Indeterminazione di un'osservabile

[cla291]

Buonasera,

sto studiando da autodidatta l'indeterminazione quantistica. In primo luogo ho capito che il quadrato della varianza ovvero la deviazione standard può rappresentare proprio l'indeterminazione di una misura. Quello che invece non ho capito è come viene costruita la deviazione standard, provo a riassumere l'argomento:

Si considera l'osservabile A e i suoi autovalori a. Dato uno stato $ | psi>> $ si avrà una distribuzione di probabilità P(a) con valore atteso dato da: $ <>=<>=sum_(a) aP(a) $

a questo punto si definisce una sorta di operatore degli scarti: $ bar(A) =A- <>I $ con I matrice identità.
Questo operatore avrà come autovalori: $ bar(a) =a- <>I $

e quindi la varianza sarà: $ (DeltaA )^2=sum_(a) bar(a)^2P(a) $
da cui $ (Delta A)^2=sum_(a) (a- <>)^2 P(a)= <> $

ora se la varianza è il quadrato dello scarto, e lo scarto consiste nella differenza tra una misura (cioè un autovalore) e il valore atteso, capisco la relazione: $ bar(a) =a- <>I $ mentre non capisco come questa possa essere sostituita da questa: $ bar(A) =A- <>I $ che non riesco a giustificare matematicamente. Cosa mi garantisce che gli autovalori di questo operatore siano uguali a: $ bar(a) =a- <>I $ ?

Grazie del vostro tempo.

[Masaki1]

Sia $\mathcal{A}$ un'osservabile per un dato sistema quantistico $\mathfrak{S}$, allora, per il primo postulato della meccanica quantistica, esiste una corrispondenza biunivoca tra l'algebra delle osservabili di $\mathfrak{S}$ e l'algebra degli operatori lineari autoaggiunti (definiti in sottospazi densi di uno spazio di Hilbert separabile ed estesi per densità) di uno spazio di Hilbert $\mathfrak{B}(\mathcal{H})$ che associa ad $\mathcal{A}$ un operatore autoaggiunto $\hat{A}$.

E' di fondamentale importanza capire che sono le osservabili che determinano lo spazio di Hilbert in cui viene descritto un sistema quantistico. Questo perché i sistemi quantistici non hanno in generale nessuna proprietà fino a quando questa non viene misurata. In modo grezzo, il numero di esiti della misura determina la dimensione dello spazio di Hilbert complesso che vai a considerare e, quantomeno a livello elementare, anche lo spazio stesso ($\mathbf{C}^n$ se gli esiti possibili sono finiti, $\mathcal{l}^2(\mathbf{Z},\mathbf{C})$ se gli esiti sono infiniti ma numerabili o $\mathcal{L}^2(\mathbf{R}^3, d^3 \mathbf{x})$ se sono infiniti non numerabili).

Un'operatore autoaggiunto $\hat{A}$ induce su $mathcal{H}$ un sistema ortonormale completo di autovettori $\{|\phi_k\rangle}_{k \in \mathbf{Z}}$ che corrispondono agli autostati del sistema $\mathfrak{S}$ (ovvero quegli stati in cui la misura dell'osservabile $\mathcal{A}$ è determinata a priori). Grazie a tale sistema è possibile scrivere ogni stato come:

\begin{equation}
|\psi\rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \psi^k |\phi_k\rangle
\end{equation}

dove i $\{\psi^k\} \in \mathcal{l}^2(\mathbf{Z},\mathbf{C})$[nota]Sono solito indicare con l'indice in basso i ket mentre con l'indice in alto i bra, esattamente come quando in relatività si fa la distinzione tra vettori covarianti e controvarianti. In questa notazione $\phi_k = (\phi^k)^*$[/nota]. Quando vai a calcolare il valore della media di un operatore $\hat{A}$ su un generico stato $|\psi\rangle$, ciò che accade è:

\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle &= \bigg[ \sum_{k \in \mathbb{Z}} \psi_k \langle \phi^k| \bigg] \hat{A} \bigg[\sum_{h \in \mathbb{Z}} \psi^h |\phi_h \rangle \bigg]\\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{h \in \mathbb{Z}} \psi_k \psi^h \langle \phi^k| \hat{A} |\phi_h \rangle \\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{h \in \mathbb{Z}} \psi_k \psi^h a^h \langle \phi^k| |\phi_h \rangle \\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{h \in \mathbb{Z}} \psi_k \psi^h a^h \delta^k_h \\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \psi_k \psi^k a^k \\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\psi^k |^2 a^k \\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} P_k a^k \\
&= \langle \hat{A} \rangle\\
&\equiv A
\end{aligned}
\end{equation}

