenti, ad ogni modo per verificare quell'uguaglianza dal punto di vista geometrico credo che bastasse ricordare le relazioni fra due sistemi di riferimento ruotati.
Appurato infatti che la composizione dei due campi porta all'equazione di un'ellisse ruotata di un certo angolo $\psi$, la relazione fra i due campi massimi componenti e i due semiassi dell'ellisse poteva (forse) essere ottenuta molto più rapidamente andando a descrivere parametricamente l'ellisse, per poi uguagliare i coefficienti relativi ai termini in $\sin u$ e $\cos u$ nelle due rappresentazioni; se più tardi trovo il tempo ci provo.
L'ellisse non solo ruota ma si deforma. Questo giustifica il perché non basta una semplice rotazione degli assi.
Vorrei continuare ad esporre un'altra relazione notevole tra i campi massimo e minimo creati dai due oscillatori ortogonali.
Essa riguarda la differenza tra loro: $ │E_(-)│^2-│E_(+)│^2$
Vediamo qualche passaggio e il risultato finale.
$ │E_(-)│^2-│E_(+)│^2 =bar(B)^2/sqrt(Delta) + (\bar(B)^2/2)*(A+hat(B)) (1/(Delta - (A+hat(B))*sqrt(Delta))-1/(Delta + (A+hat(B))*sqrt(Delta)))=.....= bar(B)^2/sqrt(Delta) + (\bar(B)^2/2)*(A+hat(B))^2/sqrt(Delta)(2/(B^2-hat(B)^2)) =....= (1/sqrt(Delta))*(bar(B)+(A+hat(B))^2)=Delta/sqrt(Delta)= sqrt(Delta)$
Anche questo è un risultato notevole ( secondo me) e mi consente di sperare in una conclusione né troppo complicata e né banale del cosiddetto problema diretto. Insomma se conosciamo $a; b; varphi$ si possono ricavare non solo i due campi estremi ma anche l'angolo che ciascuno di loro forma con l'asse orizzontale di riferimento.
Fantastico o no?
Essa riguarda la differenza tra loro: $ │E_(-)│^2-│E_(+)│^2$
Vediamo qualche passaggio e il risultato finale.
$ │E_(-)│^2-│E_(+)│^2 =bar(B)^2/sqrt(Delta) + (\bar(B)^2/2)*(A+hat(B)) (1/(Delta - (A+hat(B))*sqrt(Delta))-1/(Delta + (A+hat(B))*sqrt(Delta)))=.....= bar(B)^2/sqrt(Delta) + (\bar(B)^2/2)*(A+hat(B))^2/sqrt(Delta)(2/(B^2-hat(B)^2)) =....= (1/sqrt(Delta))*(bar(B)+(A+hat(B))^2)=Delta/sqrt(Delta)= sqrt(Delta)$
Anche questo è un risultato notevole ( secondo me) e mi consente di sperare in una conclusione né troppo complicata e né banale del cosiddetto problema diretto. Insomma se conosciamo $a; b; varphi$ si possono ricavare non solo i due campi estremi ma anche l'angolo che ciascuno di loro forma con l'asse orizzontale di riferimento.
Fantastico o no?
"Vincenzo10":
L'ellisse non solo ruota ma si deforma. Questo giustifica il perché non basta una semplice rotazione degli assi.
Non mi sono spiegato, l'ellisse la considero già deformata e tangente al rettangolo che ha per lati il doppio del valore massimo dei campi componenti $E_{x0}$ ed $E_{y0}$; quello che intendo dire è che detta ellisse ruotata può essere rappresentata in modo equivalente nei due sistemi di riferimento, ovvero sia con
$E_x=E_{x0}\cos u, \qquad E_y=E_{y0}\cos (u+\varphi)$
sia nel riferimento ruotato e coincidente con gli assi dell'ellisse di semiassi $a$ e $b$ [nota]Che chiaramente non corrispondono alle tue $a$ e $b$, ma corrispondono ai tuoi $E_+$ ed $E_-$[/nota], in forma parametrica,
$E_{x^{\prime}}=a\cos (u+\theta), \qquad E_{y^{\prime}}=b \sin (u+\theta)$
e chiaramente, detto $\psi$ l'angolo di rotazione fra i due sistemi, esisteranno le due seguenti uguaglianze
$E_{x^{\prime}}=E_x \cos \psi+E_y \sin \psi, \qquad E_{y^{\prime}}=-E_x \sin \psi+E_y \cos \psi$
se non erro.
