Induttanza di una linea di trasmissione a piattina
Buongiorno a tutti.
Mi sono trovato oggi di fronte ad un esercizio, che, nonostante vari tentativi, non sono riuscito a risolvere...
Il testo è il seguente:
"Calcolare l’induttanza per unità di lunghezza di una linea di trasmissione a piattina, costituita da due conduttori cilindrici di raggio \(\displaystyle a = 0.25 mm \) e posti a distanza (interasse) \(\displaystyle d = 5 mm \). Un filo viene usato come conduttore di andata e l’altro come conduttore di ritorno. Si ipotizzi che la corrente scorra interamente sulla superficie dei due conduttori."
La soluzione dovrebbe essere: \(\displaystyle L=\frac{\mu _{0}}{\pi }ln\frac{d-a}{a} \)
Io avevo pensato di risolverlo così: ho fatto innzanzitutto lo schema che allego a questo post.
Ho poi considerato, per Biot-Savart (all'interno dei conduttori il campo è nullo, non scorrendo corrente), che il campo generato dal conduttore 1 è: \(\displaystyle \frac{\mu _{0}I}{2\pi r} \), con r distanza dal centro del primo conduttore.
Il campo generato dal secondo, ragionando sempre sullo schema, mi è risultato pari a \(\displaystyle \frac{\mu _{0}I}{2\pi (d-r)} \).
Il campo magnetico totale quindi è dato dalla somma dei due campi magnetici che dicevo prima (scorrendo le due correnti in senso opposto) e risulta essere: \(\displaystyle \frac{\mu _{0}Id}{2\pi r(d-r)} \), se ho fatto bene i calcoli. Il campo sarà inoltre non nullo, sempre se ho fatto bene i calcoli, per \(\displaystyle a
Quindi \(\displaystyle L=\frac{2W}{I^{2}} \).
Ho quindi cercato di determinare \(\displaystyle W \) come \(\displaystyle W=\int wdV=\int \frac{1}{2}\frac{B^{2}}{\mu_{0}}dV \)
Mi trovo però in difficoltà nel calcolo di \(\displaystyle W \), e probabilmente è la stessa difficoltà che ho nel caso del calcolo di L mediante flusso del campo magnetico: non riesco a capire su quale volume integrare la densità di energia!
Integro sul volume interno tra i due cilindri, dove ho campo non nullo? Integro su un volume cilindrico con r che varia tra \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle d-a \)?
Grazie mille in anticipo!
Mi sono trovato oggi di fronte ad un esercizio, che, nonostante vari tentativi, non sono riuscito a risolvere...
Il testo è il seguente:
"Calcolare l’induttanza per unità di lunghezza di una linea di trasmissione a piattina, costituita da due conduttori cilindrici di raggio \(\displaystyle a = 0.25 mm \) e posti a distanza (interasse) \(\displaystyle d = 5 mm \). Un filo viene usato come conduttore di andata e l’altro come conduttore di ritorno. Si ipotizzi che la corrente scorra interamente sulla superficie dei due conduttori."
La soluzione dovrebbe essere: \(\displaystyle L=\frac{\mu _{0}}{\pi }ln\frac{d-a}{a} \)
Io avevo pensato di risolverlo così: ho fatto innzanzitutto lo schema che allego a questo post.
Ho poi considerato, per Biot-Savart (all'interno dei conduttori il campo è nullo, non scorrendo corrente), che il campo generato dal conduttore 1 è: \(\displaystyle \frac{\mu _{0}I}{2\pi r} \), con r distanza dal centro del primo conduttore.
Il campo generato dal secondo, ragionando sempre sullo schema, mi è risultato pari a \(\displaystyle \frac{\mu _{0}I}{2\pi (d-r)} \).
Il campo magnetico totale quindi è dato dalla somma dei due campi magnetici che dicevo prima (scorrendo le due correnti in senso opposto) e risulta essere: \(\displaystyle \frac{\mu _{0}Id}{2\pi r(d-r)} \), se ho fatto bene i calcoli. Il campo sarà inoltre non nullo, sempre se ho fatto bene i calcoli, per \(\displaystyle a
Quindi \(\displaystyle L=\frac{2W}{I^{2}} \).
Ho quindi cercato di determinare \(\displaystyle W \) come \(\displaystyle W=\int wdV=\int \frac{1}{2}\frac{B^{2}}{\mu_{0}}dV \)
Mi trovo però in difficoltà nel calcolo di \(\displaystyle W \), e probabilmente è la stessa difficoltà che ho nel caso del calcolo di L mediante flusso del campo magnetico: non riesco a capire su quale volume integrare la densità di energia!