Definendo l'operatore $\hat{\Sigma} \equiv \hat{A} - A \hat{I}$, vale che:

\begin{equation}
\hat{{\Sigma}}^2 = [\hat{A} - A \hat{I}][\hat{A} - A \hat{I}] = \hat{A}^2 -A^2 \hat{I}
\end{equation}[nota]In questo caso tale prodotto si comporta in modo analogo al quadrato di un binomio, poiché l'identità commuta sempre con ogni elemento di un gruppo. Ciò non è in generale vero perchè l'algebra delle osservabili non è commutativa (tale fatto è per'altro il cuore della meccanica quantistica classica) quindi devi svolgere ogni prodotto separatamente senza avvalerti di prodotti notevoli[/nota]

Valutando tale operatore su ogni autostato di $\hat{A}$, $\{|\phi_k\rangle\}_{k \in \mathbb{Z}}$, troviamo che:

\begin{equation}
\hat{{\Sigma}}^2 |\phi_k\rangle= (\hat{A}^2 -A^2 \hat{I}) |\phi_k\rangle= [(a^k)^2 -A^2] |\phi_k\rangle
\end{equation}

Poiché il sistema $\{|\phi_k\rangle\}_{k \in \mathbb{Z}}$ è un generatore di $\mathcal{H}$, ovvero il suo span è denso in $\mathcal{H}$ e gli operatori considerati sono lineari, puoi estendere l'uguaglianza su ogni membro della base ad ogni stato generico. In particolare questa è una proprietà che è sempre vera qualora si ha a disposizione una base (sia questa hilbertiana o di Hamel) di uno spazio di uno spazio vettoriale

[cla291]

Buongiorno,
la ringrazio per l'elegante risposta. La riesco a seguire qualitativamente, consideri che la mia conoscenza degli spazi di Hilbert si limita a quei pochi accenni contenuti nel libro di Dirac sui principi della MQ.
Purtroppo ancora non afferro il perché gli autovalori abbiano questa forma: $ [(a^k)^2-A^2] $ che dovrebbe equivalere a ciò che avevo indicato con $ (a−⟨A⟩)^2 $ nella mia domanda.
Inoltre, se non ho travisato la notazione, dovrebbe esserci questa identificazione $ (a^k)^2=<
Grazie del suo tempo.

[Masaki1]

Mi scusi se sono stato troppo rigoroso nella spiegazione. Mi pare di capire che non le è chiaro il perché:

\begin{equation}
\hat{\Sigma}^2 | \phi_k \rangle = \hat{A}^2 -A^2 \hat{I} | \phi_k \rangle = [(a^k)^2 - A^2] | \phi_k \rangle
\end{equation}

Concentriamoci prima su questo problema su cui, nella prima risposta, ho sorvolato. I $\{| \phi_k \rangle \}_{k \in \mathbb{Z}}$ sono autovettori di $\hat{A}$, ovvero l'azione di $\hat{A}$ su di loro porta ad una "dilatazione" del vettore senza cambiarlo; in modo più rigoroso:

\begin{equation}
\hat{A} | \phi_k \rangle = a^k | \phi_k \rangle
\end{equation}

Dunque:

\begin{equation}
\hat{A}^2 | \phi_k \rangle = \hat{A} \hat{A} | \phi_k \rangle = \hat{A} [a^k | \phi_k \rangle] = a^k \hat{A} | \phi_k \rangle = (a^k)^2 | \phi_k \rangle
\end{equation}[nota]Noti che non ho messo il modulo quadro ma semplicemente il quadrato, perché gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali[/nota]

\begin{equation}
A^2 \hat{I}| \phi_k \rangle = A^2 | \phi_k \rangle
\end{equation}

Poiché la somma di due operatori è ancora un operatore (che siano questi lineari o meno), possiamo scrivere che:

\begin{equation}
\hat{\Sigma}^2 | \phi_k \rangle = \hat{A}^2 -A^2 \hat{I} | \phi_k \rangle = \hat{A}^2 | \phi_k \rangle -A^2 \hat{I} | \phi_k \rangle = [(a^k)^2 - A^2] | \phi_k \rangle
\end{equation}

Ora arriva il punto concettualmente più difficile, che necessita di alcune nozioni di matematica.

