Infinitesimi in Fisica
Ciao a tutti, volevo porre un interrogativo che mi attanaglia da troppo tempo.Ho studiato analisi sui libri marcellini sbordone (1-2) , ora devo affrontare alcuni esami di fisica ,e spesso mi ritrovo a maneggiare dx e dy come se fossero quantità vere e proprie..del tipo dx=dydz, e a risolvere integrali cn questi metodi,cosa che non facevamo nelle esercitazioni di analisi.
Ho l'impressione di un uso duale dei dx ,cm quantità e non quantità ,a piacimento della dimostrazione; ma alla fine il risultato si trova!! Spero di essermi spiegato,ringrazio anticipatamente chi voglia aiutarmi!! CIAO!!
Ho l'impressione di un uso duale dei dx ,cm quantità e non quantità ,a piacimento della dimostrazione; ma alla fine il risultato si trova!! Spero di essermi spiegato,ringrazio anticipatamente chi voglia aiutarmi!! CIAO!!
Risposte
Il fatto che gli infinitesimi "funzionino" non mi stupisce più di tanto, il concetto di derivata è nato molto prima di quello -formale- di limite e dunque questa invece che essere definita come il limite del rapporto incrementale era nata come il rapporto di grandezze infinitesime.
Detto questo è chiaro che con construzioni "ad hoc" si possa far vedere come il metodo sia poco rigoroso e contradditorio (personalmente in fisica lo ritengo utile in alcune applicazioni, certamente NON deve essere usato nelle equazioni differenziali e nell'analisi che studiamo: altrimenti che sono servite le fatiche del povero Weierstrass ??).
Ricordo inoltre che il concetto di infinitesimo viene ripreso e formalizzato in Analisi Non Standard.
Detto questo è chiaro che con construzioni "ad hoc" si possa far vedere come il metodo sia poco rigoroso e contradditorio (personalmente in fisica lo ritengo utile in alcune applicazioni, certamente NON deve essere usato nelle equazioni differenziali e nell'analisi che studiamo: altrimenti che sono servite le fatiche del povero Weierstrass ??).
Ricordo inoltre che il concetto di infinitesimo viene ripreso e formalizzato in Analisi Non Standard.
non ponetevi troppi problema ed provate ad affrontare gli esami di fisica generale con uno studio il più pragmatico possibile.. per il formalismo in fisica ci sarà tempo (sto pensando alla bellissima meccanica analitica!)
"5mrkv":
A me è tornato utile il Pagani-Salsa.
Quello è un libro di analisi, se non sbaglio. Io cercavo invece (semmai esiste) proprio un testo di fisica impostato un po' più rigorosamente dal punto di vista matematico.
"Francesco71":
[quote="5mrkv"]A me è tornato utile il Pagani-Salsa.
Quello è un libro di analisi, se non sbaglio. Io cercavo invece (semmai esiste) proprio un testo di fisica impostato un po' più rigorosamente dal punto di vista matematico.[/quote]dissonance ha citato Arnold, per la parte di meccanica razionale puoi dare un'occhiata al suo libro. Io l'ho solamente sfogliato e letto due cose che mi interessavano (vorrei usarlo ma non ho tempo) quindi chiedi opinioni di altri, ti posso dire però che il Landau-Lifsits ed il Goldstein non mi sono sembrati il massimo (dal punto di vista del rigore).
Riusciranno i matematici a far estinguere gli oranghi? Io da animalista spero di no... 
"5mrkv":
il Landau-Lifsits ed il Goldstein non mi sono sembrati il massimo (dal punto di vista del rigore).
Comunque sono due gran bei testi di fisica. Il Landau-Lifshitz poi ha anche un certo rispetto per la matematica, pur non essendo certo un libro di matematica. Penso siano classici che un fisico si terrebbe sul comodino.
Comunque, a parte questo, qualche tempo fa ho scoperto un bellissimo libro dedicato proprio alla formalizzazione geometrica della fisica moderna: The Geometry of Physics di Frankel.
Le cose dovrebbero stare circa in questo modo. leggendo un pò di storia della matematica, ed in particolare dell'analisi, si apprende che tale branca ha subito numerosi cambiamenti nel tempo. L'analisi matematica è nata sostanzialmente per risolvere il problema della determinazione dell'equazione della retta tangente ad una curva data sotto forma di equazione. Molti si cimentarono nella risoluzione di questo problema, e l'algoritmo più generale fu fornito da Leibniz ricorrendo all'uso delle quantità infintesime (di cui se ne faceva uso già prima). Con Leibniz nasce il calcolo infinitesimale, che fu applicato con successo alla fisica. Intorno al 1700 gli studi sulla meccanica, termodinamica ecc progrediscono notevolmente e la fisica viene formulata servendosi della matematica più usata all'epoca, e cioé quella di leibniz. Intorno all'800 si assistette ad una revisione dei principi del calcolo infinitesimale, e furono abolite le quantità infinitamente piccole poiché esse non avevano basi rigorose (ora non so di preciso). Intorno al 1800 l'analisi fu rivoluzionata da Cauchy, Weierstrass ecc. e fu riformulata basdandosi sul più rigoroso concetto di limite, ancora presente ai giorni nostri. Tuttavia i capitoli già scritti della fisica non furono revisionati sostituendo la vecchia matematica basata sugli infinitesimi con quella nuova basata sui limiti, ed è più o meno rimasta cosi tutt'oggi. Quindi quando leggiamo un testo di fisica elementare, per non inciampare dobbiamo partire dal presupposto che si sta usando ancora il vecchio calcolo alla maniera di leibniz e regolarsi di conseguenza. Bisogna quindi andare su google libri e leggersi un libro di calcolo infinitesimale "pre riforma", cioé ancora basato sugli infinitesimi. Solo cosi si capiranno i ragionamenti fisici.
