I limiti e le derivate in fisica
Spesso in fisica viene usato il concetto di limite quando si fanno tendere a zero aree di un corpo continuo; i cotinui però non esistono e dunque l'area si fa tendere a zero, "ma non troppo", perchè possa contenere un numero tale (nella realtà) di atomi/molecole tale che possa ancora approssimarsi come continuo.
Mi chiedo: non è improprio richiamare in questi contesti concetti rigorosi come quello di limite?
In modo particolare, le derivate di grandezze fisiche caratteristiche di corpi continui
si sostituiscono a "presunti" limiti, e questo funziona (nel senso dei confronti dei risultati del calcolo con i
dati sperimentali),
anche se io non saprei giustificare il perchè dell'uso del concetto di limite quando la grandezza che tende a zero
in realtà (per la natura del soggetto fisico descritta dal modello) non può tenderci.
Spero di essere stato chiaro.. insomma perchè questi "giochetti" funzionano?
non avrebbe senso, a parer mio, usare certe definizioni matematiche per puro aspetto estetico nella definizione di alcune grandezze fisiche, come quella di tensione in un continuo (ma ripeto, vale in un continuo, ma i corpi reali non sono continui, allora che senso ha fare un limite?puro aspetto estetico?)
Mi chiedo: non è improprio richiamare in questi contesti concetti rigorosi come quello di limite?
In modo particolare, le derivate di grandezze fisiche caratteristiche di corpi continui
si sostituiscono a "presunti" limiti, e questo funziona (nel senso dei confronti dei risultati del calcolo con i
dati sperimentali),
anche se io non saprei giustificare il perchè dell'uso del concetto di limite quando la grandezza che tende a zero
in realtà (per la natura del soggetto fisico descritta dal modello) non può tenderci.
Spero di essere stato chiaro.. insomma perchè questi "giochetti" funzionano?
non avrebbe senso, a parer mio, usare certe definizioni matematiche per puro aspetto estetico nella definizione di alcune grandezze fisiche, come quella di tensione in un continuo (ma ripeto, vale in un continuo, ma i corpi reali non sono continui, allora che senso ha fare un limite?puro aspetto estetico?)
Risposte
In Meccanica dei Fluidi ( e penso in generale in Meccanica del Continuo) si fa una premessa : non bisogna pensare alla "continuità" in Fisica come alla continuità matematica.
Ho accennato a robe 92 qualcosa al riguardo, qui :
dinamica-dei-sistemi-centro-di-massa-massa-volumica-t94135.html#p627379
Ma se vogliamo usare la Matematica per studiare la Fisica, dobbiamo adattare l'una all'altra.
Ho accennato a robe 92 qualcosa al riguardo, qui :
dinamica-dei-sistemi-centro-di-massa-massa-volumica-t94135.html#p627379
Ma se vogliamo usare la Matematica per studiare la Fisica, dobbiamo adattare l'una all'altra.
"navigatore":
Tenuto conto che il volume di questo insieme può essere tenuto nettamente inferiore all'ordine di grandezza delle dimensioni che possono interessare nello studio della meccanica dei fluidi , si procede ammettendo che il fluido sia , appunto , "continuo" . La meccanica dei sistemi continui è stata fondata da Eulero sulla base di questa schematizzazione .
E' un'affermazione che non mi convince, cioè ci credo, ma non so il perchè funziona.
Sì lo so, non convinceva, e forse non convince, anche me.
Però me ne sono fatto una ragione: dobbiamo pur usare la Matematica, per studiare e Capire la Fisica, no?
E perciò, cerca di non pensarci troppo, altrimenti diventi matto.
D'altronde, se ci rifletti, c'è una marea vastissima di concetti, anche in Matematica, che bisogna un po' prendere con le molle, e accettare per quello che ci dicono e ci danno. Il punto, la linea, la continuità di R, il passaggio al limite...Ma tu, io, e chiunque altro, siamo ben sicuri di aver chiarissimo il concetto?
Sì, lo so, ora verranno fuori i soliti discorsi sulle definizioni di limite, gli $\epsilon$ e i $\delta$ di Weierstrass...e mi sta bene, non voglio e non sono in grado discutere sui principi.
Alla fine, mi dico : questa cosa funziona? e allora va bene. Non siamo filosofi, nè farmacisti.
Però me ne sono fatto una ragione: dobbiamo pur usare la Matematica, per studiare e Capire la Fisica, no?
E perciò, cerca di non pensarci troppo, altrimenti diventi matto.