Una base di Hamel $\mathcal{B}(\mathbf{V})$ di uno spazio vettoriale $\mathbf{V}$ (noti non ho richiesto alcuna struttura, tipo norma, prodotto scalare o topologia, su $\mathbf{V}$), è un sottoinsieme di $mathbf{V}$ formato da vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio. Rispettivamente ciò significa che, comunque scelto un sottoinsieme finito di tale base, le uniche combinazioni lineari nulle sono banali ovvero con coefficienti tutti nulli e, comunque scelto un vettore $v \in \mathbf{V}$, esiste un numero finito di vettori nella base tali che una loro combinazione lineare coincide con il vettore $v$.

Negli spazi di Hilbert separabili, ovvero spazi vettoriali dotati di un prodotto scalare che li rende spazi metrici completi [nota]Spero che queste nozioni le siano note da un corso di analisi[/nota] (con la metrica indotta dal prodotto scalare) che ammettono un sottoinsieme denso numerabile [nota]Un sottoinsieme denso $D$ in uno spazio metrico $(X, d)$, è un sottoinsieme tale che per ogni punto $x \in X$ e per ogni $\varepsilon >0$ esiste un punto $p \in D$ tale che $d(x,p)< \varepsilon$. Un esempio semplice di sottoinsieme denso è $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$. Inoltre se gli elementi dell'insieme $D$ sono i biiezione con $\mathbb{N}$ allora si dice che tale sottoinsieme denso è anche numerabile[/nota], esiste una nozione di base più fine rispetto a quella di Hamel: la base di Hilbert-Fourier. Una base di Hilbert-Fourier $\{\phi_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$ per uno spazio di Hilbert separabile $\mathcal{H}$ è un sottoinsieme denso numerabile costituito di vettori linearmente indipendenti (ortonormalizzabili con l'algoritmo di Gram-Schmidt), grazie a cui è possibile scrivere ogni vettore $v \in \mathbf{V}$ come:

\begin{equation}
v = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left \langle \phi^k| v \right \rangle \phi_k
\end{equation}

Ora, se consideriamo un operatore lineare $\hat{A}$ su $\mathcal{H}$, cioè tale che:

\begin{equation}
\hat{A} [\lambda v + \mu w] = \lambda \hat{A} v + \mu \hat{A} w
\end{equation}

abbiamo che esso è univocamente determinato dai valori che esso assume sulla base di $\mathcal{H}$. Infatti poiché la decomposizione di un vettore su una base è unica, vale che:

\begin{equation}
\hat{A} v = \hat{A} [\sum_{k \in\mathbb{Z}} \left \langle \phi^k | v\right \rangle \phi_k] = \lim_{n \to \infty} \sum_{k =-n}^n \left \langle \phi^k | v\right \rangle \hat{A} \phi_k
\end{equation}

quindi se sono noti i valori di $\hat{A} \phi_k$ per ogni $k \in \mathbb{Z}$, il valore di $\hat{A} v$ è noto per ogni $v \in \mathcal{H}$. Spero di essere stato più chiaro ora.

Comunque io le consiglio di studiare meccanica quantistica dal Libro "Modern Quantum Mechanics" di J.J. Sakurai oppure dagli appunti del mio professore di quantistica Franco Dalfovo:

http://www.science.unitn.it/~dalfovo/le ... alfovo.pdf

Buona giornata

[cla291]

La ringrazio per la risposta. Credo proprio di aver capito.

[Masaki1]

Bene sono contento. Se ha problemi chieda pure

[cla291]

Gentilissimo,

perdonami se ritorno sull'argomento. Ho un dubbio. Rielaborando il tutto non riesco a motivare l'uguaglianza (3) della tua prima risposta. Nel senso che, la riesco ad ottenere e giustificare solo quando è valutata in termini di valore medio:
$ <> = <<[\hat{A} - A \hat{I}][\hat{A} - A \hat{I}]>> = <> - <>^2 $
questo perché "faccio fuori" il classico risultato del prodotto notevole sfruttando il fatto che che la media di un numero è il numero stesso.
lei invece presenta il risultato senza medie, in termini di sole matrici:
$ hat{{\Sigma}}^2 = [\hat{A} - A \hat{I}][\hat{A} - A \hat{I}] = \hat{A}^2 -A^2 \hat{I} $

e dunque, non capisco come fa fuori uno dei termini del prodotto notevole. Nelle sue note probabilmente cercava di dirmi il perché, ma onestamente non sono riuscito a "vedere" come replicare il risultato.

