I limiti e le derivate in fisica
Spesso in fisica viene usato il concetto di limite quando si fanno tendere a zero aree di un corpo continuo; i cotinui però non esistono e dunque l'area si fa tendere a zero, "ma non troppo", perchè possa contenere un numero tale (nella realtà) di atomi/molecole tale che possa ancora approssimarsi come continuo.
Mi chiedo: non è improprio richiamare in questi contesti concetti rigorosi come quello di limite?
In modo particolare, le derivate di grandezze fisiche caratteristiche di corpi continui
si sostituiscono a "presunti" limiti, e questo funziona (nel senso dei confronti dei risultati del calcolo con i
dati sperimentali),
anche se io non saprei giustificare il perchè dell'uso del concetto di limite quando la grandezza che tende a zero
in realtà (per la natura del soggetto fisico descritta dal modello) non può tenderci.
Spero di essere stato chiaro.. insomma perchè questi "giochetti" funzionano?
non avrebbe senso, a parer mio, usare certe definizioni matematiche per puro aspetto estetico nella definizione di alcune grandezze fisiche, come quella di tensione in un continuo (ma ripeto, vale in un continuo, ma i corpi reali non sono continui, allora che senso ha fare un limite?puro aspetto estetico?)
Mi chiedo: non è improprio richiamare in questi contesti concetti rigorosi come quello di limite?
In modo particolare, le derivate di grandezze fisiche caratteristiche di corpi continui
si sostituiscono a "presunti" limiti, e questo funziona (nel senso dei confronti dei risultati del calcolo con i
dati sperimentali),
anche se io non saprei giustificare il perchè dell'uso del concetto di limite quando la grandezza che tende a zero
in realtà (per la natura del soggetto fisico descritta dal modello) non può tenderci.
Spero di essere stato chiaro.. insomma perchè questi "giochetti" funzionano?
non avrebbe senso, a parer mio, usare certe definizioni matematiche per puro aspetto estetico nella definizione di alcune grandezze fisiche, come quella di tensione in un continuo (ma ripeto, vale in un continuo, ma i corpi reali non sono continui, allora che senso ha fare un limite?puro aspetto estetico?)
Risposte
"seven":Meno male, è stato un piacere.
Ovvio che quello che hai scritto è attinente alla discussione! anzi grazie dell'intervento...
"seven":Dipende dal persona che legge, poi inoltre non conosco la storia della matematica; anche se per certi problemi di PDE (come quelle classiche del calore e delle onde) la soluzione si trova facendo un tentativo (la separazione delle variabili), senza alcuna garanzia, che poi a posteriori nel corso della storia si è dimostrato che si possa fare... e vabbé siamo uomini non angeli.
...magari sto dicendo tante eresie e verrò condannato al rogo dal forum...
"seven":Ti posso suggerire una discussione in atto qui sul forum!
...ma come vanno in verità le cose?...
OUT OF SELF TO speculor
Mettiamo un po di ordine... più che essere un matematico in gamba preferisco definirmi un matematico che tenta di distinguersi in positivo, e per la maggiore ci riesco!
La ricerca di base è un traguardo che spero di raggiungere dopo la mia laurea magistrale, ma come ho scritto al momento non ho la più pallida idea del settore da interessarmi; penso che aderirò alla prima offerta buona e stuzzicante che (spero) mi capiterà, da qualche parte, anche l'Italia dell'eccellenza.
Infine, non sono un bravo scrittore, preferisco le spiegazioni orali; quando leggo buone esposizioni provo un'invidia che mi spinge a imitare ed a lavorare sempre meglio.
Ci si legge ragazzi... ooops bimbi!
"j18eos":
Ci si legge ragazzi... ooops bimbi!
non l'ho capita.. ?
Ho scritto una crasi voluta! 
Più che ridere, mi fa sorridere alla follia, così 
Più che ridere, mi fa sorridere alla follia, così
Salve, allora posto qui perché ritengo che questo sia il topic più azzeccato in cui scrivere.