D'altronde, se ci rifletti, c'è una marea vastissima di concetti, anche in Matematica, che bisogna un po' prendere con le molle, e accettare per quello che ci dicono e ci danno. Il punto, la linea, la continuità di R, il passaggio al limite...Ma tu, io, e chiunque altro, siamo ben sicuri di aver chiarissimo il concetto?
Sì, lo so, ora verranno fuori i soliti discorsi sulle definizioni di limite, gli $\epsilon$ e i $\delta$ di Weierstrass...e mi sta bene, non voglio e non sono in grado discutere sui principi.
Alla fine, mi dico : questa cosa funziona? e allora va bene. Non siamo filosofi, nè farmacisti.
"seven":
Spesso in fisica viene usato il concetto di limite quando si fanno tendere a zero aree di un corpo continuo; i cotinui però non esistono e dunque l'area si fa tendere a zero, "ma non troppo", perchè possa contenere un numero tale (nella realtà) di atomi/molecole tale che possa ancora approssimarsi come continuo.
Mi chiedo: non è improprio richiamare in questi contesti concetti rigorosi come quello di limite?
In modo particolare, le derivate di grandezze fisiche caratteristiche di corpi continui
si sostituiscono a "presunti" limiti, e questo funziona (nel senso dei confronti dei risultati del calcolo con i
dati sperimentali),
anche se io non saprei giustificare il perchè dell'uso del concetto di limite quando la grandezza che tende a zero
in realtà (per la natura del soggetto fisico descritta dal modello) non può tenderci.
Spero di essere stato chiaro.. insomma perchè questi "giochetti" funzionano?
non avrebbe senso, a parer mio, usare certe definizioni matematiche per puro aspetto estetico nella definizione di alcune grandezze fisiche, come quella di tensione in un continuo (ma ripeto, vale in un continuo, ma i corpi reali non sono continui, allora che senso ha fare un limite?puro aspetto estetico?)
Ciao seven, provo a dirti quello che so e che ho letto su qualche libro, anche se probabilmente non risponderò alla tua domanda.
Prendiamo un tubo dal quale esce acqua. Potremmo associare ad ogni istante di tempo una certa massa pari alla massa di acqua che è uscita dal tubo. Otteniamo dunque una funzione. Poi potrei prendere una variazione arbitraria della massa $Delta m$ e dividerla per la corrispondente variazione temporale $Delta t$. Il rapporto $(Delta m)/(Delta t)$, come saprai, è detto rapporto incrementale. Ora, siccome $Delta m$ e $Delta t$ sono dei numeri, potrei far tendere l'intervallo temporale a zero e calcolarne il limite: tale limite è detto derivata. Questo è il discorso matematico.
In base a quello che ho letto su un libro di fisica (semmai se siete interessati posso scannerizzare la pagina), se io mi metto a misurare il rapporto $(Delta m)/(Delta t)$ facendo tendere sempre di più $Delta t$ a zero, ovviamente mi avvicino sempre di più al valore limite calcolato matematicamente (ma impossibile da calcolare fisicamente mediante misure di massa e tempo). Quando l'intervallo $Delta t$ è diventato abbastanza piccolo, si dovrebbe osservare che il numero che viene fuori da $(Delta m)/(Delta t)$ non subisce più una variazione degna di nota delle proprie cifre significative. Allora tale numero (portata massica in gergo) che si ottiene si indica, in Fisica, con $lim_(Delta t->0) (Delta m)/(Delta t)=(dm)/dt$, dove il simbolo $lim_(Delta t->0) (Delta m)/(Delta t)=(dm)/dt$ non si riferisce al valore limite matematico, ma a quel valore che non subisce più variazioni importanti delle proprie cifre significative. Dunque i limiti in fisica e i limiti in matematica, se ho interpretato correttamente la situazione, sono in certi casi due cose ben distinte.
Neanche io sono pienamente convinto di quello che ho scritto e della questione in generale, perciò sarebbe interessante conoscere il parere di qualche matematico che si occupa anche di Fisica (ad esempio gugo82 se non vado errato, anche se dubito che si farà vivo in questo topic viste le accese discussioni che abbiamo avuto recentemente
).
"lisdap":
In base a quello che ho letto su un libro di fisica (semmai se siete interessati posso scannerizzare la pagina), se io mi metto a misurare il rapporto $(Delta m)/(Delta t)$ facendo tendere sempre di più $Delta t$ a zero, ovviamente mi avvicino sempre di più al valore limite calcolato matematicamente (ma impossibile da calcolare fisicamente mediante misure di massa e tempo).
