Grandezze rotazionali: cambiamento di variabile
Mettiamo che io abbia l'accelerazione angolare in funzione di theta, cioè la $\alpha(\theta)$. C'è un modo per ricavarmi la $\alpha(t)$, senza alcun altra informazione? A me sembra che se vale comunque quella legge l'eq. oraria dovrebbe già essere univocamente determinata...
Risposte
$- m*g*sin theta = m l/2 *alpha$
$alpha = -g *sin theta$
infatti deve venire negativo....se cade in senso orario.
relazione per la velocità angolare:
$omega = omega_0 + alpha *t$
$omega_0 =0$
le mie intuizioni finiscono qui, una domanda per $I$, dal momento che l'asse $z$ non passa per il centro di massa, e io sto considerando il moto del centro di massa, $I_(c.d.m)$ si trova con Hughens steiner?
$alpha = -g *sin theta$
infatti deve venire negativo....se cade in senso orario.
relazione per la velocità angolare:
$omega = omega_0 + alpha *t$
$omega_0 =0$
le mie intuizioni finiscono qui, una domanda per $I$, dal momento che l'asse $z$ non passa per il centro di massa, e io sto considerando il moto del centro di massa, $I_(c.d.m)$ si trova con Hughens steiner?
@newton_1372
Per l'energia potenziale gravitazionale di un corpo rigido, si dimostra facilmente che è pari all'energia potenziale di un punto materiale di massa pari alla massa totale del corpo e posizionato nel centro di massa del corpo rigido. Prova a dimostrarlo è quasi immediato.
@clever
Scrivi il legame tra l'angolo $theta$ e l'altezza del centro di massa, quindi deriva rispetto al tempo: otterrai una relazione che lega la velocità angolare alla velocità di traslazione verticale (unica presente) del centro di massa.
Per quanto riguardo il momento di inerzia è rispetto al centro di massa, l'energia cinetica è scritta infatti come l'energia cinetica del centro di massa più quella osservata dal centro di massa.
Per l'energia potenziale gravitazionale di un corpo rigido, si dimostra facilmente che è pari all'energia potenziale di un punto materiale di massa pari alla massa totale del corpo e posizionato nel centro di massa del corpo rigido. Prova a dimostrarlo è quasi immediato.
@clever
Scrivi il legame tra l'angolo $theta$ e l'altezza del centro di massa, quindi deriva rispetto al tempo: otterrai una relazione che lega la velocità angolare alla velocità di traslazione verticale (unica presente) del centro di massa.
Per quanto riguardo il momento di inerzia è rispetto al centro di massa, l'energia cinetica è scritta infatti come l'energia cinetica del centro di massa più quella osservata dal centro di massa.
abbozzo ciò che ho scritto:
http://****/2nzUK
$H = l/2 sin theta$
derivata prima di $h$ rispetto al tempo:
$v= dH/dt = d ( l/2 sin theta)/(dt) = l/2 cos theta(t)$
$v = omega (theta) *l/2$
è questo il procedimento?
per il momento di inerzia, voglio capirci bene.
SE l'asse verticale fosse passato per il CDM si doveva usare solo il momento di inerzia della sbarretta
SE l'asse NON passa per il CDM bisogna calcolare il momento della sbarretta + momento d'inerzia nel cdm $m (l/2)^2$ giusto?
http://****/2nzUK
$H = l/2 sin theta$
derivata prima di $h$ rispetto al tempo:
$v= dH/dt = d ( l/2 sin theta)/(dt) = l/2 cos theta(t)$
$v = omega (theta) *l/2$
è questo il procedimento?
per il momento di inerzia, voglio capirci bene.
SE l'asse verticale fosse passato per il CDM si doveva usare solo il momento di inerzia della sbarretta
SE l'asse NON passa per il CDM bisogna calcolare il momento della sbarretta + momento d'inerzia nel cdm $m (l/2)^2$ giusto?
Il legame tra velocità angolare e velocità di traslazione del centro di massa mi pare ok ora (come vedi quando la barra arriva a terra il legame è quello che si poteva trovare in maniera anche intuitiva da subito).
Per il discorso del momento di inerzia, tieni conto che a noi interessa trovare l'energia cinetica della barretta quando si trova in posizione orizzontale, tale energia cinetica per il teorema di Konig è data dalla somma dell'energia cinetica come se tutta la massa fosse nel centro di massa, più l'energia cinetica osservata dal centro di massa. Questo ultimo termine contiene il contributo del momento di inerzia che quindi è quello di rotazione rispetto al centro di massa (osservo la barretta dal centro di massa e la vedo ruotare attorno a tale centro di massa a velocità $omega$).
Per il discorso del momento di inerzia, tieni conto che a noi interessa trovare l'energia cinetica della barretta quando si trova in posizione orizzontale, tale energia cinetica per il teorema di Konig è data dalla somma dell'energia cinetica come se tutta la massa fosse nel centro di massa, più l'energia cinetica osservata dal centro di massa. Questo ultimo termine contiene il contributo del momento di inerzia che quindi è quello di rotazione rispetto al centro di massa (osservo la barretta dal centro di massa e la vedo ruotare attorno a tale centro di massa a velocità $omega$).
Quindi l'energia iniziale è tipo
$M*g l/2 sin theta = 1/2 I*omega^2 + 1/2 M v^2$
dove $omega$ e $v$ sono quelli da me calcolati.
$I = M (l/2)^2 + 1/3 M *l^2$
altra domanda, quando in genere si dice 'trovare la traiettoria del centro di massa' in sostanza devo scrivermi le cordinate $x$ e $y$ del centro di massa, giusto?
e semmai dovessi trovarmi la velocità al momento dell'urto, basta che io metta l'angolo finale di caduta cioè $theta = 0$ ?
grazie.
$M*g l/2 sin theta = 1/2 I*omega^2 + 1/2 M v^2$
dove $omega$ e $v$ sono quelli da me calcolati.
$I = M (l/2)^2 + 1/3 M *l^2$
altra domanda, quando in genere si dice 'trovare la traiettoria del centro di massa' in sostanza devo scrivermi le cordinate $x$ e $y$ del centro di massa, giusto?
e semmai dovessi trovarmi la velocità al momento dell'urto, basta che io metta l'angolo finale di caduta cioè $theta = 0$ ?
grazie.
Il momento, come detto più volte, è quello rispetto al centro di massa dell'asta:
$I=ML^2/12$
Se ti si chiede la traiettoria del centro di massa significa le coordinate assunte dal centro di massa durante il moto.
In questo caso la traiettoria è un segmento verticale, come già detto.
Se devi trovare la velocità al momento dell'urto col terreno (asta orizzontale) allora l'energia potenziale iniziale (asta verticale) meno l'energia potenziale finale (asta orizzontale) sarà $M g L/2$ da eguagliare alla variazione di energia cinetica finale meno quella iniziale cioè $1/2 I omega^2 + 1/2 M v_{"cm"}^2$, se l'asta parte da ferma, come mi pare ragionevole.
$I=ML^2/12$
Se ti si chiede la traiettoria del centro di massa significa le coordinate assunte dal centro di massa durante il moto.
In questo caso la traiettoria è un segmento verticale, come già detto.
Se devi trovare la velocità al momento dell'urto col terreno (asta orizzontale) allora l'energia potenziale iniziale (asta verticale) meno l'energia potenziale finale (asta orizzontale) sarà $M g L/2$ da eguagliare alla variazione di energia cinetica finale meno quella iniziale cioè $1/2 I omega^2 + 1/2 M v_{"cm"}^2$, se l'asta parte da ferma, come mi pare ragionevole.
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