Infinitesimi in Fisica
Ciao a tutti, volevo porre un interrogativo che mi attanaglia da troppo tempo.Ho studiato analisi sui libri marcellini sbordone (1-2) , ora devo affrontare alcuni esami di fisica ,e spesso mi ritrovo a maneggiare dx e dy come se fossero quantità vere e proprie..del tipo dx=dydz, e a risolvere integrali cn questi metodi,cosa che non facevamo nelle esercitazioni di analisi.
Ho l'impressione di un uso duale dei dx ,cm quantità e non quantità ,a piacimento della dimostrazione; ma alla fine il risultato si trova!! Spero di essermi spiegato,ringrazio anticipatamente chi voglia aiutarmi!! CIAO!!
Ho l'impressione di un uso duale dei dx ,cm quantità e non quantità ,a piacimento della dimostrazione; ma alla fine il risultato si trova!! Spero di essermi spiegato,ringrazio anticipatamente chi voglia aiutarmi!! CIAO!!
Risposte
Non basarti unicamente su ciò che ti dico, ma dal momento che anche io avevo dubbi di questo genere ho chiesto al mio docente e lui mi ha risposto dicendomi che con il simbolo $d_x/d_t$ ,per esempio, indichiamo la derivata della funzione $x$rispetto al parametro $t$. Tuttavia vi è un teorema(dimostrato ovviamente) il quale afferma che qualora la funzione da derivare ($x$ nel nostro caso) dipendesse soltanto dal parametro per cui stiamo derivando, le due quantità $d_x$ e$d_t$ possono essere trattate come se rappresentassero un rapporto; quindi, solo in questo caso, è lecito fare su di esse le comuni operazioni algebriche.
Non ho ancora una cultura a riguardo quindi mi limito a dirti ciò che mi è stato detto, che tuttavia sembra ragionevole come cosa
Non ho ancora una cultura a riguardo quindi mi limito a dirti ciò che mi è stato detto, che tuttavia sembra ragionevole come cosa
"Giffone":
Ciao a tutti, volevo porre un interrogativo che mi attanaglia da troppo tempo
Non dirlo a me, è da tempo che ci sbatto la testa e ancora non ne sono venuto a capo...
Comunque, tornando al discorso che facevo io, la cosa dovrebbe essere stata formalizzata da Leibniz. Ho trovato qualcosa in rete ( http://it.wikipedia.org/wiki/Infinitesi ... di_Leibniz ad un certo punto dice :" Per gli infinitesimi valgono le ordinarie regole dell'algebra.") ma ancora nulla di completo....
"Slashino":
Tuttavia vi è un teorema(dimostrato ovviamente)[...]
Non c'è nessun teorema su questo argomento, il docente si sta arrampicando sugli specchi. Matematicamente parlando \(dx, dy\) e simili non hanno senso, per come sono utilizzati in fisica e negli argomenti tecnici. Ci sono teorie matematiche rigorose che descrivono simboli simili, ma questo uso degli "infinitesimi" è esclusivamente euristico e non basato su teoremi dimostrati. Però funziona. Ecco ad esempio cosa ne pensa Zeidler (tratto dall'introduzione di Applied functional analysis volume I) :
Experience shows that, generally, the calculi used by physicists possess the advantage of working on their own and leading very quickly to the desired results at least on a heuristic level. Therefore it is useful to learn both the language of physicists and the language of mathematicians.
Evidentemente ricordavo male io..grazie comunque...
Sentire che anche altri hanno avuto queste difficoltà mi fa sentire un pò meglio 
, a volte pensavo di non aver capito nulla dell'analisi(ogni tanto lo ripenso 
)..ora sto trattando la parte del campo elettrico, e quando cerca di calcolare il vettore relativo ,generato da una distribuzione continua di cariche, se ne escono con espressioni del tipo dx=cos\(\displaystyle \beta \)dy ...purtroppo mi viene difficile convincermi che siano esatti e andare avanti.
Al corso di analisi ci hanno sempre insegnato che dx ,dy erano simboli anche se cmq possono avere una determinata interpretazione,ma c'è differenza tra interpretazione intuitiva e formalismo dimostrativo.