Volevo parlare dell'equazione della conduzione del calore, di Fourier.
Innanzitutto, come per ogni equazione fisica, cerco di capire in che modo si è giunti all'equazione, che in questo caso è: $Q=k*A*Delta t *(T_2-T_1)/l$.
Premetto che i dati sperimentali che scriverò ora sono inventati.
Consideriamo una superficie a facce piane parallele, avente per esempio un'area superficiale di 48, uno spessore di 0,25, avente le due facce rispettivamente alle temperature costanti di 4 e 15. Facciamo partire il cronometro, e fermiamolo all'istante 25. Misuriamo poi la quantità di calore che ha attraversato il solido per conduzione, ottenendo un valore di 4500 (dati numerici inventati).
Facciamo altre misurazioni delle stesse grandezze fisiche e raggruppiamo tutti i dati sperimentali in una tabella nel modo seguente:
SPESSORE=0,25|AREA SUPERFICIALE=48!TEMPERATURA FACCIA 1=4|TEMPERATURA FACCIA 2=15|TEMPO=3600|CALORE=4500
SPESSORE=2|AREA SUPERFICIALE=100!TEMPERATURA FACCIA 1=37|TEMPERATURA FACCIA 2=15|TEMPO=28|CALORE=970
SPESSORE=2,7|AREA SUPERFICIALE=98!TEMPERATURA FACCIA 1=22|TEMPERATURA FACCIA
2=25|TEMPO=105|CALORE=742
.........................................................................................
Una volta che abbiamo ottenuto un numero consistente di dati sperimentali delle grandezze fisiche in questione, ci poniamo il problema di capire se c'è una FUNZIONE MATEMATICA che riesce a descrivere in modo abbastanza fedele quest'insieme di valori numerici sperimentali. La funzione matematica è dunque uno strumento che la Fisica utilizza per sintetizzare e descrivere in maniera efficiente una serie di dati empirici.
Nel nostro caso, Fourier ha scoperto che la funzione risulta essere una funzione da $RR^5->RR$ del tipo $(k*a*(b-c)*d)/e$ (1), dove $k$ è una funzione costante (coefficiente di conducibilità termica) e le lettere dell'alfabeto fino alla $e$ rappresentano rispettivamente l'area superficiale, la temperatura della seconda faccia, la temperatura della prima faccia, il tempo, e lo spessore della parete. L'immagine (output) della funzione rappresenta il calore. Supponiamo che nel nostro caso $k=2$, allora l'insieme dei dati sperimentali sarà descritto dalla funzione $(2*a*(b-c)*d)/e$. In alternativa, anziché descrivere il fenomeno fisico tramite la funzione (1) possiamo utilizzare l'EQUAZIONE (2) $f=(2*a*(b-c)*d)/e$; al primo membro dell'equazione c'è la funzione identità $f$, e al secondo membro la funzione (1). La (2), scritta in modo più familiare altro non è che la $Q=k*A*Delta t *(T_2-T_1)/l$
Spero di aver detto fin qui cose corrette e di aver compreso, seppur a grandi linee, il modo di procedere della Fisica e l'importanza in Fisica dello strumento matematico "funzione" (e equazione, alternativamente). Detto questo, non capisco quando il libro dice: "Nel caso limite di $l->0$, l'equazione $Q=k*A*Delta t *(T_2-T_1)/l$ si riduce all'espressione differenziale $(dQ)/(dt)=k*A*(dT/dx)$. Spero di essere stato chiaro (anche se molto sintetico). Grazie mille
Volevo parlare dell'equazione della conduzione del calore, di Fourier.
Innanzitutto, come per ogni equazione fisica, cerco di capire in che modo si è giunti all'equazione, che in questo caso è: $Q=k*A*Delta t *(T_2-T_1)/l$.
