GR(equazione di campo)
Nel libro di carrol viene scritto che nell'equazione di einstein ci sono 6 componenti indipendenti, ma come mai?
Ovviamente il tensore di einstein è simmetrico quindi dal momento che una matrice simmetrica 4*4 possiede 10 componenti indipendenti verrebbe da dire che le componenti indipendenti siano 10, tuttavia sussiste l'identità di bianchi che porta via 4 componenti indipendenti(perchè?)
Ovviamente il tensore di einstein è simmetrico quindi dal momento che una matrice simmetrica 4*4 possiede 10 componenti indipendenti verrebbe da dire che le componenti indipendenti siano 10, tuttavia sussiste l'identità di bianchi che porta via 4 componenti indipendenti(perchè?)
Risposte
Ciao Baldo. Ho guardato sul libro d B. Schutz (A first course in GR), sai che a me piace sempre citare la fonte a cui mi...abbevero, specie se la questione è delicata.
Dunque (traduco all'impronta) dice questo, riferendosi all'eq. in forma controvariante, che come sai è la stessa cosa:
" L'equazione di campo $G^(\alpha\beta) = (8\piG)/c^4* T^(\alpha\beta)$ deve essere riguardata come un sistema di 10 equazioni differenziali accoppiate ( non 16, essendo i tensori simmetrici). Esse devono essere risolte per trovare le 10 componenti del tensore metrico $g^(\alpha\beta)$, data la sorgente del campo $T^(\alpha\beta)$. Si tratta di equazioni non lineari, ma con una struttura ben definita di valori iniziali assegnati.
Comunque occorre precisare un punto : siccome le $g_(\alpha\beta)$ sono le componenti di un tensore in un sistema di coordinate, un cambiamento di coordinate induce una variazione in esse. Essendoci 4 coordinate, vi sono 4 gradi arbitrari di libertà tra le dieci componenti $g_(\alpha\beta)$. Dovrebbe dunque essere impossibile determinare tutte le 10 componenti da qualsiasi insieme di dati iniziali, giacchè le coordinate nel futuro del momento iniziale possono essere cambiate arbitrariamente.
E infatti le eq. di Einstein hanno questa proprietà. Le identità di Bianchi : $G_(;\beta) ^(\alpha\beta)= 0 $ significano che ci sono 4 identità differenziali, una per ogni $\alpha$, tra le dieci $G^(\alpha\beta)$. Dunque queste dieci non sono indipendenti, e le 10 eq. differenziali di Einstein sono in realtà soltanto 6 eq. differenziali indipendenti per le 6 funzioni tra le dieci $g_(\alpha\beta)$ che caratterizzano la Geometria indipendentemente dalle coordinate. "
Come sai, quelle identità di Bianchi citate significano nient' altro che l'annullarsi identico della divergenza tensoriale del tensore $G^(\alpha\beta)$.
Poi Schutz continua dicendo che nel suo libro non si affronterà il problema della soluzione delle 6 eq. diff. nel caso generale ma solo in casi particolari ( Schwarzschild ,ecc.....). Tuttavia esistono approcci ben definiti, e descritti in testi avanzati come MTW , o Hawking-Ellis o altri, al problema di separare la "libertà" nella scelta delle coordinate dalla vera "liberta" geometrica e dinamica delle componenti $g_(\alpha\beta)$. Le eq. di Einstein permettono completa libertà nella scelta del sistema di coordinate.
Non so se questo può bastarti, penso di sí. E mi meraviglia che Carroll, che per altri versi è molto chiaro, non spieghi in dettaglio questa faccenda, per cui come vedi bastano poche righe.
Ciao.
Dunque (traduco all'impronta) dice questo, riferendosi all'eq. in forma controvariante, che come sai è la stessa cosa:
" L'equazione di campo $G^(\alpha\beta) = (8\piG)/c^4* T^(\alpha\beta)$ deve essere riguardata come un sistema di 10 equazioni differenziali accoppiate ( non 16, essendo i tensori simmetrici). Esse devono essere risolte per trovare le 10 componenti del tensore metrico $g^(\alpha\beta)$, data la sorgente del campo $T^(\alpha\beta)$. Si tratta di equazioni non lineari, ma con una struttura ben definita di valori iniziali assegnati.
Comunque occorre precisare un punto : siccome le $g_(\alpha\beta)$ sono le componenti di un tensore in un sistema di coordinate, un cambiamento di coordinate induce una variazione in esse. Essendoci 4 coordinate, vi sono 4 gradi arbitrari di libertà tra le dieci componenti $g_(\alpha\beta)$. Dovrebbe dunque essere impossibile determinare tutte le 10 componenti da qualsiasi insieme di dati iniziali, giacchè le coordinate nel futuro del momento iniziale possono essere cambiate arbitrariamente.
E infatti le eq. di Einstein hanno questa proprietà. Le identità di Bianchi : $G_(;\beta) ^(\alpha\beta)= 0 $ significano che ci sono 4 identità differenziali, una per ogni $\alpha$, tra le dieci $G^(\alpha\beta)$. Dunque queste dieci non sono indipendenti, e le 10 eq. differenziali di Einstein sono in realtà soltanto 6 eq. differenziali indipendenti per le 6 funzioni tra le dieci $g_(\alpha\beta)$ che caratterizzano la Geometria indipendentemente dalle coordinate. "
Come sai, quelle identità di Bianchi citate significano nient' altro che l'annullarsi identico della divergenza tensoriale del tensore $G^(\alpha\beta)$.
Poi Schutz continua dicendo che nel suo libro non si affronterà il problema della soluzione delle 6 eq. diff. nel caso generale ma solo in casi particolari ( Schwarzschild ,ecc.....). Tuttavia esistono approcci ben definiti, e descritti in testi avanzati come MTW , o Hawking-Ellis o altri, al problema di separare la "libertà" nella scelta delle coordinate dalla vera "liberta" geometrica e dinamica delle componenti $g_(\alpha\beta)$. Le eq. di Einstein permettono completa libertà nella scelta del sistema di coordinate.
Non so se questo può bastarti, penso di sí. E mi meraviglia che Carroll, che per altri versi è molto chiaro, non spieghi in dettaglio questa faccenda, per cui come vedi bastano poche righe.
Ciao.
grazie nav , chiarissimo come sempre
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