Come dicevo, da queste due ultime uguaglianze si ricava sia la relazione fra i quadrati, sia la relazione per l'angolo di rotazione $\psi$ in funzione dei valori massimi dei due campi ($E_{x0}$ e $E_{y0}$) e del loro sfasamento $\varphi$.
--------------------------- Edit -------------
Sviluppandole
$a(\cos u\cos \theta - \sin u\sin \theta)=E_{x0} \cos u\cos \psi +E_{y0}(\cos u \cos \varphi -\sin u \sin \varphi)\sin \psi
$
$b(\sin u\cos \theta + \cos u\sin \theta)=-E_{x0}\cos u\sin \psi +E_{y0}(\cos u \cos \varphi-\sin u \sin \varphi)\cos \psi $
e quindi, uguagliando i coefficienti in seno e coseno di $u$, avremo
$a\cos\theta = E_{x0} \cos\psi + E_{y0}\cos\varphi \sin\psi \qquad , \qquad a\sin\theta= E_{y0}\sin \varphi\sin\psi
$
$ b\cos\theta=-E_{y0}\sin \varphi \cos\psi \qquad, \qquad b\sin\theta = -E_{x0}\sin \psi + E_{y0}\cos\varphi \cos\psi$
per esempio, sommando i quadrati delle ultime quattro, si otterrà la cercata
$a^2+b^2=E_{x0}^2+E_{y0}^2$
ma dalle stesse si può ricavare anche la differenza fra i quadrati e uguagliando gli uguali rapporti $a/b$ fra le prime e le corrispondenti seconde, la funzione $\psi=f(E_{x0}, E_{y0}, \varphi)$.
Renzo, ti ringrazio sempre per l'attenzione.
Nella tua risposta c'è l'dea di utilizzare la trasformazione delle coordinate e quindi bypassare la questione dei massimi e minimi attraverso l'annullamento della derivata. In realtà i tuoi $a$ e $b$ sono i semiassi dell'ellisse già "ruotata e deformata" e dalla tua elaborazione ne discende la verifica della relazione $a^2+b^2=E_{x0}^2+E_{y0}^2$. OK va bene. Stiamo su due binari paralleli... Il gioco si fa più interessante....
Nella tua risposta c'è l'dea di utilizzare la trasformazione delle coordinate e quindi bypassare la questione dei massimi e minimi attraverso l'annullamento della derivata. In realtà i tuoi $a$ e $b$ sono i semiassi dell'ellisse già "ruotata e deformata" e dalla tua elaborazione ne discende la verifica della relazione $a^2+b^2=E_{x0}^2+E_{y0}^2$. OK va bene. Stiamo su due binari paralleli... Il gioco si fa più interessante....
Come già abbiamo visto la tangente dell'angolo che un qualsiasi "raggio vettore" - per noi rappresentante il campo elettrico - forma con l'asse orizzontale è dato dall'espressione:
$tan(\theta) =(b\cdot\cos(u+\varphi))/(a\cdot\cos(u)) = b/a (hat{varphi}-\tan(u)*bar{varphi})$
Se al posto della generica $tan(u)$ inserisco una delle due che derivano dall'annullamento della derivata della funzione $│ E(u,varphi)│^2$ e quindi dalla formula risolutiva di una equazione di secondo grado, ottengo 2 tangenti che esprimono la pendenza di due semiassi contigui.
Infatti la semplice derivata prima non discrimina tra massimo e minimo.
