Hamiltoniano in Moto a spirale
Heilà, sono tornata ragazzi ...
con un nuovo dubbio
.
Devo ricavare la funzione di Hamilton in funzione della coordinata $z$ di una particella di massa $m$ che si muove lungo una spirale il cui asse corrisponde all'asse $z$ . La lunghezza totale della spirale viene chiamata $l$ , il raggio $R$ e il numero totale di spire è $N$ .
Ho pensato di ricavare l'energia cinetica totale della particella nel seguente modo
$T = 1/2 m dot(z)^2 + 1/2 I dot(varphi)^2$
dove $I$ è il momento di inerzia che ricavo come $I = mR^2$ quindi riscrivo tutto come
$T = 1/2 m dot(z)^2 + 1/2 mR^2 dot(varphi)^2$
Il mio problema è trovare la relazione tra $dot(varphi)$ e $dot(z)$
potreste aiutarmi
?
con un nuovo dubbio
. Devo ricavare la funzione di Hamilton in funzione della coordinata $z$ di una particella di massa $m$ che si muove lungo una spirale il cui asse corrisponde all'asse $z$ . La lunghezza totale della spirale viene chiamata $l$ , il raggio $R$ e il numero totale di spire è $N$ .
Ho pensato di ricavare l'energia cinetica totale della particella nel seguente modo
$T = 1/2 m dot(z)^2 + 1/2 I dot(varphi)^2$
dove $I$ è il momento di inerzia che ricavo come $I = mR^2$ quindi riscrivo tutto come
$T = 1/2 m dot(z)^2 + 1/2 mR^2 dot(varphi)^2$
Il mio problema è trovare la relazione tra $dot(varphi)$ e $dot(z)$
potreste aiutarmi
?
Risposte
Tu sai bene che tra ulisse e nausicaa ci fu amore. Ma poi ulisse riprese il mare, perché lui navigava....
Le vostre soluzioni sono molto allettanti , ma temo che manchi qualcosa ...
La mia hamiltoniana è:
\[
H= \frac {1}{2m} \cdot {p_{z}}^{2} \cdot \left( 1+\frac {4\pi^{2} R^{2}}{b^{2}} \right) +mgz
\]
Usando le eq. di Hamilton $dot(z)=(\partial H)/(\partial p)$ e $dot(p)=-(\partial H)/(\partial z)$ mi viene
1)
\[
\dot{z} = \frac{p_{z}}{m} \cdot \left( 1+\frac {4\pi^{2} R^{2}}{b^{2}} \right)
\]
2)
\[
m\ddot{z} = -mg \Rightarrow \ddot {z} =-g
\]
e questo mi pare strano perchè significherebbe che il corpo ha la stessa accelerazione che avrebbe se fosse in caduta libera . Inoltre l'eq. 1 non mi porta a nessun risultato sensato . Un ulteriore punto dell'es. chiede di dimostrare che per $R \to 0$ allora $ \ddot {z} =-g$ .
Che ne pensate ?
La mia hamiltoniana è:
\[
H= \frac {1}{2m} \cdot {p_{z}}^{2} \cdot \left( 1+\frac {4\pi^{2} R^{2}}{b^{2}} \right) +mgz
\]
Usando le eq. di Hamilton $dot(z)=(\partial H)/(\partial p)$ e $dot(p)=-(\partial H)/(\partial z)$ mi viene
1)
\[
\dot{z} = \frac{p_{z}}{m} \cdot \left( 1+\frac {4\pi^{2} R^{2}}{b^{2}} \right)
\]
2)
\[
m\ddot{z} = -mg \Rightarrow \ddot {z} =-g
\]
e questo mi pare strano perchè significherebbe che il corpo ha la stessa accelerazione che avrebbe se fosse in caduta libera . Inoltre l'eq. 1 non mi porta a nessun risultato sensato . Un ulteriore punto dell'es. chiede di dimostrare che per $R \to 0$ allora $ \ddot {z} =-g$ .
Che ne pensate ?
Un ulteriore punto dell'es. chiede di dimostrare che per R→0 allora z¨=−g
per R=0 la lagrangiana del sistema diventa $L=1/2m dot z^2-mgz$
scrivendo le equazioni di lagrange si ottiene immediatamente $ddot z=-g$
Io per ricavare l'equazione del moto ho utilizzato le equazioni di lagrange perchè faccio prima, mi vien un risultato diverso:
$ddot z= -g/(4\pi^2R^2/b^2+1)$ dove $b=1/N(l^2-4\pi^2R^2N^2)^{1/2}$
da notare che se poni $R=0$ ottieni il risultato cercato! ti soddisfa principessa?
Devi aver sbagliato a fare i conti
$ddot z= -g/(4\pi^2R^2/b^2+1)$ dove $b=1/N(l^2-4\pi^2R^2N^2)^{1/2}$
da notare che se poni $R=0$ ottieni il risultato cercato! ti soddisfa principessa?
Devi aver sbagliato a fare i conti
Si Baldo , ma secondo me c'è comunque qualcosa che manca , perchè devo anche risolvere le eq. differenziali con le condizioni iniziali che devo scovare io..
ma secondo me c'è comunque qualcosa che manca
cosa manca secondo te?
perchè devo anche risolvere le eq. differenziali
l'equazione che ho scritto è banale e sono sicuro che sai risolverla
con le condizioni iniziali che devo scovare io
Le condizioni iniziali devono essere date dal testo del problema, ne puoi avere un numero infinito in teoria...
la scelta più ovvia è
$z(0)=0$ $dot z=0$
capito?
Si, ma non credo che sia così banale . Eventualmente , se mi danno la soluzione corretta vi faccio sapere . Per ora grazie 
Io non so se la soluzione sia corretta però è sicuramente sensata dal punto di vista fisico , la formula
$ddot z= -g/(4\pi^2R^2/b^2+1)$ dice che il corpo lungo l'asse z si muove di moto uniformemente accelerato, da notare che che per R=0 ottieni $ddot z=-g$ che è supersensato da un punto di vista fisico, l'equazione del moto di una particella che cade nel campo di gravità terrestre. Quando R è diverso da 0 io mi aspetto che la particella acceleri lungo z ma che comunque l'accelerazione dovrà essere inferiore a $g$ cosa che si vede palesemente dalla formula che ho ricavato. Se studi fisica cerca sempre di ragionare da un punto di vista fisico chiedendoti: sono sensate da un punto di vista fisico le soluzioni che ottengo?
$ddot z= -g/(4\pi^2R^2/b^2+1)$ dice che il corpo lungo l'asse z si muove di moto uniformemente accelerato, da notare che che per R=0 ottieni $ddot z=-g$ che è supersensato da un punto di vista fisico, l'equazione del moto di una particella che cade nel campo di gravità terrestre. Quando R è diverso da 0 io mi aspetto che la particella acceleri lungo z ma che comunque l'accelerazione dovrà essere inferiore a $g$ cosa che si vede palesemente dalla formula che ho ricavato. Se studi fisica cerca sempre di ragionare da un punto di vista fisico chiedendoti: sono sensate da un punto di vista fisico le soluzioni che ottengo?
Avevi ragione su tutta la linea Baldo . Scusa , a volte mi complico la vita da sola ! 
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