Guscio sferico con distribuzione di carica non uniforme
Un guscio sferico possiede una distribuzione di carica con simmetria sferica e densità di carica volumetrica $\rho = 10^{-8}r$ per $R_1 < r < R_2$ e nulla altrimenti. $R_1 = 0.02m$ e $R_2 = 0.05m$
Calcolare:
1) La carica elettrica totale presente nel guscio
2) L'andamento del campo elettrico nello spazio e valutandolo a $r = \frac{3R_1}{2}$
3) La differenza di potenziale tra la superficie esterna e infinito
Primo punto
Siccome stiamo parlando di un guscio sferico e non di una sfera, il volume del guscio sferico di raggio $r$ (con $r$ compreso tra $R_1$ e $R_2$) è $V = \frac{4}{3}\pi (r^3-R_1^{3})$
La distribuzione di carica non è uniforme quindi considero $dQ = \rho dV = 10^{-8}r \cdot \frac{4}{3}\pi (r^2 dr - R_1^{3})$
quindi
$Q = 10^{-8}\cdot \frac{4}{3}\pi \int_{R_1}^{R_2} r(r^2 dr - R_1^{3})$
Se questi passaggi sono corretti, l'integrale come va svolto? Il $dr$ ha una posizione un po' inusuale...
Secondo punto
Il campo elettrico è radiale e assume l'espressione $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$ quando ci troviamo fuori dal guscio sferico ($r > R_2$)
In una sfera carica con densità volumetrica uniforme, il campo elettrico all'interno della sfera è $\vec{E} = \frac{Qr}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$ dove $R$ è il raggio della sfera
Ma in un guscio sferico con densità volumetrica non uniforme, che espressione assume il campo elettrico all'interno?
Terzo punto
Qui non saprei proprio come muovermi...
Grazie in anticipo!
Calcolare:
1) La carica elettrica totale presente nel guscio
2) L'andamento del campo elettrico nello spazio e valutandolo a $r = \frac{3R_1}{2}$
3) La differenza di potenziale tra la superficie esterna e infinito
Primo punto
Siccome stiamo parlando di un guscio sferico e non di una sfera, il volume del guscio sferico di raggio $r$ (con $r$ compreso tra $R_1$ e $R_2$) è $V = \frac{4}{3}\pi (r^3-R_1^{3})$
La distribuzione di carica non è uniforme quindi considero $dQ = \rho dV = 10^{-8}r \cdot \frac{4}{3}\pi (r^2 dr - R_1^{3})$
quindi
$Q = 10^{-8}\cdot \frac{4}{3}\pi \int_{R_1}^{R_2} r(r^2 dr - R_1^{3})$
Se questi passaggi sono corretti, l'integrale come va svolto? Il $dr$ ha una posizione un po' inusuale...
Secondo punto
Il campo elettrico è radiale e assume l'espressione $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$ quando ci troviamo fuori dal guscio sferico ($r > R_2$)
In una sfera carica con densità volumetrica uniforme, il campo elettrico all'interno della sfera è $\vec{E} = \frac{Qr}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$ dove $R$ è il raggio della sfera
Ma in un guscio sferico con densità volumetrica non uniforme, che espressione assume il campo elettrico all'interno?
Terzo punto
Qui non saprei proprio come muovermi...
Grazie in anticipo!
Risposte
"DeltaEpsilon":
considero $dQ = \rho dV = 10^{-8}r \cdot \frac{4}{3}\pi (r^2 dr - R_1^{3})$
quindi
..... l'integrale come va svolto? Il $dr$ ha una posizione un po' inusuale...
Infatti $dQ$ non è quello. Togli pure quel $R_1^3$ (e anche quella divisione per 3)
"mgrau":
Infatti $ dQ $ non è quello. Togli pure quel $ R_1^3 $ (e anche quella divisione per 3)
Se il volume della sfera "vuota interna" è $\frac{4}{3}\pi R_1^3$ allora il volume di un qualsiasi guscio sferico di raggio maggiore di $R_1$ sarà $\frac{4}{3}\pi r^3$ al quale devo però sottrarre $\frac{4}{3}\pi R_1^3$
Quindi $V = \frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi (r^3-R_1^{3}) $
Seguendo il tuo consiglio il volume è invece $V = 4\pi r^3$
Perchè questa cosa?
"DeltaEpsilon":
Seguendo il tuo consiglio il volume è invece $V = 4\pi r^3$ e cioè $dV = 4\pi r^2 dr$
Perchè questa cosa?
No, il volume è quello che hai scritto tu, $4/3pi(r^3 - R_1^3)$. Invece avevi sbagliato $dV$, che è invece $4\pi r^2 dr$
Ok avevo capito male 
Riguardo gli altri due punti, hai qualche suggerimento?
Riguardo gli altri due punti, hai qualche suggerimento?
Per il punto 2, a distanza $r$ dal centro, il campo è $1/(4piepsi_0)Q/r^2$ dove $Q$ è la carica presente fino a distanza $r$, quindi occorre integrare la densità da $R_1$ a $r$
Per il punto 3, dato che il campo per $r > R_2$ è quello di una carica puntiforme $Q$ nel centro, dove $Q$ è la carica totale, anche per il potenziale è la stessa cosa: $V = 1/(4piepsi_0)Q/R_2$
Per il punto 3, dato che il campo per $r > R_2$ è quello di una carica puntiforme $Q$ nel centro, dove $Q$ è la carica totale, anche per il potenziale è la stessa cosa: $V = 1/(4piepsi_0)Q/R_2$
Grazie mille!
"mgrau":
il campo è $ 1/(4piepsi_0)Q/r^2 $
Scusa mgrau, ma leggendo questa risposta mi è venuto un dubbio: la formula che tu hai scritto non è quella del caso di una singola carica puntiforme? La struttura della formula del campo elettrico di un qualsiasi sistema di cariche non dovrebbe dipendere dalla geometria del sistema (ricavandola caso per caso)?
"CosenTheta":
La struttura della formula del campo elettrico di un qualsiasi sistema di cariche non dovrebbe dipendere dalla geometria del sistema (ricavandola caso per caso)?
Certamente. Ma quando la distribuzione di cariche ha simmetria sferica, come qui, il campo (all'esterno) ha la stessa forma che se tutta la carica fosse nel centro
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