Grandezze rotazionali: cambiamento di variabile
Mettiamo che io abbia l'accelerazione angolare in funzione di theta, cioè la $\alpha(\theta)$. C'è un modo per ricavarmi la $\alpha(t)$, senza alcun altra informazione? A me sembra che se vale comunque quella legge l'eq. oraria dovrebbe già essere univocamente determinata...
Risposte
Non proprio univoca, la soluzione dipende dalle condizioni iniziali.
Occorre scrivere e risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine.
Occorre scrivere e risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine.
Ma se nella fattispecie ho la $\alfa(\theta)$ e voglio calcolarmi $\theta$ posso usare la formula
$\theta=1/2 \alpha(\theta)t^2$?
$\theta=1/2 \alpha(\theta)t^2$?
Cmq in base al problema preciso in questione, mi sono trovato queste due equazioni
$Pl/2\cos\theta/I=(d^2\theta)/dt^2$ (1)
Con considerazioni energetiche mi sono trovato anche
$\sqrt((Pl\sin\theta)/I)=(d\theta)/dt$ (2)
Direi che ce n'è abbastanza per capire com'è la $\theta(t) $...addirittura credevo bastasse solo la prima di equazione, o per lo meno lo speravo...ma questa seconda può indubbiamente esserci utile...adesso il problema si riconduce al seguente
"Trovare una funzione $\theta(t)$ tale che valgano 1). e 2). E' un equazione differenziale "con parametri". Possibile che non sia risolvibile? Se si, come si risolve?
$Pl/2\cos\theta/I=(d^2\theta)/dt^2$ (1)
Con considerazioni energetiche mi sono trovato anche
$\sqrt((Pl\sin\theta)/I)=(d\theta)/dt$ (2)
Direi che ce n'è abbastanza per capire com'è la $\theta(t) $...addirittura credevo bastasse solo la prima di equazione, o per lo meno lo speravo...ma questa seconda può indubbiamente esserci utile...adesso il problema si riconduce al seguente
"Trovare una funzione $\theta(t)$ tale che valgano 1). e 2). E' un equazione differenziale "con parametri". Possibile che non sia risolvibile? Se si, come si risolve?
"newton_1372":
Ma se nella fattispecie ho la $\alfa(\theta)$ e voglio calcolarmi $\theta$ posso usare la formula
$\theta=1/2 \alpha(\theta)t^2$?
No quella formula vale per accelerazione costante.
"newton_1372":
Cmq in base al problema preciso in questione, mi sono trovato queste due equazioni
$Pl/2\cos\theta/I=(d^2\theta)/dt^2$ (1)
Con considerazioni energetiche mi sono trovato anche
$\sqrt((Pl\sin\theta)/I)=(d\theta)/dt$ (2)
Direi che ce n'è abbastanza per capire com'è la $\theta(t) $...addirittura credevo bastasse solo la prima di equazione, o per lo meno lo speravo...ma questa seconda può indubbiamente esserci utile...adesso il problema si riconduce al seguente
"Trovare una funzione $\theta(t)$ tale che valgano 1). e 2). E' un equazione differenziale "con parametri". Possibile che non sia risolvibile? Se si, come si risolve?
Credo che ti stai riferendo in qualche modo al problema del pendolo composto (nella prima equazione manca probabilmente un segno $-$ a primo membro e dovresti avere un seno e non un coseno). L'equazione che ottieni è del tutto simile ad un pendolo semplice pertanto se non assumi piccole oscillazioni non è risolvibile analiticamente tramite funzioni elementari.
Puoi vedere anche questa vecchia discussione su come approssimare il periodo.
Comunque non ho capito a che livello sei, è come se volessi reinventare da solo la ruota, questi sono argomenti di base, d'accordo che quando si affronta un problema si deve ragionare con la propria testa, ma occorre avere delle basi di partenza però.
No no, era tutt'altro problema. Si tratta di una sbarra inclinata di un teta (con un estremità poggiata sul pavimento) che viene lasciata cadere, assumendo che l'attrito sia sufficiente a "frenare" il punto di contatto così che posso assumere il moto unicamente rotazionale.
Quelle due equazioni dovrebbero essere giuste (P peso del pendolo applicato su l/2, cioè sul centro di massa della sbarra). La seconda l'ho trovata usando $\int \tau d\theta = 1/2 I \omega^2$.
Quindi il problema è puramente matematico...volevo ragguagli su come posso cambiare la variabile indipendente da \theta a t (tempo)
Quelle due equazioni dovrebbero essere giuste (P peso del pendolo applicato su l/2, cioè sul centro di massa della sbarra). La seconda l'ho trovata usando $\int \tau d\theta = 1/2 I \omega^2$.
Quindi il problema è puramente matematico...volevo ragguagli su come posso cambiare la variabile indipendente da \theta a t (tempo)
"newton_1372":
No no, era tutt'altro problema. Si tratta di una sbarra inclinata di un teta (con un estremità poggiata sul pavimento) che viene lasciata cadere, assumendo che l'attrito sia sufficiente a "frenare" il punto di contatto così che posso assumere il moto unicamente rotazionale.
E' esattamente un pendolo composto (con ampiezza $pi-theta$) ovvio che non si può fare l'ipotesi di piccole oscillazioni.
$\alpha$) - Scusa ma una volta arrivato a terra non torna piu indietro, cade...non è proprio la mia idea di pendolo...
$\beta$)- Allora non posso trovarmi la theta di t?