Premetto che i dati sperimentali che scriverò ora sono inventati.
Consideriamo una superficie a facce piane parallele, avente per esempio un'area superficiale di 48, uno spessore di 0,25, avente le due facce rispettivamente alle temperature costanti di 4 e 15. Facciamo partire il cronometro, e fermiamolo all'istante 25. Misuriamo poi la quantità di calore che ha attraversato il solido per conduzione, ottenendo un valore di 4500 (dati numerici inventati).
Facciamo altre misurazioni delle stesse grandezze fisiche e raggruppiamo tutti i dati sperimentali in una tabella nel modo seguente:
SPESSORE=0,25|AREA SUPERFICIALE=48!TEMPERATURA FACCIA 1=4|TEMPERATURA FACCIA 2=15|TEMPO=3600|CALORE=4500
SPESSORE=2|AREA SUPERFICIALE=100!TEMPERATURA FACCIA 1=37|TEMPERATURA FACCIA 2=15|TEMPO=28|CALORE=970
SPESSORE=2,7|AREA SUPERFICIALE=98!TEMPERATURA FACCIA 1=22|TEMPERATURA FACCIA
2=25|TEMPO=105|CALORE=742
.........................................................................................
Una volta che abbiamo ottenuto un numero consistente di dati sperimentali delle grandezze fisiche in questione, ci poniamo il problema di capire se c'è una FUNZIONE MATEMATICA che riesce a descrivere in modo abbastanza fedele quest'insieme di valori numerici sperimentali. La funzione matematica è dunque uno strumento che la Fisica utilizza per sintetizzare e descrivere in maniera efficiente una serie di dati empirici.
Nel nostro caso, Fourier ha scoperto che la funzione risulta essere una funzione da $RR^5->RR$ del tipo $(k*a*(b-c)*d)/e$ (1), dove $k$ è una funzione costante (coefficiente di conducibilità termica) e le lettere dell'alfabeto fino alla $e$ rappresentano rispettivamente l'area superficiale, la temperatura della seconda faccia, la temperatura della prima faccia, il tempo, e lo spessore della parete. L'immagine (output) della funzione rappresenta il calore. Supponiamo che nel nostro caso $k=2$, allora l'insieme dei dati sperimentali sarà descritto dalla funzione $(2*a*(b-c)*d)/e$. In alternativa, anziché descrivere il fenomeno fisico tramite la funzione (1) possiamo utilizzare l'EQUAZIONE (2) $f=(2*a*(b-c)*d)/e$; al primo membro dell'equazione c'è la funzione identità $f$, e al secondo membro la funzione (1). La (2), scritta in modo più familiare altro non è che la $Q=k*A*Delta t *(T_2-T_1)/l$
Spero di aver detto fin qui cose corrette e di aver compreso, seppur a grandi linee, il modo di procedere della Fisica e l'importanza in Fisica dello strumento matematico "funzione" (e equazione, alternativamente). Detto questo, non capisco quando il libro dice: "Nel caso limite di $l->0$, l'equazione $Q=k*A*Delta t *(T_2-T_1)/l$ si riduce all'espressione differenziale $(dQ)/(dt)=k*A*(dT/dx)$. Spero di essere stato chiaro (anche se molto sintetico). Grazie mille
"lisdap":
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Spero di aver detto fin qui cose corrette e di aver compreso, seppur a grandi linee, il modo di procedere della Fisica e l'importanza in Fisica dello strumento matematico "funzione" (e equazione, alternativamente). Detto questo, non capisco quando il libro dice: "Nel caso limite di $l->0$, l'equazione $Q=k*A*Delta t *(T_2-T_1)/l$ si riduce all'espressione differenziale $(dQ)/(dt)=k*A*(dT/dx)$. Spero di essere stato chiaro (anche se molto sintetico). Grazie mille
Ciao Lisdap, come stai? Io così così....