PS sul mencuccini (fisica 2), mi so ritrovato a leggere una dimostrazione del teorema della divergenza con questi metodi qua. O.o
, a volte pensavo di non aver capito nulla dell'analisi(ogni tanto lo ripenso )..ora sto trattando la parte del campo elettrico, e quando cerca di calcolare il vettore relativo ,generato da una distribuzione continua di cariche, se ne escono con espressioni del tipo dx=cos\(\displaystyle \beta \)dy ...purtroppo mi viene difficile convincermi che siano esatti e andare avanti. Al corso di analisi ci hanno sempre insegnato che dx ,dy erano simboli anche se cmq possono avere una determinata interpretazione,ma c'è differenza tra interpretazione intuitiva e formalismo dimostrativo.
PS sul mencuccini (fisica 2), mi so ritrovato a leggere una dimostrazione del teorema della divergenza con questi metodi qua. O.o
Ciao, rispecchi perfettamente il mio pensiero. Anche io ci ho sbattuto parecchio la testa, senza essere giunto a verità certe. Il fatto che questi procedimenti funzionino è già un buon punto di partenza; tuttavia, penso che i matematici, se non l'hanno già fatto, debbano assolutamente cercare di giustificare in maniera rigorosa questa teoria usata dai fisici, così siamo tutti più tranquilli:-D.
Vuoi sapere che regalo vorrei dai matematici? Solo questo, e cioè che diano un senso a questi metodi usati dai fisici.
Vuoi sapere che regalo vorrei dai matematici? Solo questo, e cioè che diano un senso a questi metodi usati dai fisici.
"Giffone":
Ora sto trattando la parte del campo elettrico, e quando cerca di calcolare il vettore relativo ,generato da una distribuzione continua di cariche, se ne escono con espressioni del tipo $[dx=cosbetady]$...purtroppo mi viene difficile convincermi che siano esatti e andare avanti.
Potresti riportare l'esempio in questione?
"lisdap":
Ciao, rispecchi perfettamente il mio pensiero. Anche io ci ho sbattuto parecchio la testa, senza essere giunto a verità certe. Il fatto che questi procedimenti funzionino è già un buon punto di partenza; tuttavia, penso che i matematici, se non l'hanno già fatto, debbano assolutamente cercare di giustificare in maniera rigorosa questa teoria usata dai fisici, così siamo tutti più tranquilli:-D.
Vuoi sapere che regalo vorrei dai matematici? Solo questo, e cioè che diano un senso a questi metodi usati dai fisici.
Vabbè non esageriamo però: nella stragrande maggioranza dei casi la trattazione con i $dx$, si può vedere abbastanza facilmente essere equivalente ad una trattazione matematica un po' più rigorosa, a parte qualche "sfumatura".
A titolo di esempio leggi questo vecchio topic, la cui soluzione più rigorosa trovi qui (sarebbe meglio leggere direttamente il documento di Fioravante a cui faccio riferimento lì, ma il link non sembra più valido).
Come vedi l'argomento è molto ricorrente!
Sullo stesso tema può essere interessante la critica di Fioravante (dovrei dire Prof. Patrone, ma nel forum ci si dà tutti del tu
) sulla critica e le note all'uso, come dice lui scimmiesco, dei $dx$ nella risoluzione di equazioni differenziali a variabili separabili (se cerchi metodo Urang Utang dovresti trovare facilmente qualcosa).Per le dimostrazioni del teorema del flusso e della divergenza e della circuitazione e del rotore (non ricordo i nomi esatti, ma ci siamo capiti spero) non rigoroso che molti libri di Fisica danno, io li trovo, a dire il vero, molto istruttivi e utili dal punto di vista prettamente fisico.
Per altri dubbi specifici sui $dx$ chiedi pure qui, qualcuno risponderà, trovo non accettabile il "mi viene difficile convincermi che siano esatti e andare avanti." di Giffone: che sui libri di fisica ci ci siano a volte passaggi matematici non rigorosi siamo d'accordo, ma che non siano convincenti, nel contesto in cui si svolgono, mi pare impossibile (a parte rari casi).
"Faussone":
che sui libri di fisica ci ci siano a volte passaggi matematici non rigorosi siamo d'accordo, ma che non siano convincenti, nel contesto in cui si svolgono, mi pare impossibile (a parte rari casi).
Sono perfettamente d'accordo.
A dire il vero io non trovo nessuna difficoltà a interpretare i passaggi nei quali i fisici usano "disinvoltamente" i differenziali.