Non si comprende per quale motivo si senta solo la necessità di criticare l'applicazione fisica "concreta" del concetto di limite matematico "astratto", senza sottoporre alla stessa critica il significato stesso di funzione. Voglio dire, in Matematica una funzione assume un preciso valore in un determinato istante ed in un determinato punto, in Fisica evidentemente no. La risoluzione spazio-temporale dello strumento di misura gioca un ruolo fondamentale. Questo ruolo viene implementato matematicamente mediante la Teoria delle distribuzioni, introducendo le "funzioni di prova" che, in questo ambito, riflettono la caratteristica dello strumento di misura di mediare nel tempo e nello spazio la misura medesima. Questa media, effettuata mediante un integrale, toglie al concetto di funzione in fisica le prerogative che esso ha in Matematica, il fatto di poter essere valutata in un determinato istante ed in un determinato punto per l'appunto. Quindi, quando si passa al concetto di limite, bisogna tener conto di questo aspetto e, "per fortuna", si possono risolvere le inconsistenze di cui si sta parlando. Per fare un esempio semplice, la funzione gradino non è derivabile nel punto di discontinuità secondo l'Analisi classica, lo è rigorosamente secondo l'Analisi che utilizza la Teoria delle distribuzioni, il risultato è la famosa Delta di Dirac. Insomma, il fatto di dover computare una funzione in Fisica mediando tramite un integrale, per tener conto dello strumento di misura, "smussa" le caratteristiche indesiderate della corrispondente funzione in Matematica. Voglio dire, il concetto classico di limite in Matematica falliva in Fisica perchè, a fallire, era lo stesso concetto di funzione. I nostri Padri avevano astratto troppo e, proprio andando a riconsiderare le limitazioni fisiche dei concetti matematici, si è riusciti a formalizzare concetti a prima vista impossibili da formalizzare. Per concludere, gli enti fisici non sono funzioni, bensì distribuzioni. Prima di poterli valutare, bisogna mediare introducendo le funzioni di prova che rappresentano le risoluzioni spazio-temporali degli strumenti di misura. Se si insiste nell'utilizzare il concetto di funzione per rappresentare l'ente fisico, evidentemente non se ne uscirà mai. A breve posterò un esempio concreto, proprio utilizzando la funzione gradino, per mostrare che un limite che secondo l'Analisi classica non può essere che infinito, secondo la Teoria delle distribuzioni diventa "magicamente" di valore finito e dipendente dalla funzione di prova.
Si consideri la funzione gradino di Heaviside:
$[[Theta(x)=0] harr [x<0]] ^^ [[Theta(x)=1] harr [x>0]]$
e si calcoli $[Theta'(0)]$ mediante la seguente definizione di derivata:
$[f'(x)=lim_(h->0^+)(f(x+h)-f(x-h))/(2h)] rarr$
$rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)(Theta(h)-Theta(-h))/(2h)] rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)(1-0)/(2h)] rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)1/(2h)] rarr$
$rarr [Theta'(0)=+oo]$
Quindi, prima di valutare $[Theta(x)]$, si proceda mediante la seguente famiglia di funzioni di prova:
$[[varphi_(x_0|delta)(x)=barvarphi] harr [|x-x_0|delta]]$
centrate in $[x_0]$ e di raggio $[delta]$ che, nello spirito della discussione, rappresenta matematicamente l'operazione di media spaziale insita nello strumento di misura. In generale, si tratta di valutare il seguente integrale:
$[bar(f)(x_0)=\int_{-oo}^{+oo}f(x)varphi_(x_0|delta)(x)dx] rarr [bar(f)(x_0)=\int_{x_0-delta}^{x_0+delta}f(x)barvarphidx]$
Si calcolino allora separatamente i due termini al numeratore di quel rapporto incrementale:
$[Theta(h)=\int_{h-delta}^{h+delta}Theta(x)barvarphidx] rarr [Theta(h)=barvarphi(h+delta)]$
dato che, per $[h->0^+]$, l'estremo d'integrazione inferiore diventa negativo. Analogamente:
$[Theta(-h)=\int_{-h-delta}^{-h+delta}Theta(x)barvarphidx] rarr [Theta(-h)=barvarphi(-h+delta)]$
dato che, per $[h->0^+]$, l'estremo d'integrazione superiore diventa positivo. Finalmente e magicamente:
$[Theta'(0)=lim_(h->0^+)(Theta(h)-Theta(-h))/(2h)] rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)(barvarphi(h+delta)-barvarphi(-h+delta))/(2h)] rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)(2barvarphih)/(2h)]$
$rarr [Theta'(0)=barvarphi]$
Per questo motivo, come si era detto in precedenza, la distribuzione Delta di Dirac definita in modo tale da rendere proprio $[barvarphi]$ se valutata sul supporto delle funzioni di prova, può essere intesa come la derivata in senso distribuzionale della funzione gradino di Heaviside.