Cambiando semplicemente il segno davanti al discriminante della formula risolutiva si passa da un semiasse a un altro a lui contiguo.
Insomma fatti i dovuti passaggi ottengo:
$tan(\theta_(-)) = b/a (hat{varphi}-((A+hat(B)-sqrt(Delta))/bar(B))*bar{varphi})=.....= b/a ((B-A+sqrt(Delta))/(2*B*hat(varphi)))$
e simmetricamente si ricava anche:
$tan(\theta_(+)) = b/a (hat{varphi}-((A+hat(B)+sqrt(Delta))/bar(B))*bar{varphi})=.....= b/a ((B-A-sqrt(Delta))/(2*B*hat(varphi)))$
Chi vuole seguire pedissequamente i passaggi badi che a un certo punto si ha che: $bar(B)*hat(varphi)-hat(B)*bar(varphi)=B*bar(2varphi)*hat(varphi)-B*hat(2varphi)*bar(varphi) = B*sin(2varphi-varphi)=B*bar(varphi)$
Ok
Adesso andiamo a considerare il prodotto tra le due tangenti per verificare che soddisfano il criterio di ortogonalità.
$tan(\theta_(-)) * tan(\theta_(+))=(B/A)*(((B-A)^2-Delta)/(4B^2hat(varphi)^2))=...(-1)*(B/A)(A/B)((B+hat(B))/(2*B*hat(varphi)^2))......=-1$
Un passaggio importante che consente di chiudere il tema in sicurezza.
$tan(\theta) =(b\cdot\cos(u+\varphi))/(a\cdot\cos(u)) = b/a (hat{varphi}-\tan(u)*bar{varphi})$
Se al posto della generica $tan(u)$ inserisco una delle due che derivano dall'annullamento della derivata della funzione $│ E(u,varphi)│^2$ e quindi dalla formula risolutiva di una equazione di secondo grado, ottengo 2 tangenti che esprimono la pendenza di due semiassi contigui.
Infatti la semplice derivata prima non discrimina tra massimo e minimo.
Cambiando semplicemente il segno davanti al discriminante della formula risolutiva si passa da un semiasse a un altro a lui contiguo.
Insomma fatti i dovuti passaggi ottengo:
$tan(\theta_(-)) = b/a (hat{varphi}-((A+hat(B)-sqrt(Delta))/bar(B))*bar{varphi})=.....= b/a ((B-A+sqrt(Delta))/(2*B*hat(varphi)))$
e simmetricamente si ricava anche:
$tan(\theta_(+)) = b/a (hat{varphi}-((A+hat(B)+sqrt(Delta))/bar(B))*bar{varphi})=.....= b/a ((B-A-sqrt(Delta))/(2*B*hat(varphi)))$
Chi vuole seguire pedissequamente i passaggi badi che a un certo punto si ha che: $bar(B)*hat(varphi)-hat(B)*bar(varphi)=B*bar(2varphi)*hat(varphi)-B*hat(2varphi)*bar(varphi) = B*sin(2varphi-varphi)=B*bar(varphi)$
Ok
Adesso andiamo a considerare il prodotto tra le due tangenti per verificare che soddisfano il criterio di ortogonalità.
$tan(\theta_(-)) * tan(\theta_(+))=(B/A)*(((B-A)^2-Delta)/(4B^2hat(varphi)^2))=...(-1)*(B/A)(A/B)((B+hat(B))/(2*B*hat(varphi)^2))......=-1$
Un passaggio importante che consente di chiudere il tema in sicurezza.
Ora si possono comporre le due tangenti e abbiamo:
$tan(\theta_(-)) + tan(\theta_(+)) = (1/(ab))*(B-A)/hat(varphi)$
$tan(\theta_(-)) - tan(\theta_(+)) = (1/(ab))*sqrt(Delta)/hat(varphi)$
NB
Da ora in poi chiamerò i campi ottenuti dalla composizione dei due oscillatori $a$ e $b$ (di fase $varphi$) semplicemente $p$ ed $s$ ( $p=│E_(-)│$ e $s=│E_(+)│$) e, naturalmente i loro quadrati saranno $P$ ed $S$.
