Guida circolare e molla
Salve a tutti, mi sono appena iscritto!
vi pongo il mio problema
Per il sistema in figura mi si chiede di a) determinare la costante elastica K della molla, essendo la guida di raggio R e senza attrito. La molla è ideale ed è fissata nel punto più basso della guida e all'altra estremità è attaccata una pallina di massa m che può scorrere lungo la guida, senza attrito. Si consideri anche che la lunghezza a riposo della molla è l0=2R. la pallina di massa m viene lasciata con velocità nulla dal punto A e arriverà in D con velocità anche nulla. Gli altri quesiti del problema sono:
b) l'accelerazione della biglia e la forza esercitata su di essa dalla guida nel punto D.
c) per quale valore di θ l'accelerazione della massa m sarà massima?
Allora, io ho proceduto in questa maniera:
per il punto a) mi sono servito della conservazione dell'energia meccanica. Dato che la massa m ha velocità iniziale e finale nulle ho scritto $ mgR=1/2kx^2 $ dove x ho pensato che valesse R (l0/2)
per il punto b) dato che la velocità in D è nulla ho pensato che in quell'istante agiscono sulla pallina la forza di reazione della guida e la forza elastica e ho scritto quindi
$ N-kxsenθ=ma $ dove a (accelerazione centripeta) lo posso sostituire con v^2/2 e siccome la velocità in D è nulla ho concluso che N fosse uguale alla componente orizzontale della forza elastica.
Per il punto c) invece non ho idea di come procedere.
Grazie mille in anticipo, spero di non aver infranto in qualche modo il regolamento del forum.
vi pongo il mio problema
Per il sistema in figura mi si chiede di a) determinare la costante elastica K della molla, essendo la guida di raggio R e senza attrito. La molla è ideale ed è fissata nel punto più basso della guida e all'altra estremità è attaccata una pallina di massa m che può scorrere lungo la guida, senza attrito. Si consideri anche che la lunghezza a riposo della molla è l0=2R. la pallina di massa m viene lasciata con velocità nulla dal punto A e arriverà in D con velocità anche nulla. Gli altri quesiti del problema sono:
b) l'accelerazione della biglia e la forza esercitata su di essa dalla guida nel punto D.
c) per quale valore di θ l'accelerazione della massa m sarà massima?
Allora, io ho proceduto in questa maniera:
per il punto a) mi sono servito della conservazione dell'energia meccanica. Dato che la massa m ha velocità iniziale e finale nulle ho scritto $ mgR=1/2kx^2 $ dove x ho pensato che valesse R (l0/2)
per il punto b) dato che la velocità in D è nulla ho pensato che in quell'istante agiscono sulla pallina la forza di reazione della guida e la forza elastica e ho scritto quindi
$ N-kxsenθ=ma $ dove a (accelerazione centripeta) lo posso sostituire con v^2/2 e siccome la velocità in D è nulla ho concluso che N fosse uguale alla componente orizzontale della forza elastica.
Per il punto c) invece non ho idea di come procedere.
Grazie mille in anticipo, spero di non aver infranto in qualche modo il regolamento del forum.
Risposte
Ti trovi l'accelerazione in funzione dell'angolo praticamente come hai fatto te, fai la derivata e la poni uguale a 0.
"Rinaldo63":
per il punto a) mi sono servito della conservazione dell'energia meccanica. Dato che la massa m ha velocità iniziale e finale nulle ho scritto $ mgR=1/2kx^2 $ dove x ho pensato che valesse R (l0/2)
Occhio che $x$ non vale $R$ ma è $R(2 - sqrt(2))$
Grazie mille per le risposte.
Non capisco in che senso devo derivare e imporre uguale a 0. Potreste spiegarmelo?
Non capisco in che senso devo derivare e imporre uguale a 0. Potreste spiegarmelo?