$[[Theta(x)=0] harr [x<0]] ^^ [[Theta(x)=1] harr [x>0]]$
e si calcoli $[Theta'(0)]$ mediante la seguente definizione di derivata:
$[f'(x)=lim_(h->0^+)(f(x+h)-f(x-h))/(2h)] rarr$
$rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)(Theta(h)-Theta(-h))/(2h)] rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)(1-0)/(2h)] rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)1/(2h)] rarr$
$rarr [Theta'(0)=+oo]$
Quindi, prima di valutare $[Theta(x)]$, si proceda mediante la seguente famiglia di funzioni di prova:
$[[varphi_(x_0|delta)(x)=barvarphi] harr [|x-x_0|
centrate in $[x_0]$ e di raggio $[delta]$ che, nello spirito della discussione, rappresenta matematicamente l'operazione di media spaziale insita nello strumento di misura. In generale, si tratta di valutare il seguente integrale:
$[bar(f)(x_0)=\int_{-oo}^{+oo}f(x)varphi_(x_0|delta)(x)dx] rarr [bar(f)(x_0)=\int_{x_0-delta}^{x_0+delta}f(x)barvarphidx]$
Si calcolino allora separatamente i due termini al numeratore di quel rapporto incrementale:
$[Theta(h)=\int_{h-delta}^{h+delta}Theta(x)barvarphidx] rarr [Theta(h)=barvarphi(h+delta)]$
dato che, per $[h->0^+]$, l'estremo d'integrazione inferiore diventa negativo. Analogamente:
$[Theta(-h)=\int_{-h-delta}^{-h+delta}Theta(x)barvarphidx] rarr [Theta(-h)=barvarphi(-h+delta)]$
dato che, per $[h->0^+]$, l'estremo d'integrazione superiore diventa positivo. Finalmente e magicamente:
$[Theta'(0)=lim_(h->0^+)(Theta(h)-Theta(-h))/(2h)] rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)(barvarphi(h+delta)-barvarphi(-h+delta))/(2h)] rarr [Theta'(0)=lim_(h->0^+)(2barvarphih)/(2h)]$
$rarr [Theta'(0)=barvarphi]$
Per questo motivo, come si era detto in precedenza, la distribuzione Delta di Dirac definita in modo tale da rendere proprio $[barvarphi]$ se valutata sul supporto delle funzioni di prova, può essere intesa come la derivata in senso distribuzionale della funzione gradino di Heaviside.
speculor,
sei terrificante ! ( in senso buono!)
sei terrificante ! ( in senso buono!)
Grazie per il tuo intervento speculor, mi hai veramente schiarito le idee; non avevo mai pensato a questo aspetto, seppur potesse essere lampante
(mi riferisco alla tua frase <>).
Dalla tua esperienza sulla questione penso che tu sia un fisico (teorico?).
Mi piacerebbe anche sapere cosa ne pensa qualche matematico della questione, vorrei sapere se loro accettano (o se è stato un trauma riconoscerlo) che i concetti di funzione e limite in realtà sono astratti e comportano considerazioni non giustificabili quantitativamente nell'analisi dei fenomeni fisici..
(mi riferisco alla tua frase <
Dalla tua esperienza sulla questione penso che tu sia un fisico (teorico?).
Mi piacerebbe anche sapere cosa ne pensa qualche matematico della questione, vorrei sapere se loro accettano (o se è stato un trauma riconoscerlo) che i concetti di funzione e limite in realtà sono astratti e comportano considerazioni non giustificabili quantitativamente nell'analisi dei fenomeni fisici..
"seven":
Dalla tua esperienza sulla questione penso che tu sia un fisico (teorico?).
Ho fatto Fisica, ai miei tempi c'erano solo tre indirizzi: generale, sperimentale e didattico. Io ho fatto il generale, di fatto la maggior parte degli esami erano di Fisica teorica. Tuttavia non sono un fisico, nel senso che non lavoro nel campo della Fisica.
"seven":
Mi piacerebbe anche sapere cosa ne pensa qualche matematico della questione, vorrei sapere se loro accettano (o se è stato un trauma riconoscerlo) che i concetti di funzione e limite in realtà sono astratti e comportano considerazioni non giustificabili quantitativamente nell'analisi dei fenomeni fisici.
Ok. In ogni modo, la Teoria delle distribuzioni è rigorosamente formulata in termini matematici. Estendendo la teoria originale, i matematici trovarono il modo di risolvere le problematiche di carattere logico che i fisici stavano incontrando nello sviluppo della Fisica moderna.