Bene dal rapporto tra le due equazioni ricaviamo:
$(tan(\theta_(-)) + tan(\theta_(+)))/(tan(\theta_(-)) - tan(\theta_(+))) = (B-A)/sqrt(Delta)$
che ricordando la relazione di ortogonalità consente di scivere:
$(B-A) =sqrt(Delta)*(tan(\theta_(-)) + (-1)*1/ tan(\theta_(-)))/(tan(\theta_(-)) - (-1)*1/ tan(\theta_(-)))=....=(-1)cos(2theta_(-))sqrt(Delta)$
Da quest'ultima ricaviamo la terza equazione fondamentale: $cos(2theta)=(A-B)/sqrt(Delta)$
che si unisce alle prime due ovvero: $P+S=A+B$ e $P-S=sqrt(Delta)$
Per quest'ultima però è necessario un approfondimento affinché essa possa esprimere "l'angolo del semiasse maggiore che più si avvicina all'asse delle ascisse". Cioè dei quattro angoli in gioco ( uno per ciascun semiasse) vogliamo conoscere quello che si riferisce 1) a uno dei semiassi maggiori e 2) vogliamo che sia quello dei due angoli, tra loro intervallati di $pi$, che posiziona il suo semiasse il più vicino possibile all'asse delle ascisse.
Me ne occuperò dal prossimo post in poi.
Chi mi ha seguito fino a questo punto ha ora la soddisfazione di avere davanti tre equazioni semplicissime e maneggevolissime che consentono di risolvere il cosiddetto problema diretto.
Una volta chiuso bene questo argomento, si potrà affrontare e chiudere anche il problema inverso. Per intenderci quello che si pone quando, data una ellisse di cui conosciamo i semiassi e la pendenza angolare di uno di essi (poniamo il maggiore più vicino alle ascisse) si voglia ricavare il valore dell'ampiezza dei due oscillatori e la loro fase reciproca.
$tan(\theta_(-)) + tan(\theta_(+)) = (1/(ab))*(B-A)/hat(varphi)$
$tan(\theta_(-)) - tan(\theta_(+)) = (1/(ab))*sqrt(Delta)/hat(varphi)$
NB
Da ora in poi chiamerò i campi ottenuti dalla composizione dei due oscillatori $a$ e $b$ (di fase $varphi$) semplicemente $p$ ed $s$ ( $p=│E_(-)│$ e $s=│E_(+)│$) e, naturalmente i loro quadrati saranno $P$ ed $S$.
Bene dal rapporto tra le due equazioni ricaviamo:
$(tan(\theta_(-)) + tan(\theta_(+)))/(tan(\theta_(-)) - tan(\theta_(+))) = (B-A)/sqrt(Delta)$
che ricordando la relazione di ortogonalità consente di scivere:
$(B-A) =sqrt(Delta)*(tan(\theta_(-)) + (-1)*1/ tan(\theta_(-)))/(tan(\theta_(-)) - (-1)*1/ tan(\theta_(-)))=....=(-1)cos(2theta_(-))sqrt(Delta)$
Da quest'ultima ricaviamo la terza equazione fondamentale: $cos(2theta)=(A-B)/sqrt(Delta)$
che si unisce alle prime due ovvero: $P+S=A+B$ e $P-S=sqrt(Delta)$
Per quest'ultima però è necessario un approfondimento affinché essa possa esprimere "l'angolo del semiasse maggiore che più si avvicina all'asse delle ascisse". Cioè dei quattro angoli in gioco ( uno per ciascun semiasse) vogliamo conoscere quello che si riferisce 1) a uno dei semiassi maggiori e 2) vogliamo che sia quello dei due angoli, tra loro intervallati di $pi$, che posiziona il suo semiasse il più vicino possibile all'asse delle ascisse.