Io faccio il seguente ragionamento. Mi immagino che i dx e i dy siano quantità finite, cioè li assimilo a dei $\Deltax, \Deltay$ e poi vado avanti col ragionamento fino a capire cosa salta fuori dal punto di vista fisico dal calcolo approssimato che ne consegue. E con quantità finite nessuno ha difficoltà ad applicare le comuni regole dell'algebra, no? Così facendo dal calcolo vengono fuori ad esempio un "circa rotore" o una "circa divergenza" che mi convincono perché è come se li vedessi, come se li toccassi con mano. E d'altra parte se volessi calcolare il valore (approssimato) di queste funzioni con un PC che farei? prenderei un foglio excel, metterei delle colonne chiamte dx, dy, eccetera a cui dovrei dare un valore, che sceglierei pertanto abbastanza "piccolo" da dare risultati con una approssimazione sufficiente ai miei scopi, calcolerei i valori progressivi della funzione con una formula algebrica e poi me la guarderei in un grafico.
Robaccia poco da matematici e molto da grezzi ingegneri? mah, io credo che se un ragionamento dà serenità mentale tale da consentire di proseguire nei ragionamenti senza dover inciampare ogni momento in qualche dx, non sia mai robaccia.
Il fatto di trattare le derivate come rapporto di semplici quantità infinitesime e di integrare in modo scorretto è diffuso anche nei libri di duecento anni fa. Ad esempio, date un'occhiata alla fine di pagina 15 di questo libro di fisica pescato da google libri:
http://books.google.it/books?id=EQ05AAA ... &q&f=false
Penso che sia interessante ed altamente formativo dare uno sguardo ad un libro di Analisi dell'epoca e coglierne le differenze rispetto ai testi "moderni". Per caso avete qualche titolo importante?
Grazie.
http://books.google.it/books?id=EQ05AAA ... &q&f=false
Penso che sia interessante ed altamente formativo dare uno sguardo ad un libro di Analisi dell'epoca e coglierne le differenze rispetto ai testi "moderni". Per caso avete qualche titolo importante?
Grazie.
"Falco5x":
Robaccia poco da matematici e molto da grezzi ingegneri? mah, io credo che se un ragionamento dà serenità mentale tale da consentire di proseguire nei ragionamenti senza dover inciampare ogni momento in qualche dx, non sia mai robaccia.
Condivido il tuo discorso. La mia ostinazione sta semplicemente nel capire perchè quei passaggi funzionano. E' curioso che si possa risolvere un integrale di superficie in due passaggi e ottenere lo stesso risultato corretto che si otterrebbe mediante calcoli molto più complicati e laboriosi, no?
Visto l'uso molto così diffuso di tecniche di questo tipo, non mi resta da pensare che la vecchia Analisi, fatta di "infinitesimi", "somme di piccoli contributi", "rapporto fra due cose molto piccole" sia l'Analisi per eccellenza, creata per risolvere problemi pratici di natura fisica.
Se io vado da un fisico e gli parlo da matematico, costui mi riderà in faccia; se vado da un matematico e gli parlerò da fisico, costui non capirà. Però, sia i calcoli che fa il fisico, sia quelli che fa il matematico, portano allo stesso risultato.
Mettiamoci d'accordo
"lisdap":
[quote="Falco5x"]
Robaccia poco da matematici e molto da grezzi ingegneri? mah, io credo che se un ragionamento dà serenità mentale tale da consentire di proseguire nei ragionamenti senza dover inciampare ogni momento in qualche dx, non sia mai robaccia.
Condivido il tuo discorso. La mia ostinazione sta semplicemente nel capire perchè quei passaggi funzionano. E' curioso che si possa risolvere un integrale di superficie in due passaggi e ottenere lo stesso risultato corretto che si otterrebbe mediante calcoli molto più complicati e laboriosi, no?
Visto l'uso molto così diffuso di tecniche di questo tipo, non mi resta da pensare che la vecchia Analisi, fatta di "infinitesimi", "somme di piccoli contributi", "rapporto fra due cose molto piccole" sia l'Analisi per eccellenza, creata per risolvere problemi pratici di natura fisica.
Se io vado da un fisico e gli parlo da matematico, costui mi riderà in faccia; se vado da un matematico e gli parlerò da fisico, costui non capirà. Però, sia i calcoli che fa il fisico, sia quelli che fa il matematico, portano allo stesso risultato.