Integro sul volume interno tra i due cilindri, dove ho campo non nullo? Integro su un volume cilindrico con r che varia tra \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle d-a \)?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Mi ero dimenticato di allegare lo schema! Scusatemi! Lo allego ora!
Forse sono riuscito a capire come si potrebbe fare!
Avevo innanzitutto fatto un errore (notato ora): la distanza non è tra le superifici dei cilindri, ma è tra gli assi dei due cilindri.
Ho poi considerato i due fili separatamente invece che in contemporanea, e considerato come volume un cilindro concentrico al conduttore, anch'esso lungo \(\displaystyle l \).
Utilizzando il metodo "energetico" (ricavando cioè \(\displaystyle L/l \) come: \(\displaystyle \frac{L}{l}=\frac{2W}{I^{2}l} \) su un singolo filo, si trova l'induttanza data da quel filo, che mi risulta essere:
\(\displaystyle \frac{L}{l}=\frac{2W}{I^{2}l}=\frac{2}{I^{2}l}\int wdV = \frac{1}{I^{2}l}\int \frac{B^{2}}{\mu_{0}}dV = \frac{1}{I^{2}l}\int \frac{\mu_{0}I^{2}}{(2\pi R)^{2}}dV = \frac{1}{I^{2}l}\int \frac{\mu_{0}I^{2}}{(2\pi R)^{2}}2\pi RldR = \frac{\mu_{0}}{2\pi }\int \frac{dR}{R} \)
Integrando tra la distanza a e d-a (cioè dal "limite" del primo conduttore al "limite" del secondo) si dovrebbe avere:
\(\displaystyle \frac{L}{l}= \frac{\mu_{0}}{2\pi }\int_{a}^{d-a}\frac{dR}{R}=\frac{\mu_{0}}{2\pi }ln\frac{d-a}{a} \)
Che se ho capito bene, dovrebbe essere l'induttanza associata al primo filo.
Poichè i due fili sono uguali, l'induttanza totale è quindi:
\(\displaystyle \frac{L}{l}(tot)= 2\frac{L}{l} = \frac{\mu_{0}}{\pi }ln\frac{d-a}{a} \)
Che in effetti sembra proprio coindicere con la soluzione che mi dava il testo.
Potrebbe essere una soluzione corretta? Grazie mille!
Avevo innanzitutto fatto un errore (notato ora): la distanza non è tra le superifici dei cilindri, ma è tra gli assi dei due cilindri.
Ho poi considerato i due fili separatamente invece che in contemporanea, e considerato come volume un cilindro concentrico al conduttore, anch'esso lungo \(\displaystyle l \).
Utilizzando il metodo "energetico" (ricavando cioè \(\displaystyle L/l \) come: \(\displaystyle \frac{L}{l}=\frac{2W}{I^{2}l} \) su un singolo filo, si trova l'induttanza data da quel filo, che mi risulta essere:
\(\displaystyle \frac{L}{l}=\frac{2W}{I^{2}l}=\frac{2}{I^{2}l}\int wdV = \frac{1}{I^{2}l}\int \frac{B^{2}}{\mu_{0}}dV = \frac{1}{I^{2}l}\int \frac{\mu_{0}I^{2}}{(2\pi R)^{2}}dV = \frac{1}{I^{2}l}\int \frac{\mu_{0}I^{2}}{(2\pi R)^{2}}2\pi RldR = \frac{\mu_{0}}{2\pi }\int \frac{dR}{R} \)
Integrando tra la distanza a e d-a (cioè dal "limite" del primo conduttore al "limite" del secondo) si dovrebbe avere:
\(\displaystyle \frac{L}{l}= \frac{\mu_{0}}{2\pi }\int_{a}^{d-a}\frac{dR}{R}=\frac{\mu_{0}}{2\pi }ln\frac{d-a}{a} \)
Che se ho capito bene, dovrebbe essere l'induttanza associata al primo filo.
Poichè i due fili sono uguali, l'induttanza totale è quindi:
\(\displaystyle \frac{L}{l}(tot)= 2\frac{L}{l} = \frac{\mu_{0}}{\pi }ln\frac{d-a}{a} \)
Che in effetti sembra proprio coindicere con la soluzione che mi dava il testo.
Potrebbe essere una soluzione corretta? Grazie mille!