Me ne occuperò dal prossimo post in poi.
Chi mi ha seguito fino a questo punto ha ora la soddisfazione di avere davanti tre equazioni semplicissime e maneggevolissime che consentono di risolvere il cosiddetto problema diretto.
Una volta chiuso bene questo argomento, si potrà affrontare e chiudere anche il problema inverso. Per intenderci quello che si pone quando, data una ellisse di cui conosciamo i semiassi e la pendenza angolare di uno di essi (poniamo il maggiore più vicino alle ascisse) si voglia ricavare il valore dell'ampiezza dei due oscillatori e la loro fase reciproca.
[size=150]Riassumo le tre equazioni fondamentali[/size]
Queste equazioni hanno il notevole pregio di essere semplici e maneggevoli. In particolare la terza ha l'ulteriore pregio di individuare univocamente l'angolo di pendenza "minimo" dell'asse maggiore rispetto alle ascisse. Ciò accade se si aggiunge la condizione procedurale seguente.
"Delle due determinazioni dell'arcocoseno si sceglie l'angolo positivo. Poi se $-90
Ma vi assicuro che funziona.
La prima cosa che si può vedere è che se uno sceglie $A=B$ non si genera "in genere" una degenerazione circolare. Perché ciò accada è necessario che anche $varphi$ sia uguale a$pm 90^°$.
In tal caso la terza equazione diviene del tipo $0/0$ cioè indeterminata. Il che è giusto poiché in un profilo circolare non ci sono massimi né minimi.
La seconda cosa è che il valore del coseno può essere $<0$ ma ciò non toglie che uno dei suoi due angoli sia positivo.
Alcuni esempi numerici: In quel che segue i simboli $A,B,P,S$ rappresentano i quadrati dei semiassi. Il simbolo $varphi$ l'angolo di fase in gradi. Il simbolo $Delta$ è $Delta = A^2+2ABcos(2varphi)+B^2$. Il simbolo $theta$ rappresenta la minima inclinazione di uno due semiassi maggiori, in gradi. Niente altro.
| INCOGNITE | DATI |
|---|---|
| $A+B$ | $P-S =$ |
Queste equazioni hanno il notevole pregio di essere semplici e maneggevoli. In particolare la terza ha l'ulteriore pregio di individuare univocamente l'angolo di pendenza "minimo" dell'asse maggiore rispetto alle ascisse. Ciò accade se si aggiunge la condizione procedurale seguente.
"Delle due determinazioni dell'arcocoseno si sceglie l'angolo positivo. Poi se $-90
Ma vi assicuro che funziona.
La prima cosa che si può vedere è che se uno sceglie $A=B$ non si genera "in genere" una degenerazione circolare. Perché ciò accada è necessario che anche $varphi$ sia uguale a$pm 90^°$.
In tal caso la terza equazione diviene del tipo $0/0$ cioè indeterminata. Il che è giusto poiché in un profilo circolare non ci sono massimi né minimi.
La seconda cosa è che il valore del coseno può essere $<0$ ma ciò non toglie che uno dei suoi due angoli sia positivo.
Alcuni esempi numerici: In quel che segue i simboli $A,B,P,S$ rappresentano i quadrati dei semiassi. Il simbolo $varphi$ l'angolo di fase in gradi. Il simbolo $Delta$ è $Delta = A^2+2ABcos(2varphi)+B^2$. Il simbolo $theta$ rappresenta la minima inclinazione di uno due semiassi maggiori, in gradi. Niente altro.
