Impulso radiale meccanica quantistica

[HaldoSax]

Buon giorno a tutti, ho il seguente problema che non riesco a capire come risolvere .
Studiando meccanica quantistica per trovare l'impulso radiale si può partire da quello classico:

\begin{equation}
p_r=\frac{1}{2}(\frac{\vec{x}}{r}\cdot\vec{p}+\vec{p}\cdot\frac{\vec{x}}{r})
\end{equation}

dove $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

andando a definire un operatore non hermitiano (utilizzo la notazione di Eistein):

\begin{equation}
D_r=\frac{\vec{x}}{r}\cdot\vec{p}=-i\hbar\frac{x_i}{r}\frac{\partial}{\partial x_i}=.....=-i\hbar\frac{\partial}{\partial r}
\end{equation}

fin qui nessun problema. Adesso definisco l'opertore:
\begin{equation}
D^{\dagger}=\vec{p}\cdot\frac{\vec{x}}{r}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{x_i}{r}=-i\hbar(\frac{x_i}{r}\frac{\partial}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{x_i}{r})
\end{equation}

Quello che non riesco a capire è proprio nell'ultimo passaggio, come fa a portare davanti il termine $\frac{x_i}{r}$?
Mi è capitato di vedere una cosa simile anche in alcuni passaggi precedenti, $\partial_r r=r\partial_r +1$, e anche qui non sono riuscito a trovare risposta.

Grazie mille in anticipo

[anonymous_56b3e2]

Per l'ultima domanda, magari è così:

[tex]\hat{(\partial _r r)} \psi=\partial_r r \psi=\partial _r ( r \psi)=(\partial _r r)\psi+r (\partial _r \psi)=1 \cdot \psi+r\partial_r\psi=\hat{(1+r\partial_r)}\psi[/tex].

[HaldoSax]

Ciao zpe, grazie per la risposta ma purtroppo non è così. L'ultima domanda deriva da:

\begin{equation} p^2=\frac{1}{r^2}((x\cdot D_r)^2-i\hbar (x\cdot D_r)+L^2)\end{equation}

\begin{equation}
\frac{p^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2mr^2}(r\frac{\partial}{\partial r} r\frac{\partial}{\partial r}+r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{L^2}{\hbar^2})\end{equation}

visto che $\frac{\partial r}{\partial r}=r\frac{\partial}{\partial r}+1$ allora
\begin{equation}
\frac{p^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r})+\frac{L^2}{2mr^2}
\end{equation}

[HaldoSax]

Grande ZPE ripensandoci meglio hai ragione, che barba sto notazioni in MQ. Sempre tutto sottointeso. E gli indici ripetuti vanno sommati e la funzione d'onda è sottointesa . Grazie ancora ZPE.

Buona giornata