Mettiamoci d'accordo
[/quote]Detto tra noi... ho la sensazione che i matematici nel continuare a ritoccare e sviluppare le proprie costruzioni in cerca della perfezione formale abbiano perso il contatto con la concretezza dei problemi che all'inizio hanno stimolato proprio la nascita di quelle costruzioni.
La matematica rivendica la propria dignità di scienza indipendente, e questo va bene altrimenti il progresso del pensiero matematico si ferma. Però quando si ragiona con concetti nati da esigenze fisiche abbastanza concrete e tangibili bisognerebbe scendere dall'otto volante e mettere i piedi a terra altrimenti ci si disorienta soltanto. E qui mi fermo per carità, ho detto anche troppo e non voglio fare la fine di Giordano Bruno; l'inquisizione matematica ha occhi e orecchie dappertutto.
"Falco5x":Certa matematica ha fatto (e purtroppo continua a fare) anche questo, si. Al riguardo c'è una interessante opinione di Arnol'd (un grosso nome della matematica russa recentemente scomparso):
Detto tra noi... ho la sensazione che i matematici nel continuare a ritoccare e sviluppare le proprie costruzioni in cerca della perfezione formale abbiano perso il contatto con la concretezza dei problemi che all'inizio hanno stimolato proprio la nascita di quelle costruzioni.
http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
D'altra parte la teoria basata sugli infinitesimi "alla Leibniz" è troppo scivolosa dal punto di vista logico per poter essere adottata in matematica. Tutti i progressi moderni dell'analisi e della geometria differenziale sarebbero impensabili senza la revisione del sistema dei numeri reali operata da Weierstrass e compagni. Quindi il metodo matematico serve. Inoltre non è vero che tutti i matematici abbiano perso il contatto con la concretezza dei problemi. Infatti è possibile coniugare le due esigenze del rigore formale e dell'efficacia dei metodi, e anzi molti matematici lo fanno. Purtroppo non è una impresa facile, e i mediocri di entrambi i partiti preferiranno rifugiarsi nei propri cliché invece che cercare di venire incontro alle richieste provenienti dagli altri settori.
Questo è spesso il problema, anche a livello didattico. Non ci sarebbe tutta questa confusione se i professori di matematica spendessero un paio di parole sui metodi della fisica e se, di converso, i professori di fisica e di tecnologia almeno accennassero alla riformulazione rigorosa delle loro tecniche. Ma non è facile farlo, ed è tanto più rassicurante restare nei propri quartieri chiusi a tenuta stagna dal resto del mondo.
Questo è spesso il problema, anche a livello didattico. Non ci sarebbe tutta questa confusione se i professori di matematica spendessero un paio di parole sui metodi della fisica e se, di converso, i professori di fisica e di tecnologia almeno accennassero alla riformulazione rigorosa delle loro tecniche. Ma non è facile farlo, ed è tanto più rassicurante restare nei propri quartieri chiusi a tenuta stagna dal resto del mondo.
Hai perfettamente ragione, basterebbe che i professori mostrassero questi 2 modi di ragionamento ,e evidenziare le varie analogie. Anzi, dovrebbe essere un compito principalmente dei docenti di Analisi (parlo da studente di matematica),infatti al corso di fisica 1 ,ricordo la faccia allibita di noi studenti quando il prof. fece il seguente passaggio:
\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt} \Rightarrow dx=vdt \) poi cominciava a integrare...
"Giffone":Questo è spesso il problema, anche a livello didattico. Non ci sarebbe tutta questa confusione se i professori di matematica spendessero un paio di parole sui metodi della fisica e se, di converso, i professori di fisica e di tecnologia almeno accennassero alla riformulazione rigorosa delle loro tecniche. Ma non è facile farlo, ed è tanto più rassicurante restare nei propri quartieri chiusi a tenuta stagna dal resto del mondo.
\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt} \Rightarrow dx=vdt \) poi cominciava a integrare...
Io quando ho visto questo passaggio per la prima volta, cosi semplice e veloce ho pensato, tra me e me: "ora si che ho capito davvero l'analisi". Poi, anche grazie all'aiuto del forum, mi sono dovuto smentire e mi sono messo sulla buona strada..
"Giffone":Questo è spesso il problema, anche a livello didattico. Non ci sarebbe tutta questa confusione se i professori di matematica spendessero un paio di parole sui metodi della fisica e se, di converso, i professori di fisica e di tecnologia almeno accennassero alla riformulazione rigorosa delle loro tecniche. Ma non è facile farlo, ed è tanto più rassicurante restare nei propri quartieri chiusi a tenuta stagna dal resto del mondo.