"lisdap":
Le cose dovrebbero stare circa in questo modo. leggendo un pò di storia della matematica, ed in particolare dell'analisi, si apprende che tale branca ha subito numerosi cambiamenti nel tempo. L'analisi matematica è nata sostanzialmente per risolvere il problema della determinazione dell'equazione della retta tangente ad una curva data sotto forma di equazione. Molti si cimentarono nella risoluzione di questo problema, e l'algoritmo più generale fu fornito da Leibniz ricorrendo all'uso delle quantità infintesime (di cui se ne faceva uso già prima). Con Leibniz nasce il calcolo infinitesimale, che fu applicato con successo alla fisica. Intorno al 1700 gli studi sulla meccanica, termodinamica ecc progrediscono notevolmente e la fisica viene formulata servendosi della matematica più usata all'epoca, e cioé quella di leibniz. Intorno all'800 si assistette ad una revisione dei principi del calcolo infinitesimale, e furono abolite le quantità infinitamente piccole poiché esse non avevano basi rigorose (ora non so di preciso). Intorno al 1800 l'analisi fu rivoluzionata da Cauchy, Weierstrass ecc. e fu riformulata basdandosi sul più rigoroso concetto di limite, ancora presente ai giorni nostri. Tuttavia i capitoli già scritti della fisica non furono revisionati sostituendo la vecchia matematica basata sugli infinitesimi con quella nuova basata sui limiti, ed è più o meno rimasta cosi tutt'oggi. Quindi quando leggiamo un testo di fisica elementare, per non inciampare dobbiamo partire dal presupposto che si sta usando ancora il vecchio calcolo alla maniera di leibniz e regolarsi di conseguenza. Bisogna quindi andare su google libri e leggersi un libro di calcolo infinitesimale "pre riforma", cioé ancora basato sugli infinitesimi. Solo cosi si capiranno i ragionamenti fisici.
È come dire che per imparare ad usare ago e filo sia necessario condurre uno stile di vita come quello dell'epoca precedente le macchine da cucire.
Praticamente tutto quello che si trova scritto su un testo di fisica si può rendere formale col dovuto impegno, aumentando notevolmente la superficie di carta richiesta per effettuare i calcoli. E se si rinuncia al sadismo e si prova a farlo coi casi più semplici, ci se ne può convincere facilmente dando per buono che i casi più complessi non siano poi tanto più illegittimi. L'unico vero "salto di fede" lo si fa supponendo che tutte le ipotesi dei teoremi matematici che si applicano nei vari passaggi siano verificate[nota]D'altronde a meno che il moto da studiare non sia quello di una moto che va a schiantarsi contro un grattacielo, non mi sembra irrealistico pensare che una legge oraria sia differenziabile, né che non lo sia la funzione che descrive la temperatura di un gas perfetto nei termini di pressione e volume; tanto per fare degli esempi.[/nota], ed i dati sperimentali sembrano verificare questa cosa (e meno male; questo significa nient'altro che il modello matematico scelto per descrivere il fenomeno è adatto). Sistemare formalmente questo "salto" sarebbe un filo (sarcasmo) più difficile, ma dubito sia questo il problema che si pone chi si fa scrupoli con gli infinitesimi che saltano fuori nelle applicazioni.
Tirando le somme, il mio consiglio è quello di provare a sistemare formalmente un paio di passaggi "loschi" presi da un testo qualsiasi, capire così come vanno le cose ed abituarsi ad usare per le applicazioni la notazione stringata (diciamo così) tipica delle applicazioni (sembro Sartre) per i vantaggi che comporta in quegli ambiti, consci di come stiano andando le cose.
[xdom="gugo82"]@ lisdap: Continuare a inondare il forum di post del genere è totalmente inutile.
Quello che hai da dire, se hai qualcosa di sensato da dire ancora[nota]Non come emerite boiate tipo:
Ci auguriamo di non trovare più tuoi post "fuori posto"; altrimenti dovremmo prendere provvedimenti.[/xdom]
Quello che hai da dire, se hai qualcosa di sensato da dire ancora[nota]Non come emerite boiate tipo:
Tuttavia i capitoli già scritti della fisica non furono revisionati sostituendo la vecchia matematica basata sugli infinitesimi con quella nuova basata sui limiti, ed è più o meno rimasta cosi tutt'oggi.[/nota], dillo in un unico thread.
Ci auguriamo di non trovare più tuoi post "fuori posto"; altrimenti dovremmo prendere provvedimenti.[/xdom]
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