Hamiltoniano in Moto a spirale
Heilà, sono tornata ragazzi ...
con un nuovo dubbio
.
Devo ricavare la funzione di Hamilton in funzione della coordinata $z$ di una particella di massa $m$ che si muove lungo una spirale il cui asse corrisponde all'asse $z$ . La lunghezza totale della spirale viene chiamata $l$ , il raggio $R$ e il numero totale di spire è $N$ .
Ho pensato di ricavare l'energia cinetica totale della particella nel seguente modo
$T = 1/2 m dot(z)^2 + 1/2 I dot(varphi)^2$
dove $I$ è il momento di inerzia che ricavo come $I = mR^2$ quindi riscrivo tutto come
$T = 1/2 m dot(z)^2 + 1/2 mR^2 dot(varphi)^2$
Il mio problema è trovare la relazione tra $dot(varphi)$ e $dot(z)$
potreste aiutarmi
?
con un nuovo dubbio
. Devo ricavare la funzione di Hamilton in funzione della coordinata $z$ di una particella di massa $m$ che si muove lungo una spirale il cui asse corrisponde all'asse $z$ . La lunghezza totale della spirale viene chiamata $l$ , il raggio $R$ e il numero totale di spire è $N$ .
Ho pensato di ricavare l'energia cinetica totale della particella nel seguente modo
$T = 1/2 m dot(z)^2 + 1/2 I dot(varphi)^2$
dove $I$ è il momento di inerzia che ricavo come $I = mR^2$ quindi riscrivo tutto come
$T = 1/2 m dot(z)^2 + 1/2 mR^2 dot(varphi)^2$
Il mio problema è trovare la relazione tra $dot(varphi)$ e $dot(z)$
potreste aiutarmi
?
Risposte
spirale o elica?
Penso più elica perchè il raggio R è fisso
infatti mi sembrava 
Quindi sai come procedere Baldo89 ?
Principessa Nausica secondo me non ci sono abbastanza dati per rispondere alla domanda, la formula che scrivi è sicuramente corretta, epperò questo è un sistema con 2 gradi di libertà quindi la relazione tra $phi$ e z con i dati in tuo possesso non la trovi...
dove hai preso questo problema?
dove hai preso questo problema?
Il passo dell'elica è costante ? non è specificato nel testo
La particella è soggetta alla forza di gravità lungo l'asse z?
Il problema non è ben formulato
La particella è soggetta alla forza di gravità lungo l'asse z?
Il problema non è ben formulato
Ecco il testo del problema :
Nel campo gravitazionale terrestre una perla di massa m scivola senza attrito lungo una spirale (c’è un disgeno è proprio un elica !) . La spirale ha raggio $R$ lunghezza $l$ ed è costituita in totale da $N$ spire . L’asse della spirale è perpendicolare alla superficie terrestre . Scegliere un sistema di coordinate il cui asse z sia coincidente con l’asse della spirale e impostare $z$ come coordinata generalizzata della particella . Determinare l’hamiltoniana $H(z; p_{z})$ del movimento della perla lungo la spirale .
Nel campo gravitazionale terrestre una perla di massa m scivola senza attrito lungo una spirale (c’è un disgeno è proprio un elica !) . La spirale ha raggio $R$ lunghezza $l$ ed è costituita in totale da $N$ spire . L’asse della spirale è perpendicolare alla superficie terrestre . Scegliere un sistema di coordinate il cui asse z sia coincidente con l’asse della spirale e impostare $z$ come coordinata generalizzata della particella . Determinare l’hamiltoniana $H(z; p_{z})$ del movimento della perla lungo la spirale .
ci provo e poi ti faccio sapere entro sta sera, epperò per risolverlo assumo che il passo dell'elica sia costante, dalla figura il passo ti sembra costante? comunque forse viene assunta come una cosa ovvia
LA Geometria differenziale non è proprio il mio campo, però mi viene in mente questo.
E' data un'elica cilindrica , che si avvolge su un cilindro di raggio $R$, ed è noto il numero totale di spire $N$ e la lunghezza della curva pari a $l$. Per una rotazione di $2\pi$ del raggio vettore, l'origine dello stesso si sposta sull'asse $z$ di una quantità pari al "passo" dell'elica ( distanza tra due spire successive). L'equazione parametrica della curva, con parametro l'angolo $\phi$, dovrebbe essere :
$\alpha(\phi) = ( Rcos\phi,Rsen\phi,b\phi)$
dove $R$ è il raggio del cilindro, e $b$ è il passo dell'elica.
Se sviluppo in piano un cilindro, che ha per base la lunghezza $2\piR*N$ e per diagonale la lunghezza data dell'elica $l$ , l'altezza del cilindro, cioè del rettangolo che ne rappresenta lo sviluppo, è facilmente determinabile, ed è uguale a $N*b$.
E così pure la "pendenza" $\theta$ dell'elica che è costante in tutti i punti : $tg\theta = b/(2piR)$.
