Intensità campo gravitazionale terrestre

[Martinaina1]

Salve a tutti ho un dubbio con la seguente domanda :

L'intensità del campo gravitazionale terrestre a 200km di altezza com'è?
Risposta: è minore di circa il 6% rispetto all'intensità sulla superficie della terra.

Sapete spiegarmi perchè proprio il 6%? Quali sono i calcoli da fare?

Grazie mille

[Sk_Anonymous]

È semplice.

Detto $R$ il raggio terrestre, e detta $h$ l'altezza di $200 km$ sopra la superficie terrestre, hai che a livello del suolo:

$g_1 = GM/R^2$ .

Invece a $R+h$ si ha : $g_2 = GM/(R+h)^2$ .

La seconda è minore della prima:

$(g_1 - g_2)/g_1 = .....$ Puoi esprimere questo rapporto in funzione di $R$ ed $h$.

[Martinaina1]

"navigatore":È semplice.

Detto $R$ il raggio terrestre, e detta $h$ l'altezza di $200 km$ sopra la superficie terrestre, hai che a livello del suolo:

$g_1 = GM/R^2$ .

Invece a $R+h$ si ha : $g_2 = GM/(R+h)^2$ .

La seconda è minore della prima:

$(g_1 - g_2)/g_1 = .....$ Puoi esprimere questo rapporto in funzione di $R$ ed $h$.

Mi potresti dire perchè hai usato questo rapporto $(g_1 - g_2)/g_1 = .....$ ?
E perchè elimini la massa piccola m?

Ho bisogno di capire meglio...

Grazie

[Martinaina1]

"Martinaina":[quote="navigatore"]È semplice.

Detto $R$ il raggio terrestre, e detta $h$ l'altezza di $200 km$ sopra la superficie terrestre, hai che a livello del suolo:

$g_1 = GM/R^2$ .

Invece a $R+h$ si ha : $g_2 = GM/(R+h)^2$ .

La seconda è minore della prima:

$(g_1 - g_2)/g_1 = .....$ Puoi esprimere questo rapporto in funzione di $R$ ed $h$.

Mi potresti dire perchè hai usato questo rapporto $(g_1 - g_2)/g_1 = .....$ ?
Perchè elimini la massa piccola m?
Quindi l'intensità del campo gravitazionale è l'accelerazione di gravità?

Ho bisogno di capire meglio...

Grazie[/quote]

[FattiNonFoste]

In modo informale si può affermare che l'accelerazione di gravità cambia(ovvero diminuisce) man mano che ti allontani dal centro della terra.

Sai che ogni particella attrae un'altra particella con forza $Fg=\frac{G m1 *m2}{R^2} $

Considera la 2 legge della dinamica applicata ad un corpo di massa $m1$ sulla superficie terrestre

$m1*a=\frac{G M_{t} *m1}{R_t^2}$ e otterrai

$a=\frac{G M_{t} }{R_t^2}$ ovvero $g$(circa $9.81 m/s^2$ )


ora supponi che l'oggetto si trovi ad una quota h e sarà:

$m1*a'=\frac{G M_{t} *m1}{(R_t+h)^2}$ e otterrai

$a'=\frac{G M_{t} }{(R_t+h)^2}
sostituendo con i tuoi dati e mettendo in rapporto le 2 accelerazioni otterrai il risultato.

[Sk_Anonymous]

"Martinaina":
...............
Mi potresti dire perchè hai usato questo rapporto $(g_1 - g_2)/g_1 = .....$ ?
E perchè elimini la massa piccola m?

Ho bisogno di capire meglio...

Grazie

Certo Martina che ti posso spiegare meglio.

Innanzitutto : se per esempio una settimana fa le mele costavano $ c_1 = 2.85 (Euro)/(kg)$ , e oggi costano $c_2 = 2.80 (Euro)/(kg)$ , c'è stata una diminuzione assoluta di prezzo pari a : $c_1 - c_2 = 2.85 - 2.80 = 0.05 (Euro)/(kg)$ .
LA variazione percentuale si calcola rapportando la variazione assoluta di prezzo $(c_1 - c_2)$ al prezzo $c_1$ che aveva la scorsa settimana, cioè :

$(c_1 - c_2)/c_1 = 0.05/2.85 = 0.0175 = 1.75%$ . È chiaro questo discorso?