"speculor":
Ho fatto Fisica, ai miei tempi c'erano solo tre indirizzi: generale, sperimentale e didattico. Io ho fatto il generale, di fatto la maggior parte degli esami erano di Fisica teorica. Tuttavia non sono un fisico, nel senso che non lavoro nel campo della Fisica.
\OT
in che campo lavori? di che ti occupi?sono curioso..
Dà un alone di mistero avere una laurea in fisica e fare altro che non sia fisica..
sarebbe piaciuto anche a me fare una cosa del genere, non mi piacciono le cose scontate
@seven Se mi dai un pò di tempo cercherò di rispondere alla tua curiosità; inoltre, ho avuto alle superiori (solo per un anno) una professoressa di informatica laureatasi in fisica con indirizzo cibernetico... dato che ce lo disse alla fine dell'anno capimmo parecchie più cose!
"j18eos":
@seven Se mi dai un pò di tempo cercherò di rispondere alla tua curiosità; inoltre, ho avuto alle superiori (solo per un anno) una professoressa di informatica laureatasi in fisica con indirizzo cibernetico... dato che ce lo disse alla fine dell'anno capimmo parecchie più cose!
Mi sono un pò perso.. sono curioso di sapere di quale cuirosità parli
Ciao speculor, scusami ma non sono riuscito a comprendere quello che hai scritto (non perchè tu sia stato poco preciso, ci mancherebbe!). Forse non sono ancora maturo per accingermi in questi campi.
Detto questo, sto studiando Fisica Tecnica e, per dare un senso alle formule ed ai concetti che incontro e per non bloccarmi su ogni simbolo di integrale che vedo, sono obbligato a sostituire il termine "infinitesimo" con il termine "molto piccolo-piccolissimo" e a concepire l'integrale come una somma di molti addendi ognuno piccolissimo
Ciao!
Detto questo, sto studiando Fisica Tecnica e, per dare un senso alle formule ed ai concetti che incontro e per non bloccarmi su ogni simbolo di integrale che vedo, sono obbligato a sostituire il termine "infinitesimo" con il termine "molto piccolo-piccolissimo" e a concepire l'integrale come una somma di molti addendi ognuno piccolissimo
Ciao!
Per fare un esempio fisico, si consideri una fila di $[N+1]$ masse concentrate di massa $[m]$, passo $[a]$ e lunghezza $[l]$:
Nello spirito della discussione, la densità microscopica è rappresentata dalla seguente distribuzione:
$[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] ^^ [Na=l]$
La densità macroscopica si ottiene considerando la seguente funziona di prova, rappresentante la caratteristica dello strumento di misura:
$[varphi(x)=1/Delta] harr [|x-barx|<=Delta/2] vv [varphi(x)=0] harr [|x-barx|>Delta/2]$
ed integrando, per valutare la media effettuata dallo strumento di misura medesimo:
$[lambda_(macro)(barx)=\int_{-oo}^{+oo}varphi(x)lambda_(micro)(x)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=\int_{barx-Delta/2}^{barx+Delta/2}1/Delta\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=1/Deltam(Delta/a+O(1))] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=m/a(1+O(a/Delta))]$
Il termine $[O(a/Delta)]$ deve essere considerato per tener conto del fatto che, al variare di $[barx]$, il centro dell'operazione di media effettuata dallo strumento, a volte cade una massa puntiforme in più. Tuttavia, nello spirito della discussione, dato che $[a/Delta< <1]$, si può senz'altro considerare $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$. Quindi, mediante la teoria delle distribuzioni, si può considerare una "buona" funzione densità macroscopica $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$ al posto di una "cattiva" distribuzione densità microscopica $[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)]$. Se si vuole raggiungere lo stesso obiettivo senza una rigorosa formalizzazione matematica, come è giusto che sia in un manuale di Fisica applicata, si devono appunto utilizzare affermazioni un po' generiche del tipo "prendo un piccolo tratto $[Delta]$ di linea sufficientemente grande da contenere un elevato numero di masse puntiformi", a tutti gli effetti equivalenti all'operazione di media effettuata in precedenza.