Buona sera a tutti, scusate se richiamo l'attenzione ma si tratta di un'urgenza. il Prof. darà gli esiti del compito e magari se sarà positivo chiederà di svolgere l'esercizio non svolto per commentare il compito insieme. Potreste spiegarmi come procedere per risolvere questo ultimo punto, non capisco proprio cosa si intende per derivare e imporre uguale a 0 quello che ho scritto io.
Provo a darti una mano. Ti riporto i risultati a cui sono arrivato, sperando che siano giusti. Ti accludo un disegno che magari ti aiuta a capire certi passaggi. Chiamo B il punto in basso, C il centro.
1) Trovare k
Come hai fatto tu. Visto che la massa arriva in D ferma, il lavoro gravitazionale $mgR $ è = al lavoro elastico $1/2kx^2$, dove la compressione della molla è $x = 2R - BD = 2R - Rsqrt(2) = R(2 - sqrt(2))$, per cui, dopo qualche conto, $mgR = kR^2(3 - 2sqrt(2))$, da cui $k = frac{mg}{R(3 - 2 sqrt(2))}$
2) Trovare l'accelerazione della massa in funzione di $theta$
Interessano solo le forze tangenziali, quelle dirette come il raggio sono compensate dalla reazione della guida
Le forze sono: la spinta della molla e il peso.
La spinta della molla è $k Delta l$ dove $Delta l = 2R - BP$ e $BP = 2R cos theta$, quindi $F = 2kR(1 - cos theta)$
La componente tangenziale si vede essere $F sin theta$ quindi $F_t = 2kR(1 - cos theta) sin theta$
La componente tangenziale del peso si esprime facilmente in termini dell'angolo al centro ACP, che vale $2theta$,
ed è $mg cos (90 - 2 theta) = mg sin 2 theta$
Ora avendo le due forze tangenziali, quella della molla in su e del peso in giù, le sottrai e puoi trovare l'accelerazione, e, con un po' di fortuna, il valore massimo.
3) Per la forza esercitata dalla guida in D, si vede che questa uguaglia la componente radiale della forza della molla. che in quel punto coincide con quella tangenziale. Il peso non ha componenti radiali.
Mi fermo qui. Spero di non aver fatto troppi sbagli
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1) Trovare k
Come hai fatto tu. Visto che la massa arriva in D ferma, il lavoro gravitazionale $mgR $ è = al lavoro elastico $1/2kx^2$, dove la compressione della molla è $x = 2R - BD = 2R - Rsqrt(2) = R(2 - sqrt(2))$, per cui, dopo qualche conto, $mgR = kR^2(3 - 2sqrt(2))$, da cui $k = frac{mg}{R(3 - 2 sqrt(2))}$
2) Trovare l'accelerazione della massa in funzione di $theta$
Interessano solo le forze tangenziali, quelle dirette come il raggio sono compensate dalla reazione della guida
Le forze sono: la spinta della molla e il peso.
La spinta della molla è $k Delta l$ dove $Delta l = 2R - BP$ e $BP = 2R cos theta$, quindi $F = 2kR(1 - cos theta)$
La componente tangenziale si vede essere $F sin theta$ quindi $F_t = 2kR(1 - cos theta) sin theta$
La componente tangenziale del peso si esprime facilmente in termini dell'angolo al centro ACP, che vale $2theta$,
ed è $mg cos (90 - 2 theta) = mg sin 2 theta$
Ora avendo le due forze tangenziali, quella della molla in su e del peso in giù, le sottrai e puoi trovare l'accelerazione, e, con un po' di fortuna, il valore massimo.
3) Per la forza esercitata dalla guida in D, si vede che questa uguaglia la componente radiale della forza della molla. che in quel punto coincide con quella tangenziale. Il peso non ha componenti radiali.
Mi fermo qui. Spero di non aver fatto troppi sbagli
Grazie davvero tante per esserti speso in questo modo. Grazi mille anche per essere stato così chiaro e completo nella risposta 
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