Per una rotazione pari a $d\phi$ del raggio vettore, il punto si sposta in quota di $dz = tg\theta*R*d\phi = b/(2pi)*d\phi$.
Che vi sembra, può essere giusto ?
E' data un'elica cilindrica , che si avvolge su un cilindro di raggio $R$, ed è noto il numero totale di spire $N$ e la lunghezza della curva pari a $l$. Per una rotazione di $2\pi$ del raggio vettore, l'origine dello stesso si sposta sull'asse $z$ di una quantità pari al "passo" dell'elica ( distanza tra due spire successive). L'equazione parametrica della curva, con parametro l'angolo $\phi$, dovrebbe essere :
$\alpha(\phi) = ( Rcos\phi,Rsen\phi,b\phi)$
dove $R$ è il raggio del cilindro, e $b$ è il passo dell'elica.
Se sviluppo in piano un cilindro, che ha per base la lunghezza $2\piR*N$ e per diagonale la lunghezza data dell'elica $l$ , l'altezza del cilindro, cioè del rettangolo che ne rappresenta lo sviluppo, è facilmente determinabile, ed è uguale a $N*b$.
E così pure la "pendenza" $\theta$ dell'elica che è costante in tutti i punti : $tg\theta = b/(2piR)$.
Per una rotazione pari a $d\phi$ del raggio vettore, il punto si sposta in quota di $dz = tg\theta*R*d\phi = b/(2pi)*d\phi$.
Che vi sembra, può essere giusto ?
si si è costante . GRAZIE 
EDIT non leggete è tutto sbagliato
Propongo la mia soluzione assumendo il passo costante:
l'energia cinetica è: $T=(r^2 \dot phi^2+\dot z^2)$
Assumo che all'istante di tempo t=0 la perla si trovi nell'origine e assumo che il verso dell'asse z sia coincidente con il verso della accelerazione di gravità, quindi $z=1/2 g t^2$ quindi $dot z$ =$(g)(t)$ poi sappiamo che $\phi=2\pi/T t$ il passo dell'elica è$ l/N$
quindi la relazione tra il periodo ed il passo sarà: $l/N=1/2gT^2$ quindi $dot phi =2\(pi)((Ng/(2l)))^{1/2}$ poi sostituisci e trovi l'energia cinetica, l'energia potenziale è banale.
cosa ne pensate?
Propongo la mia soluzione assumendo il passo costante:
l'energia cinetica è: $T=(r^2 \dot phi^2+\dot z^2)$
Assumo che all'istante di tempo t=0 la perla si trovi nell'origine e assumo che il verso dell'asse z sia coincidente con il verso della accelerazione di gravità, quindi $z=1/2 g t^2$ quindi $dot z$ =$(g)(t)$ poi sappiamo che $\phi=2\pi/T t$ il passo dell'elica è$ l/N$
quindi la relazione tra il periodo ed il passo sarà: $l/N=1/2gT^2$ quindi $dot phi =2\(pi)((Ng/(2l)))^{1/2}$ poi sostituisci e trovi l'energia cinetica, l'energia potenziale è banale.
cosa ne pensate?
Baldo,
non mi torna che il passo dell' elica sia $l/N$.....Hai letto quello che io penso sia il modo di calcolare il passo ?
non mi torna che il passo dell' elica sia $l/N$.....Hai letto quello che io penso sia il modo di calcolare il passo ?
si divo riflettere su alcune cose navigatore però ....
mi sono reso conto di aver scritto un mare di sciocchezze
scusate
mi sono reso conto di aver scritto un mare di sciocchezze
scusate
EDIT altra sciocchezza (l mica è l'altezza dell'elica)
comunque direi che il passo è $l/N$
se hai un righello lungo 10 cm lo dividi in 5 tacche la lunghezza di una tacca è 10/5 cm
comunque direi che il passo è $l/N$
se hai un righello lungo 10 cm lo dividi in 5 tacche la lunghezza di una tacca è 10/5 cm
Questa dovrebbe spero essere la soluzione corretta:
l'energia cinetica del sistema è $T=1/2m(R^2 dot phi^2+ dot z^2)$
il passo dell'elica è $b$
la relazione tra $z$ e $phi$ come ha fatto notare navigatore è: $z=b/(2\pi) phi$ sostituendo nella espressione dell'energia cinetica di partenza si ottiene:
$T=1/2m(4\pi^2R^2 /b^2+1) dot z^2$ mentre l'energia potenziale è : $V=mgz$
il problema è determinare il passo dell'elica in funzione di l e N
(si può fare come ha detto navigatore
EDIT ho messo il segno positivo all'energia potenziale, adesso è corretto
l'energia cinetica del sistema è $T=1/2m(R^2 dot phi^2+ dot z^2)$
il passo dell'elica è $b$
la relazione tra $z$ e $phi$ come ha fatto notare navigatore è: $z=b/(2\pi) phi$ sostituendo nella espressione dell'energia cinetica di partenza si ottiene:
$T=1/2m(4\pi^2R^2 /b^2+1) dot z^2$ mentre l'energia potenziale è : $V=mgz$
il problema è determinare il passo dell'elica in funzione di l e N
(si può fare come ha detto navigatore
EDIT ho messo il segno positivo all'energia potenziale, adesso è corretto
Baldo,
il passo di un'elica cilindrica è la distanza tra due punti successivi della curva, cha si trovano sulla stessa generatrice.