Si, ma per farla breve bastava andare ad integrare il campo magnetico totale nello spazio fra i due conduttori, ovvero
$B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}+\frac{\mu_0I}{2\pi(d-r)}$
per ottenere [nota]Con l'ultima semplificazione valida per d>>a.[/nota]
$\Phi =\int_{a}^{d-a}B(r)ldr=\frac{\mu_0Il}{ \pi }ln\frac{d-a}{a}\approx \frac{\mu_0Il}{ \pi }ln\frac{d}{a}$
e di conseguenza il valore del coefficiente di autoinduzione L; ma in quel modo non si considera il contributo dello spazio interno ai conduttori.
Volendo considerare pure quello, senza dubbio necessario quando la condizione r << d non è più verificata, le cose si complicano e in questo caso bisogna distinguere un calcolo in bassa frequenza, per il quale nella condizione di conduttori cilindrici "pieni" si perviene [nota]Vedi per esempio http://www.electroyou.it/forum/viewtopi ... 07#p222939[/nota] ad un termine aggiuntivo $\mu_0/(4\pi)$ , e un calcolo in alta frequenza o in presenza di conduttori tubolari di piccolo spessore (che sembra essere il tuo caso), nel quale la determinazione si complica ancora , portando ad un coefficiente di autoinduzione pari a
$ L=\frac{\mu_0l}{\pi} cosh^{-1} (d/ (2a) )$
dalla quale il primo termine dello sviluppo in serie porta all'espressione approssimata
$ L \approx \frac{\mu_0l}{ \pi }ln\frac{d}{a}$
Nel tuo problema la condizione d >> r è comunque verificata in quanto d/r=20 e di conseguenza la relazione approssimata è sicuramente accettabile. Quello che mi stupisce è che il testo del problema precisi che
in quanto, a mio parere (per quel che vale), non è che scorrendo sulla superficie si possa ritenere che il contributo dello spazio interno sia nullo ai fini del coefficiente di autoinduzione e che quindi la relazione riportata sia analiticamente corretta e non approssimata.
BTW Giusto un consiglio, prova a calcolare anche la capacità fra i due conduttori al fine di evidenziare le dualità di calcolo e di relazioni fra L , C e impedenza caratteristica Z.
$B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}+\frac{\mu_0I}{2\pi(d-r)}$
per ottenere [nota]Con l'ultima semplificazione valida per d>>a.[/nota]
$\Phi =\int_{a}^{d-a}B(r)ldr=\frac{\mu_0Il}{ \pi }ln\frac{d-a}{a}\approx \frac{\mu_0Il}{ \pi }ln\frac{d}{a}$
e di conseguenza il valore del coefficiente di autoinduzione L; ma in quel modo non si considera il contributo dello spazio interno ai conduttori.
Volendo considerare pure quello, senza dubbio necessario quando la condizione r << d non è più verificata, le cose si complicano e in questo caso bisogna distinguere un calcolo in bassa frequenza, per il quale nella condizione di conduttori cilindrici "pieni" si perviene [nota]Vedi per esempio http://www.electroyou.it/forum/viewtopi ... 07#p222939[/nota] ad un termine aggiuntivo $\mu_0/(4\pi)$ , e un calcolo in alta frequenza o in presenza di conduttori tubolari di piccolo spessore (che sembra essere il tuo caso), nel quale la determinazione si complica ancora , portando ad un coefficiente di autoinduzione pari a
$ L=\frac{\mu_0l}{\pi} cosh^{-1} (d/ (2a) )$
dalla quale il primo termine dello sviluppo in serie porta all'espressione approssimata
$ L \approx \frac{\mu_0l}{ \pi }ln\frac{d}{a}$
Nel tuo problema la condizione d >> r è comunque verificata in quanto d/r=20 e di conseguenza la relazione approssimata è sicuramente accettabile. Quello che mi stupisce è che il testo del problema precisi che
...Si ipotizzi che la corrente scorra interamente sulla superficie dei due conduttori."
in quanto, a mio parere (per quel che vale), non è che scorrendo sulla superficie si possa ritenere che il contributo dello spazio interno sia nullo ai fini del coefficiente di autoinduzione e che quindi la relazione riportata sia analiticamente corretta e non approssimata.
BTW Giusto un consiglio, prova a calcolare anche la capacità fra i due conduttori al fine di evidenziare le dualità di calcolo e di relazioni fra L , C e impedenza caratteristica Z.
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