Non sono un fisico teorico o un matematico puro, ma penso che non ci voglia molto a rispondere al tuo dubbio. La tua equazione, che si scrive meglio in questo modo :
$\DeltaQ=k*A*Delta t *(T_2-T_1)/l rightarrow (DeltaQ)/(Deltat) = kA (DeltaT)/(Deltax) $
quando $Deltax rightarrow0 $ diventa l'espressione differenziale : $(dQ)/(dt)=k*A*(dT)/(dx)$
Ma sentiamo in proposito anche i pareri e le considerazioni, migliori delle mie, di altri.
Ciao navigatore...come mai così così? Che la terraferma non fa per te? Quanto al topic, purtroppo continuo a non capire il senso di quelle "espressioni diferenziali".Metto in palio una pizza virtuale al primo che mi farà capire
Nel linguaggio dei comuni mortali, "così così" vuol dire che certe cosuccie non vanno proprio benissimo.
Per una pizza reale: non ti è chiaro come passare dal rapporto incrementale di una funzione alla derivata della stessa? Con un passaggio al limite, facendo tendere a zero l'incremento della variabile indipendente.
Per una pizza reale: non ti è chiaro come passare dal rapporto incrementale di una funzione alla derivata della stessa? Con un passaggio al limite, facendo tendere a zero l'incremento della variabile indipendente.
Se vuoi rigore devi rifarti a un tsto di fisica matematica
Ciao allora, nel libro di Fisica c'è scritta l'equazione $dQ=-k*dS*(del T)/(del x)$.
$del/(del x)$ dovrebbe essere l'operatore di derivata parziale applicato alla funzione di quattro variabili $T(x,y,z,t)$, le lettere $d$, invece, in accordo con ciò che ho studiato sul libro di Analisi, dovrebbero indicare l'operatore di differenziale applicato alle funzioni indicate con $S$ e con $Q$.
Siete d'accordo?
$del/(del x)$ dovrebbe essere l'operatore di derivata parziale applicato alla funzione di quattro variabili $T(x,y,z,t)$, le lettere $d$, invece, in accordo con ciò che ho studiato sul libro di Analisi, dovrebbero indicare l'operatore di differenziale applicato alle funzioni indicate con $S$ e con $Q$.
Siete d'accordo?
"lisdap":
∂∂x dovrebbe essere l'operatore di derivata parziale applicato alla funzione di quattro variabili T(x,y,z,t), le lettere d, invece, in accordo con ciò che ho studiato sul libro di Analisi, dovrebbero indicare l'operatore di differenziale applicato alle funzioni indicate con S e con Q
Dal punto di vista strettamente matematico è giusto ma leggendo i post precedenti ho l'impressione che le tue difficoltà nel capire come si arriva "ad infilare" le espressioni differenziali nelle equazioni, derivino dal fatto che non attribuisci alle espressioni differenziali il loro significato fisico/intuitivo di "piccole variazioni". Finché ragioni in termini di "operatori" e "applicazioni lineari" per i vari dx, credo che non ne esci
Ummm, quindi secondo te la lettera $d$ nelle formule di fisica non simboleggia l'operatore di differenziale, come è scritto sui libri di Analisi?
E che cosa significa $dQ$, $dS$. Secondo il simbolismo matematico, scritture di questo tipo dovrebbero rappresentare "ciò che si ottiene applicando l'operatore d alle funzioni Q ed S$. E invece? Cosa rappresenta?
Il mencuccini-silvestrini fa un discorso rigoroso sul concetto di differenziale, e poi è possibile che questo rigore viene meno nelle prime formule? Proprio non capisco il perché di tutta questa confusione.
Grazie:)
E che cosa significa $dQ$, $dS$. Secondo il simbolismo matematico, scritture di questo tipo dovrebbero rappresentare "ciò che si ottiene applicando l'operatore d alle funzioni Q ed S$. E invece? Cosa rappresenta?