Hai perfettamente ragione, basterebbe che i professori mostrassero questi 2 modi di ragionamento ,e evidenziare le varie analogie. Anzi, dovrebbe essere un compito principalmente dei docenti di Analisi (parlo da studente di matematica),infatti al corso di fisica 1 ,ricordo la faccia allibita di noi studenti quando il prof. fece il seguente passaggio:
\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt} \Rightarrow dx=vdt \) poi cominciava a integrare...
Se in un foglio excel ho una colonna che riporta i valori della funzione spazio e a fianco su altra colonna i corrisponenti valori di tempo, per trovare il valore della velocità in corrispondenza di ciascun valore di tempo divido il delta spazio per il delta tempo. Come dire che faccio delle divisioni tra delta spazi e delta tempi.
Viceversa se in una colonna ho i valori della velocità e a fianco su altra colonna i corrisponenti valori di tempo, per trovare il contributo di spazio percorso in ogni intervallo di tempo moltiplico il valore della velocità per il delta tempo, e poi sommando tutti i contributi di spazio così trovati trovo i corrispondenti valori della funzione spazio. Come dire che faccio la somma di tante moltiplicazioni di velocità per delta tempi.
Beh? dove sta lo scandalo?
Omnia munda mundis, come diceva quel tale...
Lo scandalo sta nel fatto che nei corsi di analisi ti insegna o l"'italiano", nei corsi di fisica si parla "dialetto" ,cmq a parte gli scherzi, se la teoria di leibniz è stata abbandonata ci saranno i suoi motivi , e in fisica se non sbaglio sono quelli i ragionamenti che si utilizzano;appena posso carico qualche esempio che ho trovato sul libro e vi mostro i miei dubbi.
,cmq a parte gli scherzi, se la teoria di leibniz è stata abbandonata ci saranno i suoi motivi , e in fisica se non sbaglio sono quelli i ragionamenti che si utilizzano;appena posso carico qualche esempio che ho trovato sul libro e vi mostro i miei dubbi.
Ma esiste un testo di fisica per università non dico rigoroso da un punto di vista matematico, ma almeno impostato meglio? Ai miei tempi ho studiato sul Bonicontro e ho sofferto moltissimo l'uso super disinvolto dell'analisi. Infatti fu il mio esame peggiore 
A me è tornato utile il Pagani-Salsa. Mi sembra di avere visto una cosa del tipo, se una funzione di una variabile è derivabile allora è anche differenziabile e vale l'espressione (probabilmente la derivabilità deve valere sia a destra che a sinistra)
\[
\begin{split}
f(x+h)-f(x)&=h f'(x)+o(|h|) \\
f(x+h)-f(x)&=df(x)+o(|h|) \\
\end{split}
\]
per \(h \rightarrow 0\), così viene definito il differenziale. Quando la funzione prende la forma \(g(x)=x\) si ha \(dg(x)=dx=h\) e quindi
\[
\frac{df(x)}{dx}=\frac{hf'(x)}{h}=f'(x)
\]
Così hanno senso tutte le derivazioni. Per quanto riguarda gli infinitesimi io li ignoro. Faccio riferimento al significato della formula finale o considero delle grandezze finite \(\delta x=x-x_{0}\) che nel limite per \(x\rightarrow x_{0}\) vanno a definire una derivata (il limite del rapporto incrementale) \(\delta f /\delta x=f'(x)=df/dx\) come sopra.
\[
\begin{split}
f(x+h)-f(x)&=h f'(x)+o(|h|) \\
f(x+h)-f(x)&=df(x)+o(|h|) \\
\end{split}
\]
per \(h \rightarrow 0\), così viene definito il differenziale. Quando la funzione prende la forma \(g(x)=x\) si ha \(dg(x)=dx=h\) e quindi
\[
\frac{df(x)}{dx}=\frac{hf'(x)}{h}=f'(x)
\]
Così hanno senso tutte le derivazioni. Per quanto riguarda gli infinitesimi io li ignoro. Faccio riferimento al significato della formula finale o considero delle grandezze finite \(\delta x=x-x_{0}\) che nel limite per \(x\rightarrow x_{0}\) vanno a definire una derivata (il limite del rapporto incrementale) \(\delta f /\delta x=f'(x)=df/dx\) come sopra.
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