Anche a me non sono mai piaciute le cose scontate. Tuttavia, in questo caso, avrei fatto molto volentieri un'eccezione. Voglio dire, per la Fisica ho sempre nutrito una passione smodata. Purtroppo, per motivi personali, mi sono laureato tardi. Ho insegnato per molti anni in una scuola privata, per lo più lezioni frontali con studenti di ogni livello. Qualche anno fa ho scoperto il mondo del Networking, Cisco per intenderci. Ti assicuro che è un campo veramente affascinante, non so se hai mai sentito parlare di protocolli di Routing o di altri argomenti del genere. In ogni modo, la branca più complessa e al tempo stesso più interessante è quella relativa ai Service Provider, è sorprendente quello che c'è dietro le quinte. E non parlo solo di tecnica, ma anche di logica ferrea. Di questi tempi, se dovessi consigliare un percorso, al di là della ricerca, non avrei dubbi a proporre quest'ultimo. Anche perchè, se riesci ad affermarti, puoi avere un'ottima gratificazione economica. Anche se è un po' tardi, sto cercando di prendere i certificati necessari per avviare la professione. Il problema è che si deve allestire anche un piccolo laboratorio, non basta studiare i manuali. Purtroppo, all'età di 43 anni, le battute di arresto sono all'ordine del giorno. Da più di un anno non riesco più a dedicare il tempo che dovrei. Al più presto, dovrei riprendere in mano la situazione e produrre lo sforzo finale per raggiungere l'obiettivo. Almeno lo spero, ripagherebbe solo in parte la delusione che ancora provo nel non essere riuscito a dedicarmi alla ricerca di base. Tra l'altro, ho appena letto la discussione che avevi aperto sul tuo percorso di studi, un po' datata purtroppo. Vuoi un consiglio, anche se in ritardo, per mettere veramente a frutto il tempo dedicato allo studio? Dedicati al Networking. Come dovresti sapere, il settore non conosce crisi, o meglio, è uno di quelli meno sottopposti alle intemperie di questi ultimi anni. Ti allego l'andamento del titolo:
Come vedi, al di là della profonda crisi che l'economia Americana ha conosciuto nel 2008, il trend è piuttosto stazionario. Nella fascia alta dei loro dispositivi, producono veri e propri gioielli di tecnologia atti ad implementare lo scambio di informazioni ad alta velocità. Sei giovane, se riuscissi a prendere i certificati di cui ti ho parlato, non te ne pentiresti. Quello di livello più alto prevede un esame a Bruxelles. Quindi, se senti anche la necessità di imparare bene l'Inglese, potresti unire le due cose. Certo, se il campo non ti piace oppure nutri altre passioni, allora è doveroso che tu faccia la tua strada. Ricordati:
Qualsiasi via è solo una via, e non c'è nessun affronto,
a se stessi o agli altri, nell'abbandonarla,
se questo è ciò che il tuo cuore ti dice di fare...
Esamina ogni via con accuratezza e ponderazione.
Provala tutte le volte che lo ritieni necessario.
Quindi poni a te stesso, e solamente a te stesso,
una domanda... Questa via ha un cuore?
Se lo ha, la via è buona. Se non lo ha, non serve a niente.
Carlos Castaneda, Gli insegnamenti di Don Juan
Nello spirito della discussione, la densità microscopica è rappresentata dalla seguente distribuzione:
$[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] ^^ [Na=l]$
La densità macroscopica si ottiene considerando la seguente funziona di prova, rappresentante la caratteristica dello strumento di misura:
$[varphi(x)=1/Delta] harr [|x-barx|<=Delta/2] vv [varphi(x)=0] harr [|x-barx|>Delta/2]$
ed integrando, per valutare la media effettuata dallo strumento di misura medesimo:
$[lambda_(macro)(barx)=\int_{-oo}^{+oo}varphi(x)lambda_(micro)(x)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=\int_{barx-Delta/2}^{barx+Delta/2}1/Delta\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=1/Deltam(Delta/a+O(1))] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=m/a(1+O(a/Delta))]$
Il termine $[O(a/Delta)]$ deve essere considerato per tener conto del fatto che, al variare di $[barx]$, il centro dell'operazione di media effettuata dallo strumento, a volte cade una massa puntiforme in più. Tuttavia, nello spirito della discussione, dato che $[a/Delta< <1]$, si può senz'altro considerare $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$. Quindi, mediante la teoria delle distribuzioni, si può considerare una "buona" funzione densità macroscopica $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$ al posto di una "cattiva" distribuzione densità microscopica $[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)]$. Se si vuole raggiungere lo stesso obiettivo senza una rigorosa formalizzazione matematica, come è giusto che sia in un manuale di Fisica applicata, si devono appunto utilizzare affermazioni un po' generiche del tipo "prendo un piccolo tratto $[Delta]$ di linea sufficientemente grande da contenere un elevato numero di masse puntiformi", a tutti gli effetti equivalenti all'operazione di media effettuata in precedenza.