| $A$ | $B$ | $varphi$ | $sqrt(Delta)$ | $P $ | $S $ | $cos(2theta)$ | $theta $ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $4$ | $0$ | $13,000 $ | $13,000$ | $0,000$ | $0,384$ | $33,69$ | $9$ |
| $17$ | $12,517 $ | $12,758$ | $0,241$ | $0,399$ | $33,22$ | $9$ | $4$ |
| $12,517 $ | $12,758$ | $0,241$ | $0,399$ | $33,22$ | $9$ | $4$ | $45$ |
| $11,424$ | $1,575$ | $0,507$ | $29,74$ | $9$ | $4$ | $89$ | $5,004 $ |
| $3,997$ | $0,999$ | $1,19$ | $9$ | $4$ | $90$ | $5,000 $ | $9,000$ |
| $0,999$ | $0,00$ | $9$ | $4$ | $92$ | $5,017 $ | $9,008$ | $3,991$ |
| $-2,39$ | $9$ | $4$ | $100$ | $5,416 $ | $9,208$ | $3,791$ | $0,923$ |
| $9$ | $4$ | $130$ | $9,192 $ | $11,096$ | $1,903$ | $0,543$ | $-28,52$ |
| $9$ | $100$ | $5,416 $ | $9,208$ | $3,791$ | $-0,923$ | $-78,68$ | $4$ |
| $150$ | $11,532 $ | $12,266$ | $0,733$ | $-0,433$ | $-57,84$ | $4$ | $9$ |
[size=150] Adesso posso esporre bene la soluzione del problema inverso [/size]
Supponiamo di avere un'onda polarizzata ellitticamente risultante dalla composizione di due onde polarizzate linearmente, ortogonali tra loro e caratterizzate da una differenza di fase COSTANTE.
I suoi semiassi principali siano $p$ ed $s$.
Sia inoltre $theta$ l'angolo di pendenza del semiasse maggiore $p$ rispetto all'ascissa. Naturalmente la variabilità di $theta$ va da $-90^°$ a $+90^°$!
Vogliamo ricavare i valori delle ampiezze dei due oscillatori che la compongono.
Precisamente $a$ per l'oscillazione in ascissa e $b$ in ordinata.
Procederemo come segue. (Ricordiamo che $P=p^2; S=s^2;A=a^2;B=b^2$)
Le due equazioni seguenti derivano molto facilmente dal problema diretto.
Esse sono:
$A+B=P+S$ e poi $A-B = cos(2theta)*(P-S)$
Una volta trovati $A$ e $B$ ovvero $a$ e $b$ utilizzeremo la seguente equazione per trovare la fase.
$cos(varphi)=(P-A)/(ab*tan(theta))$
Questa equazione è stato il frutto di una elaborazione non banale che non riporto qui.
Una volta che abbiamo trovato il coseno sceglieremo una delle sue due determinazioni angolari in base al verso di rotazione del campo elettrico nell'ellisse. Precisamente la determinazione negativa se è antiorario e positiva se orario.
TUTTO QUI.
Adesso facciamo questo esercizio:
Il campo elettrico di un’onda piana linearmente polarizzata propagantesi secondo l’asse x forma un angolo di $23,5^°$ rispetto all’asse z di riferimento (che assumiamo come ascisse). Nell’incidere su una lastra di vetro si divide in una componente trasversa ortogonale al piano di incidenza (asse z) e in una parallela (asse y). Dato il valore del campo elettrico pari a 1,3 Volt/mt vogliamo sapere il campo elettrico trasverso, il campo elettrico parallelo e l’angolo di fase reciproco.
Soluzione
Nella simbolistica delle tre equazioni del problema inverso (vedi sopra ultimo post)
da cui si ottiene $A=1,4213$ $B=0,2687$ e quindi $a=1,19$ e $b=0,518$ e $varphi= 0$
Le due funzioni d’onda sono $E_z=1,19cos(u); E_y=0,518 cos(u+0)$ con $u = omega * t -k*x$
ok?
Il campo elettrico di un’onda piana linearmente polarizzata propagantesi secondo l’asse x forma un angolo di $23,5^°$ rispetto all’asse z di riferimento (che assumiamo come ascisse). Nell’incidere su una lastra di vetro si divide in una componente trasversa ortogonale al piano di incidenza (asse z) e in una parallela (asse y). Dato il valore del campo elettrico pari a 1,3 Volt/mt vogliamo sapere il campo elettrico trasverso, il campo elettrico parallelo e l’angolo di fase reciproco.