Lo stesso vale per il tuo problema.

Chiarisco prima questo, ma dovresti gia saperlo : il peso di un oggetto di massa $m$ sulla Terra non è altro che l'attrazione gravitazionale subita dall'oggetto da parte della Terra, che vale quindi : $P = mg = G (Mm)/D^2$ , dove $M$ è la massa della Terra e $D$ la distanza a cui si trova l'oggetto dal centro della Terra.
È chiaro che se $D = R = raggio terrestre$ vuol dire che l'oggetto è in prossimità della superficie terrestre. Se invece l'oggetto si trova a distanza $h$ sopra la Terra, la distanza sarà : $ D = R+h$, chiaro? Quindi a tale distanza la forza di attrazione gravitazionale, sullo stesso oggetto di massa $m$, sarà : $P = mg = G (Mm)/(R + h)^2$. Chiaro?

E questo è quanto ti ho scritto nel primo post, sottintendendo che si può "togliere $m$" per un motivo molto semplice: stiamo valutando l'attrazione gravitazionale sullo stesso oggetto, la cui massa non cambia. Cioe :

$P_1 = mg_1 = G(Mm)/R^2$

$P_2 = mg_2 = G (Mm)/(R+h)^2 $

Quindi la variazione percentuale della attr. grav. si calcola cosi : $ (P_1 - P_2)/P_1 = (m(g_1-g_2))/(mg_1) = (g_1-g_2)/g_1$

Vediamo quanto vale, tenendo presente che nel tuo caso: $h/R $ <<1, e quindi si possono fare semplificazioni nel calcolo:

$ g_1 - g_2 = GM(1/R^2 - 1/(R+h)^2) = GM(1/R^2 - 1/(R^2*(1+h/R)^2) ) = GM/R^2(1 - 1/(1+h/R)^2) $

Percio, sviluppando il quadrato al denominatore nell'ultimo termine al secondo membro e trascurando $(h/R)^2$ che è molto piccolo, si ha :

$(g_1 - g_2)/g_1 = 1 - 1/(1 + (2h)/R) = 1 - (1 - (2h)/R) = (2h)/R$ ( ho tenuto conto che $h/R$ <<1 anche qui) .

Nel tuo caso : $ (2h)/R = 2*200/6371 = 0.06278 = 6.278%$ c.v.d.

[Martinaina1]

"FattiNonFoste":In modo informale si può affermare che l'accelerazione di gravità cambia(ovvero diminuisce) man mano che ti allontani dal centro della terra.

Sai che ogni particella attrae un'altra particella con forza $Fg=\frac{G m1 *m2}{R^2} $

Considera la 2 legge della dinamica applicata ad un corpo di massa $m1$ sulla superficie terrestre

$m1*a=\frac{G M_{t} *m1}{R_t^2}$ e otterrai

$a=\frac{G M_{t} }{R_t^2}$ ovvero $g$(circa $9.81 m/s^2$ )


ora supponi che l'oggetto si trovi ad una quota h e sarà:

$m1*a'=\frac{G M_{t} *m1}{(R_t+h)^2}$ e otterrai

$a'=\frac{G M_{t} }{(R_t+h)^2}
sostituendo con i tuoi dati e mettendo in rapporto le 2 accelerazioni otterrai il risultato.

Grazie mille

[Sk_Anonymous]

Martina, solo per curiosità : hai letto quello che ti ho scritto?

[Martinaina1]

"navigatore":Martina, solo per curiosità : hai letto quello che ti ho scritto?

Siiiiii ti ringrazio sei stato chiarissimo come sempre...purtroppo ho letto solo ora la tua risposta, non so perchè prima nn la vedevo

Grazie di nuovo