[Masaki1]

Se ho capito bene, non le è chiaro il perché:

\begin{equation}
\hat{\Sigma} = [\hat{A} -A \hat{I}]^2 = \hat{A}^2 - A^2 \hat{I}
\end{equation}

Tale uguaglianza è sbagliata se la si interpreta nel senso operatoriale, o meglio senza intendere l'operatore assieme alla sua media. Mi scusi per l'errore. Ripeto tale uguaglianza vale solo in senso di media, come infatti ha senso fisicamente in quanto vogliamo un oggetto che ci dica quando si discosta mediamente il valore di uno stato rispetto al valore atteso. In senso operatoriale:

\begin{equation}
\hat{\Sigma} = [\hat{A} -A \hat{I}]^2 = \hat{A}\hat{A} - A \hat{A}\hat{I} - A A^2 \hat{I} + A^2 \hat{I} \hat{I} = \hat{A}^2 - 2A \hat{A} + A^2 \hat{I}
\end{equation}

Valutando l'operatore $\hat{\Sigma}$ su un qualunque $|\phi_k\rangle$ autostato di $\hat{A}$, vale che:

\begin{equation}
\hat{\Sigma} |\phi_k\rangle = [\hat{A}^2 - 2A \hat{A} + A^2 \hat{I}] |\phi_k\rangle = \hat{A}^2|\phi_k\rangle - 2A \hat{A}|\phi_k\rangle + A^2 \hat{I} |\phi_k\rangle = [(a^k)^2 -2a^k A +A^2] |\phi_k \rangle
\end{equation}

A questo punto si scrive uno stato generico come combinazione lineare degli autostati dell'operatore di cui si calcola la varianza:

\begin{equation}
|\psi \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z}}|\phi_k \rangle \left \langle \phi^k| \psi\right \rangle
\end{equation}

E si calcola il valore medio di $\hat{\Sigma}$:

\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle \psi | \hat{\Sigma} | \psi \rangle&= \sum_{h \in \mathbb{Z}}\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left \langle \phi^h| \psi\right \rangle \left \langle \psi| \phi_k \right \rangle \langle \phi^k | \hat{\Sigma}|\phi_h \rangle\\
&= \sum_{h \in \mathbb{Z}}\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left \langle \phi^h| \psi\right \rangle \left \langle \psi| \phi_k \right \rangle [(a^k)^2 -2a^k A +A^2] \langle \phi^k | \phi_h \rangle\\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\left \langle \psi| \phi_k \right \rangle|^2 [(a^k)^2 -2a^k A +A^2]\\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\left \langle \psi| \phi_k \right \rangle|^2 (a^k)^2 -2A \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\left \langle \psi| \phi_k \right \rangle|^2 a^k + A^2 \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\left \langle \psi| \phi_k \right \rangle|^2\\
&= \langle \hat{A}^2 \rangle -2 A^2 + A^2\\
&= \langle \hat{A}^2 \rangle - \langle \hat{A}\rangle^2\\
\end{aligned}
\end{equation}
che è appunto la varianza dell'operatore $\hat{A}$.

In alternativa quello che può fare è definire un operatore che si comporti come una varianza ad esempio:

\begin{equation}
\hat{\Delta} \doteq \hat{A}^2-A^2 \hat{I}
\end{equation}

e se usa questo come operatore varianza vale quello che le ho scritto nei post precedenti (in realtà ormai sono abituato a pensare la varianza di un operatore in questo modo, quindi penso che sia questo il motivo per cui le abbia risposto così. Mi scusi ancora per il tempo che le ho fatto perdere)

Mi scusi ancora per l'errore. Buona giornata

[cla291]

Perfetto! grazie ancora. Spero di non abusare troppo della sua disponibilità.

[Masaki1]

Ma si figuri questa era dovuta, visto la cazzata che le ho detto.