"seven":
In che campo lavori? di che ti occupi? sono curioso. Dà un alone di mistero avere una laurea in fisica e fare altro che non sia fisica...sarebbe piaciuto anche a me fare una cosa del genere, non mi piacciono le cose scontate
Anche a me non sono mai piaciute le cose scontate. Tuttavia, in questo caso, avrei fatto molto volentieri un'eccezione. Voglio dire, per la Fisica ho sempre nutrito una passione smodata. Purtroppo, per motivi personali, mi sono laureato tardi. Ho insegnato per molti anni in una scuola privata, per lo più lezioni frontali con studenti di ogni livello. Qualche anno fa ho scoperto il mondo del Networking, Cisco per intenderci. Ti assicuro che è un campo veramente affascinante, non so se hai mai sentito parlare di protocolli di Routing o di altri argomenti del genere. In ogni modo, la branca più complessa e al tempo stesso più interessante è quella relativa ai Service Provider, è sorprendente quello che c'è dietro le quinte. E non parlo solo di tecnica, ma anche di logica ferrea. Di questi tempi, se dovessi consigliare un percorso, al di là della ricerca, non avrei dubbi a proporre quest'ultimo. Anche perchè, se riesci ad affermarti, puoi avere un'ottima gratificazione economica. Anche se è un po' tardi, sto cercando di prendere i certificati necessari per avviare la professione. Il problema è che si deve allestire anche un piccolo laboratorio, non basta studiare i manuali. Purtroppo, all'età di 43 anni, le battute di arresto sono all'ordine del giorno. Da più di un anno non riesco più a dedicare il tempo che dovrei. Al più presto, dovrei riprendere in mano la situazione e produrre lo sforzo finale per raggiungere l'obiettivo. Almeno lo spero, ripagherebbe solo in parte la delusione che ancora provo nel non essere riuscito a dedicarmi alla ricerca di base. Tra l'altro, ho appena letto la discussione che avevi aperto sul tuo percorso di studi, un po' datata purtroppo. Vuoi un consiglio, anche se in ritardo, per mettere veramente a frutto il tempo dedicato allo studio? Dedicati al Networking. Come dovresti sapere, il settore non conosce crisi, o meglio, è uno di quelli meno sottopposti alle intemperie di questi ultimi anni. Ti allego l'andamento del titolo:
Come vedi, al di là della profonda crisi che l'economia Americana ha conosciuto nel 2008, il trend è piuttosto stazionario. Nella fascia alta dei loro dispositivi, producono veri e propri gioielli di tecnologia atti ad implementare lo scambio di informazioni ad alta velocità. Sei giovane, se riuscissi a prendere i certificati di cui ti ho parlato, non te ne pentiresti. Quello di livello più alto prevede un esame a Bruxelles. Quindi, se senti anche la necessità di imparare bene l'Inglese, potresti unire le due cose. Certo, se il campo non ti piace oppure nutri altre passioni, allora è doveroso che tu faccia la tua strada. Ricordati:
Qualsiasi via è solo una via, e non c'è nessun affronto,
a se stessi o agli altri, nell'abbandonarla,
se questo è ciò che il tuo cuore ti dice di fare...
Esamina ogni via con accuratezza e ponderazione.
Provala tutte le volte che lo ritieni necessario.
Quindi poni a te stesso, e solamente a te stesso,
una domanda... Questa via ha un cuore?
Se lo ha, la via è buona. Se non lo ha, non serve a niente.
Carlos Castaneda, Gli insegnamenti di Don Juan
"seven":Per un matematico i concetti di funzione e di limite sono astratti per natura(*), ovvero sono concetti matematici come un'infinità di altri, a cui non è richiesto di avere una giustificazione fisica!
...Mi piacerebbe anche sapere cosa ne pensa qualche matematico della questione, vorrei sapere se loro accettano (o se è stato un trauma riconoscerlo) che i concetti di funzione e limite in realtà sono astratti e comportano considerazioni non giustificabili quantitativamente nell'analisi dei fenomeni fisici...
Non vorrei essere un Hardy che fu fiero di aver scritto di matematica pura priva di applicazioni pratiche(**), ma come matematico non me ne pò fregar de meno delle connessioni o dei divari tra i concetti matematici con le misurazioni e gli esperimenti fisici; ciò che mi interessa (come matematico) è l'ontologia del concetto e non della sua esistenza concreta.
Però, contro quanto ho affermato: trovo molto interessante studiare come la matematica sia utilizzata per modellizzare la realtà e i fenomeni percepiti in essa; ma questo è un interesse metamatematico in quanto si vuole studiare la matematica come strumento per le discipline pratiche...
Avrei tante cose da scrivere, non so se quello che ho scritto è attinente alla discussione, ed ad essere sincero preferisco non eccedere nel purismo matematico(***); molte altre cose mi sembrano inutili, altre possiedono la sola esistenza ma sono prive di modello
e altre chi lo sa; per obiezioni, domande, approfondimenti scrivete pure.@speculor Hai esposto entrambi gli esempi che avevo in mente, meglio di quanto avrei potuto fare.