Soluzione
Nella simbolistica delle tre equazioni del problema inverso (vedi sopra ultimo post)
$P=1,69$ $S=0$ e $theta=23,5^(°)$
da cui si ottiene $A=1,4213$ $B=0,2687$ e quindi $a=1,19$ e $b=0,518$ e $varphi= 0$
Le due funzioni d’onda sono $E_z=1,19cos(u); E_y=0,518 cos(u+0)$ con $u = omega * t -k*x$
ok?
Un altro esercizio
Il campo elettrico di un’onda ellitticamente polarizzata che si propaga lungo l’asse x forma un angolo di $23,5^°$ rispetto all’asse z di riferimento (che assumiamo come ascisse). Nell’incidere su una lastra di vetro si divide in una componente trasversa linearmente polarizzata ortogonale al piano di incidenza (asse z) e in una parallela (asse y). Dato il valore del massimo campo elettrico pari a 1,3 Volt/mt e quello del minimo pari a 0,85 Volt/mt vogliamo sapere il campo elettrico trasverso, il campo elettrico parallelo e l’angolo di fase reciproco.
Soluzione
Utilizzando i simboli da me creati e le tre equazioni del problema inverso
si ottiene $cos(2theta)= 0,682; A=1,536; B =0,876 $ e quindi $a=1,239; b=0,936; cos(varphi)= 0,3049$
Questo coseno individua due angoli $+72,246^°$ e $ –72,246^°$ che non influiscono né sulla forma né sulla posizione dell’ellisse. Determinano solo il verso di rotazione del campo. Perciò se scegliamo il + avremo un’ellisse percorsa in senso orario e se il – in senso antiorario.
La coerenza è strabiliante. Infatti nel caso in cui il coseno è uguale a 1 (come nell’esercizio precedente) l’angolo vale zero. Né positivo né negativo perché in effetti un ellisse degenerata in segmento si può percorrere solo avanti e indietro e mai in senso orario o antiorario.
Se sappiamo che il verso è antiorario, le due funzioni d’onda sono $E_(z)=1,239cos(u); E_(y)=0,936 cos(u-72,246)$ con $ u = omega * t -K*x$
Il campo elettrico di un’onda ellitticamente polarizzata che si propaga lungo l’asse x forma un angolo di $23,5^°$ rispetto all’asse z di riferimento (che assumiamo come ascisse). Nell’incidere su una lastra di vetro si divide in una componente trasversa linearmente polarizzata ortogonale al piano di incidenza (asse z) e in una parallela (asse y). Dato il valore del massimo campo elettrico pari a 1,3 Volt/mt e quello del minimo pari a 0,85 Volt/mt vogliamo sapere il campo elettrico trasverso, il campo elettrico parallelo e l’angolo di fase reciproco.
Soluzione
Utilizzando i simboli da me creati e le tre equazioni del problema inverso
$P=1,69$ $ S=0,7225$ e $theta=23,5^°$
si ottiene $cos(2theta)= 0,682; A=1,536; B =0,876 $ e quindi $a=1,239; b=0,936; cos(varphi)= 0,3049$
Questo coseno individua due angoli $+72,246^°$ e $ –72,246^°$ che non influiscono né sulla forma né sulla posizione dell’ellisse. Determinano solo il verso di rotazione del campo. Perciò se scegliamo il + avremo un’ellisse percorsa in senso orario e se il – in senso antiorario.
La coerenza è strabiliante. Infatti nel caso in cui il coseno è uguale a 1 (come nell’esercizio precedente) l’angolo vale zero. Né positivo né negativo perché in effetti un ellisse degenerata in segmento si può percorrere solo avanti e indietro e mai in senso orario o antiorario.
Se sappiamo che il verso è antiorario, le due funzioni d’onda sono $E_(z)=1,239cos(u); E_(y)=0,936 cos(u-72,246)$ con $ u = omega * t -K*x$
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