Il mencuccini-silvestrini fa un discorso rigoroso sul concetto di differenziale, e poi è possibile che questo rigore viene meno nelle prime formule? Proprio non capisco il perché di tutta questa confusione.
Grazie:)
"lisdap":
quindi secondo te la lettera d nelle formule di fisica non simboleggia l'operatore di differenziale
hei...calma...io non ho detto questo
. Certo che è l'operatore differenziale, ma il significato "concreto" di dS o di dQ è "variazione infinitesima" delle quantità S e Q.
Ok, allora, se $d$ indica in quelle formule l'operatore di differenziale, $Q$ ed $S$ dovrebbero essere delle funzioni, visto che l'operatore di differenziale agisce sulle funzioni (come quello di derivata, di integrale ecc...). Tuttavia, non riesco a capire quali funzioni $Q$ ed $S$ rappresentano, $Q$ potrebbe essere la funzione che descrive la quantità di calore che attraversa una superficie all'interno del materiale al trascorrere del tempo...ma $S$...che funzione è?
"lisdap":
Ok, allora, se $d$ indica in quelle formule l'operatore di differenziale, $Q$ ed $S$ dovrebbero essere delle funzioni, visto che l'operatore di differenziale agisce sulle funzioni (come quello di derivata, di integrale ecc...). Tuttavia, non riesco a capire quali funzioni $Q$ ed $S$ rappresentano, $Q$ potrebbe essere la funzione che descrive la quantità di calore che attraversa una superficie all'interno del materiale al trascorrere del tempo...ma $S$...che funzione è?
mmm... S sarà una superficie?hai dato un'occhiata a quelle due pagine che ho caricato?
o meglio.. dS è il differenziale della funzione che definisce l'area della superficie considerata di normale esterna $\vec{n}$; il tuo è un caso monodimensionale.
Ciao seven, non ho ben capito come "funziona" la funzione indicata con S. In uscitya tale funzione restituisce numeri, come hai detto. Ma in entrata, cosa prende?
Ti ringrazio collega!
Ti ringrazio collega!
"lisdap":
non ho ben capito come "funziona" la funzione indicata con S. In uscitya tale funzione restituisce numeri, come hai detto. Ma in entrata, cosa prende?
Se ad esempio stai considerando una parete, S potrebbe essere funzione della sola distanza da uno spigolo della parete, oppure S potrebbe essere funzione delle coordinate di quattro punti sulla parte e S ti darebbe l'area del rettangolo delimitato dai quattro punti, oppure.....le possibilità sono infinite. Se in generale S è funzione di n variabli \(\displaystyle x_{i} \) avresti che
\(\displaystyle dS=\frac{\partial S}{\partial x_{1}}dx_{1}+ ... + \frac{\partial S}{\partial x_{n}}dx_{n} \)
Ma il punto, qui, è che ai fini della formula che stai ricavando per dQ, non ha nessuna importanza quali siano le variabili da cui dipende S. A te interessa introdurre nella formula la porzione infinitesima di S che è attraversata dal calore e questa porzione viene indicata con il differenziale dS di S (perché, ricordo, il significato concreto di dS è appunto quello di "piccola variazione di S").
Visto che ti interessano i dettagli matematici, probabilmente ci sarebbe qualcosa da ridire sull'uso della notazione dQ al posto di \(\displaystyle \delta Q \) poiché è noto che il calore Q di un sistema non è una funzione di stato e quindi la sua variazione non è un differenziale esatto.
"mathbells":
Ma il punto, qui, è che ai fini della formula che stai ricavando per dQ, non ha nessuna importanza quali siano le variabili da cui dipende S. A te interessa introdurre nella formula la porzione infinitesima di S che è attraversata dal calore e questa porzione viene indicata con il differenziale dS di S (perché, ricordo, il significato concreto di dS è appunto quello di "piccola variazione di S").