Armando
§§§
(*) Si potrebbe filosofeggiare su cosa sia la natura, la natura astratta, e.o. ma non la si finirebbe più (come ogni discorso filosofico).
(**) Per sua fortuna fu smentito dopo venti anni dalla sua morte.
(***) Ragiono come un matematico puro e mi vorrei interessare di meccanica quantistica, sembra che le cose siano perfettamente conciliabili... lo spero per il mio bene! Lo scrivo proprio per dimostrare che non sono un purista.
"j18eos":
@speculor Hai esposto entrambi gli esempi che avevo in mente, meglio di quanto avrei potuto fare.
Ciao Armando. Sono onorato della tua approvazione. Anche perchè, pur non conoscendoti, ho l'impressione che tu sia molto in gamba. Mi par di capire che tu ti stia dedicando alla ricerca di base. In bocca al lupo e grazie.
"j18eos":[/quote]
[quote="seven"]
Avrei tante cose da scrivere, non so se quello che ho scritto è attinente alla discussione, ed ad essere sincero preferisco non eccedere nel purismo matematico(***); molte altre cose mi sembrano inutili, altre possiedono la sola esistenza ma sono prive di modello
Ovvio che quello che hai scritto è attinente alla discussione! anzi grazie dell'intervento.. quello che dici in fondo è ciò che rende la matematica unica nel suo genere tra le speculazioni umane, e che ne sancisce l'indipendenza dalle scienze..
Quello che mi stupisce spesso è il modo in cui viene applicata la matematica, alcune volte il suo utilizzo mi pare a sproposito.
Intento dire che molto spesso ho visto applicare alcuni concetti astratti per la risoluzione di svariati problemi ingneristici e fisici con giustificazioni poco plausibili, o che non reggono o non rispondono a tutti i dubbi.
Certe volte ho l'impressione che l'applicazione della matematica (però non so come avvenga modernamente) avvenga per tentativi, e mi sembra che per tentativi andavano anche Gauss, Lagrange, forse Eulero (magari sto dicendo tante eresie e verrò condannato al rogo dal forum
).. ma come vanno in verità le cose?PS. speculor grazie anche per i tui interventi, purtroppo ho dato solo una letta veloce ma sicuramente ritornerò sulle tue righe che mi interessano molto e che mi ricordano la prima lezione di fluidodinamica, non certo fatta a questto livello di dettaglio, e molto a parole
"speculor":Interessante
...
"seven":Non ne sarei così sicuro.
e che ne sancisce l'indipendenza dalle scienze
\OT
Grazie dei consigli speculor, e della poesia che hai riportato...
vorrei poterla ricordare nei momenti in cui la strada la si sceglie: so che la ricorderò ma non so se le darò ascolto
Quest'anno dovrei conseguire la laurea triennale in ingegneria meccanica, e mi tolgo questo peso..
E penso che continuerò questa via perchè comunque vorrei interessarmi alla ricerca e riniziare da capo
potrebbe voler dire arrivare troppo tardi. Credo che la ricerca di base sia tuttavia molto più affascinante
e sia quella la vera ricerca.
Di Networking non so nulla, ma anche tu dovevi saperne poco o niente dopo esserti laureato.
Ti faccio i miei migliori auguri e non mollare che sei a un passo
Riuscire a 43 anni a studiare per avviare un'attività partendo da zero non è da tutti, lo considero lodevole
Grazie dei consigli speculor, e della poesia che hai riportato...
vorrei poterla ricordare nei momenti in cui la strada la si sceglie: so che la ricorderò ma non so se le darò ascolto
Quest'anno dovrei conseguire la laurea triennale in ingegneria meccanica, e mi tolgo questo peso..
E penso che continuerò questa via perchè comunque vorrei interessarmi alla ricerca e riniziare da capo
potrebbe voler dire arrivare troppo tardi. Credo che la ricerca di base sia tuttavia molto più affascinante
e sia quella la vera ricerca.
Di Networking non so nulla, ma anche tu dovevi saperne poco o niente dopo esserti laureato.
Ti faccio i miei migliori auguri e non mollare che sei a un passo
Riuscire a 43 anni a studiare per avviare un'attività partendo da zero non è da tutti, lo considero lodevole
"seven":Non ne sarei così sicuro.[/quote]
e che ne sancisce l'indipendenza dalle scienze
Non volevo aprire una discussione su questo
anche perchè se ne è parlato spesso sul forum.Siamo d'accordo che molta matematica è stata scritta grazie alla fisica e per la fisica.
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