Il rotore cosa rappresenta??
Ciao a tutti,
volevo chiedere, cosa rappresenta "fisicamente" il rotore. Ad esempio il gradiente in un punto è il vettore che indica la direzione di maggior variazione del campo scalare. E il rotore?? Su wikipedia c'è scritto che è la tendenza di un campo vettoriale a ruotare attorno ad un punto. Difatti penso non sia un caso che i campi che presentano rotore nullo nel dominio si dicano irrotazionali
Ma mi sorge un dubbio: per un campo vettoriale conservativo, e quindi irrotazionale, la circuitazione su qualsiasi linea chiusa è pari a 0. Ma se io ho un campo, le cui linee di campo ad esempio sono chiuse su se stesse, e il modulo del vettore è costante, la circuitazione non è 0?? Eppure essendo chiuse queste linee ruotano attorno ad un punto...
Dov'è che sbaglio??
grazie a tutti
volevo chiedere, cosa rappresenta "fisicamente" il rotore. Ad esempio il gradiente in un punto è il vettore che indica la direzione di maggior variazione del campo scalare. E il rotore?? Su wikipedia c'è scritto che è la tendenza di un campo vettoriale a ruotare attorno ad un punto. Difatti penso non sia un caso che i campi che presentano rotore nullo nel dominio si dicano irrotazionali
Ma mi sorge un dubbio: per un campo vettoriale conservativo, e quindi irrotazionale, la circuitazione su qualsiasi linea chiusa è pari a 0. Ma se io ho un campo, le cui linee di campo ad esempio sono chiuse su se stesse, e il modulo del vettore è costante, la circuitazione non è 0?? Eppure essendo chiuse queste linee ruotano attorno ad un punto...Dov'è che sbaglio??
grazie a tutti
Risposte
il punto è che se fissi un campo vettoriale che su una circonferenza è di modulo uno e tangente a questa in senso anti-orario per esempio, non potrai estenere questo campo vettoriale a tutto il piano di modo che il suo rotore 1) sia definitio (campo differenziabile); 2) sia nullo ovunque;....
Un esempio in cui accade qualcosa di simile è la forma differenziale $d(\theta)$, se la conosci... questa è definita ovunque meno che nell'origine, è una forma differenziale chiusa (=rotore nullo), e fa esattamente quanto sopra... nonostante sia irrotazionale (dove definita! è questo il punto) ci sono dei percorsi con circuitazione non nulla e sembra comunque "ruotare attorno a qualcosa"
simili cose non avvengono se il campo vettoriale a rotore nullo è definito ovunque...
dimmi se ho usato paroloni, eh..... tanto quanto sopra si può ridire in maniera più elementare...
Un esempio in cui accade qualcosa di simile è la forma differenziale $d(\theta)$, se la conosci... questa è definita ovunque meno che nell'origine, è una forma differenziale chiusa (=rotore nullo), e fa esattamente quanto sopra... nonostante sia irrotazionale (dove definita! è questo il punto) ci sono dei percorsi con circuitazione non nulla e sembra comunque "ruotare attorno a qualcosa"
simili cose non avvengono se il campo vettoriale a rotore nullo è definito ovunque...
dimmi se ho usato paroloni, eh..... tanto quanto sopra si può ridire in maniera più elementare...
Nella prima affermazione dici questo??Supponiamo di prendere un filo percorso da corrente, le cui linee di forza del campo magnetico sono conentriche al filo stesso: se prendo una circuitazione "piccola" e lontana dal filo, la circuitazione non è nulla giusto??
non capisco come fa ad essere sia piccola che lontana dal filo.... cmq si, e ti dò due motivi, uno matematico e l'altro fisico:
1) applica la (o una delle, insomma) definizione di circuitazione... ragionando 'a braccio' devi dividere il dominio di integrazione (la circonferenza) in piccoli pezzetti. e per ognuno fare $$ dove $dl$ è il vettore rappresentante un pezzetto della circonferenza e $B$ il campo in un punto qualsiasi all'interno del pezzetto, metre $<>$ indica il prodotto scalare (euclideo). Alla fine visto che B è tangente dovrai sommare per ogni pezzetto $|dl|B$ ed ottieni $2\piB$, che è ovviamente diverso da 0;
2) mi pare di ricordare una legge che dicevano al liceo: la circutazione di B in un cammino chiuso è uguale alla somma con segno delle correnti uscenti moltiplicata per qualche costante. Se credi a questa formula, è ovvio che la circuitazione non può essere nulla, visto che una solo corrente la attraversa!
cmq il mio intervento precedente non aveva molto a che fare con tutto ciò.... là facevo considerazioni matematiche, disinteressandomi di che campo avevo in considerazione...