Ciò che non ho quotato è tutto chiaro. Quanto a ciò che ho quotato, la matematica ci dice che il differenziale di una funzione da R a R è una funzione da R^2 a R, giusto? E allora, se il differenziale di una funzione altro non è che un'altra funzione, cosa c'entra la parola infinitesima? Perché la porzione infinitesima di S viene indicata con il differenziale di S se quest'ultimo è una funzione (e dunque nulla c'entra con la porzione infinitesima)? E poi, che significa porzione infinitesima di superficie?
Ti ringrazio!
Una superficie è parametrizzata in due parametri appartenenti a intervalli definiti... prendi ad esempio una sfera, i parametri saranno $\phi$ e $\theta$ di cui sai il significato, come sai gli intervalli in cui variano; $r$ raggio della sfera è fissato. I punti di una superficie hanno coordinate $x_i=f_i(u,v) \quad i=1,2,3 \quad u\in I_1 \quad v\in I_2$ e ne costituiscono il supporto, ovvero quello che noi intendiamo comunemente come superficie. Questo perchè a diverse parametrizzazioni può corrrispondere lo stesso supporto, anche se la superficie formalmente è differente.
Per quanto riguarda quel $dS$ scrive superficie su Wikipedia e vedi cos'è.
Per quanto riguarda quel $dS$ scrive superficie su Wikipedia e vedi cos'è.
"seven":
Una superficie è parametrizzata in due parametri appartenenti a intervalli definiti... prendi ad esempio una sfera, i parametri saranno $\phi$ e $\theta$ di cui sai il significato, come sai gli intervalli in cui variano; $r$ raggio della sfera è fissato. I punti di una superficie hanno coordinate $x_i=f_i(u,v) \quad i=1,2,3 \quad u\in I_1 \quad v\in I_2$ e ne costituiscono il supporto, ovvero quello che noi intendiamo comunemente come superficie. Questo perchè a diverse parametrizzazioni può corrrispondere lo stesso supporto, anche se la superficie formalmente è differente.
Per quanto riguarda quel $dS$ scrive superficie su Wikipedia e vedi cos'è.
Ciao seven, allora, ricapitoliamo un attimo. Prendiamo una certa porzione di materia e sezioniamola. isoliamo quindi una parte della sezione. La superficie così isolata, come hai giustamente detto sopra, potrà in generale essere descritta matematicamente attraverso una funzione da $RR^2->RR^3$, che indico con $a$. L'insieme delle immagini di $a$, se disegnato nello spazio $RR^3$, sarà il nostro pezzo della sezione del materiale. A questo punto, se prendo l'operatore che il mio libro di Analisi chiama "area di una superficie" e gli dò in input la funzione $a$, ottengo come output un numero reale che geometricamente può essere interpretato come il valore dell'area della nostra superficie. Fin qui non ho fatto altro che ribadire ciò che hai detto nell'ultimo post. Ora, in qualche post più su hai detto: "dS è il differenziale della funzione che che definisce l'area della superficie considerata". Ecco, non ho capito bene questa frase. Stando a quello che ho scritto, la superficie considerata (la porzione della sezione del materiale) è descritta matematicamente da una funzione da $RR^2->RR^3$ (l'insieme delle immagini di questa funzione, il sostegno, rappresenta la superficie), Il valore numerico della sua area, poi, si ottiene poi applicando alla funzione $a$ l'operatore "area di una superficie". Per concludere, nel mio discorso l'unica funzione che definisce l'area della superficie considerata è l'operatore "area di una superficie". Tuttavia, quest'ultimo non è proprio una funzione, in quanto prende in input funzioni e restituisce numeri (e dunque non credo gli si possa applicare l'operatore di differenziale, visto che il differenziale prende in input funzioni e non operatori). Quindi ribadisco la mia domanda: cosa intendi di preciso per "funzione che definisce l'area della superficie considerata"?
Ti ringrazio immensamente!
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