Quindi non può essere $l/N$ . Questa è solo la lunghezza del tratto $1/N$ di elica che s itrova tra i due punti detti.
Ciao
il passo di un'elica cilindrica è la distanza tra due punti successivi della curva, cha si trovano sulla stessa generatrice.
Quindi non può essere $l/N$ . Questa è solo la lunghezza del tratto $1/N$ di elica che s itrova tra i due punti detti.
Ciao
si si me ne ero accorto infatti se leggi ho modificato il mio penultimo intervento. non so perchè ma avevo associato l alla altezza dell'elica in quel caso il ragionamento sarebbe stato corretto. Il problema ora è quello di esprimere il passo dell'elica in funzione della lunghezza della spira e in funzione del numero di spire, tuttavia non ho idea di come fare, di geometria differenziale non so nulla, comunque quello che ho scritto nell'ultimo post ti sembra corretto?
Sì, l'energia cinetica è indubbiamente quella, mi sembra corretto. L'energia potenziale, non andrebbe col segno positivo? Ho qualche dubbio su questo...
Per quanto riguarda la relazione tra $l$ , numero delle spire $N$ e passo $b$ dell'elica, se ti disegni il triangolone rettangolo che ha per base $2\piR*N$ e per ipotenusa $l$, l'altezza è $N*b$ , l'angolo acuto vicino alla base è la pendenza $\theta$, che è costante su tutta l'elica.
Perciò $b*N = l*sen\theta$ . Proprio in questo modo ho scritto la relazione tra $dz$ e $d\phi$ , perchè un triangolino elementare di cateti $R*d\phi$ ( orizzontale) e $dz$ (verticale) è simile al triangolone, no ? Anzi, basta che fai un giro solo, cioè prendi $N = 1$ , e lo vedi subito : $ b= l/N*sen\theta$
Ma poi, come si procede per trovare quello che chiede NAusicaa? Mi sembra che tu lo avessi già fatto ....
Per quanto riguarda la relazione tra $l$ , numero delle spire $N$ e passo $b$ dell'elica, se ti disegni il triangolone rettangolo che ha per base $2\piR*N$ e per ipotenusa $l$, l'altezza è $N*b$ , l'angolo acuto vicino alla base è la pendenza $\theta$, che è costante su tutta l'elica.
Perciò $b*N = l*sen\theta$ . Proprio in questo modo ho scritto la relazione tra $dz$ e $d\phi$ , perchè un triangolino elementare di cateti $R*d\phi$ ( orizzontale) e $dz$ (verticale) è simile al triangolone, no ? Anzi, basta che fai un giro solo, cioè prendi $N = 1$ , e lo vedi subito : $ b= l/N*sen\theta$
Ma poi, come si procede per trovare quello che chiede NAusicaa? Mi sembra che tu lo avessi già fatto ....
Adesso ho capito... gran bel ragionamento navigatore (questa idea di srotolare l'elica e di proiettarla sul piano è molto furba)
si
visto che la pendenza non serve si può applicare il teorema di pitagora al triangolo $N^2b^2+4 \pi^2 R^2 N^2=l^2$
quindi $b=((l^2-4\pi^2 R^2N^2)/(N^2))^(1/2)$ e poi ovviamente si sostituisce $b$ nella formula per l'energia cinetica.
Questa volta il navigatore ha salvato la principessa
L'energia potenziale, non andrebbe col segno positivo
si
l'angolo acuto vicino alla base è la pendenza θ, che è costante su tutta l'elica
visto che la pendenza non serve si può applicare il teorema di pitagora al triangolo $N^2b^2+4 \pi^2 R^2 N^2=l^2$
quindi $b=((l^2-4\pi^2 R^2N^2)/(N^2))^(1/2)$ e poi ovviamente si sostituisce $b$ nella formula per l'energia cinetica.
Questa volta il navigatore ha salvato la principessa
Eh, sai, quando mi sono iscritto volevo adottare come "nick name" : " ulisse" . Ma me lo ha rifiutato, perché c'è già. E perciò ho scelto navigatore.
Tu sai bene che tra ulisse e nausicaa ci fu amore. Ma poi ulisse riprese il mare, perché lui navigava....
Tu sai bene che tra ulisse e nausicaa ci fu amore. Ma poi ulisse riprese il mare, perché lui navigava....
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