1) applica la (o una delle, insomma) definizione di circuitazione... ragionando 'a braccio' devi dividere il dominio di integrazione (la circonferenza) in piccoli pezzetti. e per ognuno fare $
2) mi pare di ricordare una legge che dicevano al liceo: la circutazione di B in un cammino chiuso è uguale alla somma con segno delle correnti uscenti moltiplicata per qualche costante. Se credi a questa formula, è ovvio che la circuitazione non può essere nulla, visto che una solo corrente la attraversa!
cmq il mio intervento precedente non aveva molto a che fare con tutto ciò.... là facevo considerazioni matematiche, disinteressandomi di che campo avevo in considerazione...
ma sucusa una cosa: la circuitazione è l'integrale di linea del campo vettoriale, quindi se prendo una qualsiasi linea, devo prendere in consdierazione per ogni trattino infinitesimo dl del tratto il prodtto scalare tra il modulo del campo che assume in quel trattino, perchè dici all'interno del tratto??Consideri il campo uniforme??
Il dubbio di sta cosa mi è venuto pensando al campo elettrico coulombiano e adesso mi sono accorto che stavo facendo un errore madornale
grazie mille dell'aiuto
Il dubbio di sta cosa mi è venuto pensando al campo elettrico coulombiano e adesso mi sono accorto che stavo facendo un errore madornale
grazie mille dell'aiuto
"minavagante":
il prodtto scalare tra il modulo del campo che assume in quel trattino, perchè dici all'interno del tratto??Consideri il campo uniforme??
attento... non si fa il prodotto scalare tra moduli, ma tra vettori......... spero che su questo tu abbia le idee chiare.... se si, suggerisco comunque di usare la corretta terminologia per tua chiarezza
... a scanso di equivoci, quando dico "trattino", questo è UN VETTORE..."minavagante":
il prodtto scalare tra il modulo del campo che assume in quel trattino, perchè dici all'interno del tratto??Consideri il campo uniforme??
No...
il campo non assume valori "in un trattino": è una applicazione da OGNI PUNTO dello spazio in R^3!... quindi che vettore del campo prendi nel trattino che è fatto da più punti? A priori hai una quantità infinita di scelte, tante quanti i punti del trattino!
La soluzione è prendere un punto a caso, sperando che se il trattino è abbastanza piccolo il risultato non dipenda dalla scelta fatta.... (sono questioni di limite)
Matematicamente si verifica che quanto sopra è vero se il campo è abbastanza regolare...
"minavagante":
Il dubbio di sta cosa mi è venuto pensando al campo elettrico coulombiano e adesso mi sono accorto che stavo facendo un errore madornale
sono due campi ben diversi come struttura quello magnetico generato da un filo infinito e (forse pensavi a una qualche sezione di questo) quello generato da una carica puntiforme, anche se entrambi dove definiti hanno divergenza nulla...
(va bè, magari qualcuno ti dirà che la divergenza nell'origine è una delta etc.etc., ma è lungo reimpostare la questione per dare un senso a questa affermazione)
si per il prodotto scalare mi sono espresso male
comunque, per il fatto del trattino, io non prendo in consdierazione un vettore che sta in quel trattino facendo tendere il numero di trattini ad inifito e la lunghezza del trattino a 0, praticamente ad un punto, e in quel punto si considera il vettore, o no???
Un'altra cosa: supponiamo di avere una carica positiva puntiforme, e prendiamo in cosiderazione la legge di Gauss in forma differenziale $d i vbarD=rho$. La divergenza mi indica se sono in presenza di sorgenti, pozzi ecc...Supponiamo anche di essere nel vuoto in modo che si possa scirvere $d i vbarE_c=rho/epsilon_0$. Se io prendo una superficie che racchiude la sfera, la divergenza quanto vale??? Il dubbio nasce dal fatto che la carica è una sorgente, quindi non dovrebbe essere maggiore di 0??Però ho una $rho=0$ e questo mi spinge a dire che la diveregenza si nulla...
comunque, per il fatto del trattino, io non prendo in consdierazione un vettore che sta in quel trattino facendo tendere il numero di trattini ad inifito e la lunghezza del trattino a 0, praticamente ad un punto, e in quel punto si considera il vettore, o no???
Un'altra cosa: supponiamo di avere una carica positiva puntiforme, e prendiamo in cosiderazione la legge di Gauss in forma differenziale $d i vbarD=rho$. La divergenza mi indica se sono in presenza di sorgenti, pozzi ecc...Supponiamo anche di essere nel vuoto in modo che si possa scirvere $d i vbarE_c=rho/epsilon_0$. Se io prendo una superficie che racchiude la sfera, la divergenza quanto vale??? Il dubbio nasce dal fatto che la carica è una sorgente, quindi non dovrebbe essere maggiore di 0??Però ho una $rho=0$ e questo mi spinge a dire che la diveregenza si nulla...
"minavagante":
si per il prodotto scalare mi sono espresso male
comunque, per il fatto del trattino, io non prendo in consdierazione un vettore che sta in quel trattino facendo tendere il numero di trattini ad inifito e la lunghezza del trattino a 0, praticamente ad un punto, e in quel punto si considera il vettore, o no???
scusa se te lo dico, ma se continui ad esprimerti male io non capisco se 1) non hai studiato abbastanza la materia sui libri giusti, in particolare analisi; 2) scrivi semplicemente con disattenzione...
per me 'un vettore' non sta 'in un trattino'... un vettore che stiamo considerando o SONO 'il trattino', oppure è il vettore del campo associato ad un punto dello spazio... comunque non mi pare il caso di continuare a discutere su questo... dire in questo modo l'integrazione è utile solo per farsi un'idea del processo e forse non è nemmeno corretto che ce la raccontiamo così, magari ogni metodo di raccontarla contiene delle imprecisioni che posso essere importanti o meno a seconda della persona che legge: guarda piuttosto qualche libro di analisi che di sicuro lo dicono meglio di me...
"minavagante":
Un'altra cosa: supponiamo di avere una carica positiva puntiforme, e prendiamo in cosiderazione la legge di Gauss in forma differenziale $divbarD=rho$. La divergenza mi indica se sono in presenza di sorgenti, pozzi ecc...Supponiamo anche di essere nel vuoto in modo che si possa scirvere $divbarE_c=rho/epsilo_0$. Se io prendo una superficie che racchiude la sfera, la divergenza quanto vale??? Il dubbio nasce dal fatto che la carica è una sorgente, quindi non dovrebbe essere maggiore di 0??Però ho una $rho=0$ e questo mi spinge a dire che la diveregenza si nulla...
a parte il MATHML che non si capisce... la divergenza di un campo vettoriale (differenziabile) è una funzione che associa ad ogni punto dello spazio un numero... tu in che punto dello spazio la vorresti calcolare? se la calcoli dove non c'è carica ovviamente la divergenza del campo è nulla.... se la calcoli dove c'è una densità di carica, sarà quella densità..... se la calcoli dove c'è una densità di carica puntiforme, beh è complicato...
simbolicamente in ambito distribuzionale puoi dire che la divergenza del campo è $e\delta(x)$, ma giustifare questo per bene è lungo (lo stesso concetto di divergenza cambia un pò), non so se ne sarei capace... e cmq mi pare che prima è meglio capire come funzionano i campi differenziabili...
grazie mille
scusa se sono stato sgarbato....... forse quando non sono di ottimo umore è meglio che mi trattenga dal scrivere messaggi.......
ciao
ciao
No bon tranquillo, posso farti un'ultima domanda???
vai! 
.........
.........
mi risulta difficile capire "concettualemente" questa formula:$d i vbarD=rho/epsilon_0$ nel senso che, se come prima ho una carica puntiforme, non ho una distribuzione di carica volumica;nel caso della carica puntiforme, la divergenza è ovunque nulla, tranne nel punto dove la carica è posta se non ho capito male vero (ma lì la divergenza è infinita??). Quindi, come posso considerre quella densità volumica $rho$ anche nel caso di cariche puntiformi o densità di cariche superficiali??
Ad esempio se ho una superficie caricata, con una certa densità superficiale $sigma$, la divergenza nei punti che non fanno parte della superficie stessa è nulla giusto??? Ma come lo calcolo per ogni punto della superficie??
Il problema comunque si pone anche nel caso di distribuzione carica volumica, ovvero: prendiamo una sfera caricata con $rho$, come trovo la divergenza in un punto interno a questa sfera???
grazie
Ad esempio se ho una superficie caricata, con una certa densità superficiale $sigma$, la divergenza nei punti che non fanno parte della superficie stessa è nulla giusto??? Ma come lo calcolo per ogni punto della superficie??
Il problema comunque si pone anche nel caso di distribuzione carica volumica, ovvero: prendiamo una sfera caricata con $rho$, come trovo la divergenza in un punto interno a questa sfera???
grazie
"minavagante":
mi risulta difficile capire "concettualemente" questa formula:$d i vbarD=rho/epsilon_0$ nel senso che, se come prima ho una carica puntiforme, non ho una distribuzione di carica volumica;nel caso della carica puntiforme, la divergenza è ovunque nulla, tranne nel punto dove la carica è posta se non ho capito male vero (ma lì la divergenza è infinita??). Quindi, come posso considerre quella densità volumica $rho$ anche nel caso di cariche puntiformi o densità di cariche superficiali??
Ad esempio se ho una superficie caricata, con una certa densità superficiale $sigma$, la divergenza nei punti che non fanno parte della superficie stessa è nulla giusto??? Ma come lo calcolo per ogni punto della superficie??
i tuoi dubbi sono ben leciti e la risposta non è banale (nei post precedenti eludevo proprio questi punti 'singolari'): vedo quando ho un pò di tempo se riesco ad organizzare una risposta comprensibile...
"minavagante":
Il problema comunque si pone anche nel caso di distribuzione carica volumica, ovvero: prendiamo una sfera caricata con $rho$, come trovo la divergenza in un punto interno a questa sfera???
grazie
questo invece non è un problema... conoscere la carica implica conoscere la divergenza del campo in ogni punto, visto che questa sarà proprio uguale alla carica (il campo "si sistema" in modo da soddisfare quell'equazione all'equilibrio, più qualche condizione al bordo che garantisca unicità della soluzione)...nel tuo caso divergenza nulla fuori dalla sfera, divergenza $\ro$ (a meno di costanti) all'interno... inoltra se la carica non è divergente, non hai alcun problema di interpretazione...
in realtà quanto ho detto non è verissimo... nel caso della sfera sulla superficie avrai delle singolarità nel campo e anche lì non sarà differenziabile nel senso classico, anche se la singolarità sarà meno difficile da interpretare di quella a delta... uff..... cercherò di rispondere meglio in seguito,,,,
"Thomas":
i tuoi dubbi sono ben leciti e la risposta non è banale (nei post precedenti eludevo proprio questi punti 'singolari'): vedo quando ho un pò di tempo se riesco ad organizzare una risposta comprensibile...
No bon tranquillo non ti preoccupare
"Thomas":
questo invece non è un problema... conoscere la carica implica conoscere la divergenza del campo in ogni punto, visto che questa sarà proprio uguale alla carica (il campo "si sistema" in modo da soddisfare quell'equazione all'equilibrio, più qualche condizione al bordo che garantisca unicità della soluzione)...nel tuo caso divergenza nulla fuori dalla sfera, divergenza $\ro$ (a meno di costanti) all'interno... inoltra se la carica non è divergente, non hai alcun problema di interpretazione...
quindi per ogni punto interno i questo volume la divergenza assume il valore di $rho$ ovunque???
posso intervenire con due piccole parole?
io direi che l'elettromagnetismo classico non contempla l'esistenza di cariche puntiformi.
oltre al problema della divergenza nelle equazioni di Maxwell, pensa ad un volume sferico che contiene al suo centro una carica puntiforme e calcola l'energia elettromagnetica contenuta in tale volume: otterrai un valore infinito, il che è assurdo.
quindi nell'elettrodinamica classica le cariche puntiformi sono purtroppo solo polvere da buttare sotto il tappeto.
io direi che l'elettromagnetismo classico non contempla l'esistenza di cariche puntiformi.
oltre al problema della divergenza nelle equazioni di Maxwell, pensa ad un volume sferico che contiene al suo centro una carica puntiforme e calcola l'energia elettromagnetica contenuta in tale volume: otterrai un valore infinito, il che è assurdo.
quindi nell'elettrodinamica classica le cariche puntiformi sono purtroppo solo polvere da buttare sotto il tappeto.
"wedge":
posso intervenire con due piccole parole?
io direi che l'elettromagnetismo classico non contempla l'esistenza di cariche puntiformi.
oltre al problema della divergenza nelle equazioni di Maxwell, pensa ad un volume sferico che contiene al suo centro una carica puntiforme e calcola l'energia elettromagnetica contenuta in tale volume: otterrai un valore infinito, il che è assurdo.
quindi nell'elettrodinamica classica le cariche puntiformi sono purtroppo solo polvere da buttare sotto il tappeto.
ma solo nel contensto dell'elettromagnetismo spero Inoltre come faccio a calcolare l'energia di una carica puntiforme contenuta in quel volume???
la densità di energia un campo elettrico si calcola come $w = 1/2 \epsilon E^2$.
integrando sul volume, e considerando che E generato da una carica puntiforme va come 1/r^2 vedi subito che il risultato è divergente
integrando sul volume, e considerando che E generato da una carica puntiforme va come 1/r^2 vedi subito che il risultato è divergente
sta cosa a parte il fatto che mi ha un po'sconvolto ma, e quindi? non si possono considerare cariche puntiformi??
ma, e quindi? non si possono considerare cariche puntiformi??
no, solo con la quantum electrodynamics ha senso parlare di cariche puntiformi, altrimenti incorri in questo paradosso
ciao, buoni sogni sconvolgenti
ciao, buoni sogni sconvolgenti
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