$\gamma$) - Se volessi trovarmi la TRAIETTORIA, cioè la $y(x)$ è corretto scrivere
1). $x=l/2 \cos (\omega(\theta) t)$
2). $y=l/2 \sin(\omega(\theta) t)$
?
$\beta$)- Allora non posso trovarmi la theta di t?
$\gamma$) - Se volessi trovarmi la TRAIETTORIA, cioè la $y(x)$ è corretto scrivere
1). $x=l/2 \cos (\omega(\theta) t)$
2). $y=l/2 \sin(\omega(\theta) t)$
?
"newton_1372":
$\alpha$) - Scusa ma una volta arrivato a terra non torna piu indietro, cade...non è proprio la mia idea di pendolo...
Che significa cade? Fino a che non giunge a terra si comporta come un pendolo composto.
"newton_1372":
$\beta$)- Allora non posso trovarmi la theta di t?
Non in termini di funzioni elementari.
"newton_1372":
$\gamma$) - Se volessi trovarmi la TRAIETTORIA, cioè la $y(x)$ è corretto scrivere
1). $x=l/2 \cos (\omega(\theta) t)$
2). $y=l/2 \sin(\omega(\theta) t)$
Ovvio: la traiettoria di ogni punto è una circonferenza
Cosa intendi per "non in termini di funzioni elementari"?
Che non puoi risolvere l'equazione differenziale con una funzione che sia combinazione della quattro operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) con funzioni logaritmiche, esponenziali e trigonometriche.
In parole povere devo rivolgermi al calcolo numerico?
@Faussone
http://j.gs/KIi
il problema è tipo questo.
come fa ad essere accostato ad un pendolo composto? In effetti se si vuole camminare con la fantasia ci sta, ma a differenza del pendolo questa sbarretta ha un vincolo che è il piano d'appoggio.
io l'avrei addirittura pensato come una pallina che 'ruota' su una traiettoria circolare distante $l/2$ dal 'centro'. Si può fare?
http://j.gs/KIi
il problema è tipo questo.
come fa ad essere accostato ad un pendolo composto? In effetti se si vuole camminare con la fantasia ci sta, ma a differenza del pendolo questa sbarretta ha un vincolo che è il piano d'appoggio.
io l'avrei addirittura pensato come una pallina che 'ruota' su una traiettoria circolare distante $l/2$ dal 'centro'. Si può fare?
@clever
newton_732 riferisce che l'estremo che poggia sul piano non si muove, se è così non è questione di fantasia: è un pendolo composto perché segue la medesima equazione oraria del pendolo composto.
newton_732 riferisce che l'estremo che poggia sul piano non si muove, se è così non è questione di fantasia: è un pendolo composto perché segue la medesima equazione oraria del pendolo composto.
ah quindi supposto vincolato ad un estemo.
e se NON venisse supposto vincolato ad estremo? Cioè una volta che urta il piano, trasla lievemente verso destra?
Poi chiedo, per 'vincolo' si presuppone incernierato ad 'un perno', giusto?
e se NON venisse supposto vincolato ad estremo? Cioè una volta che urta il piano, trasla lievemente verso destra?
Poi chiedo, per 'vincolo' si presuppone incernierato ad 'un perno', giusto?
Se il punto non è vincolato occorre scrivere le equazioni differenziali che regolano il moto, se non c'è forza di attrito orizzontale nell'estremo appoggiato il centro di massa cadrà perfettamente verticale. In ogni caso credo si ottiene comunque una equazione differenziale non risolvibile analiticamente. Se si è interessati solo alla velocità con cui il centro di massa arriva a terra, quella è determinabile applicando in modo corretto l'equazione di conservazione dell'energia.
@newton_1372
Sì l'equazione del pendolo a grandi ampiezze di oscillazione è risolvibile solo per via numerica oppure utilizzando delle funzioni non elementari (le funzioni ellittiche nel caso specifico).
@newton_1372
Sì l'equazione del pendolo a grandi ampiezze di oscillazione è risolvibile solo per via numerica oppure utilizzando delle funzioni non elementari (le funzioni ellittiche nel caso specifico).
Wow...cosa sono le funzioni ellittiche?
Altra cosa, quale semplificazione ci permette di fare il considerare oscillazioni abbastanza "piccole"?
Altra cosa, quale semplificazione ci permette di fare il considerare oscillazioni abbastanza "piccole"?
"newton_1372":
Wow...cosa sono le funzioni ellittiche?
Per questo non posso che rimandarti a questa pagina di wikipedia per avere un'idea.
Comunque non ne so molto io e non saprei risponderti se hai dubbi o curiosità a riguardo, in questo forum sicuramente qualcuno in grado di aiutarti in proposito ci sarebbe, ma per un primo esame di fisica ti sconsiglio di addentrarti troppo in questo ambito prettamente matematico.
"newton_1372":
Altra cosa, quale semplificazione ci permette di fare il considerare oscillazioni abbastanza "piccole"?
Ma questa è una cosa arcinota quando si tratta il pendolo semplice!
Per piccole oscillazione si intende poter approssimare $sin x$ con $x$ nell'equazione
$ddot x + k/m sin(x)=0$
In pratica per angoli minori di circa 4° o 5° l'approssimazione è molto buona (normalmente è quello lo spartiacque tra piccole oscillazioni e non).
L'equazione differenziale che si ottiene
$ddot x + k/m x=0$
è risolvibile facilmente in termini di funzioni armoniche infatti.
"Faussone":
Se il punto non è vincolato occorre scrivere le equazioni differenziali che regolano il moto, se non c'è forza di attrito orizzontale nell'estremo appoggiato il centro di massa cadrà perfettamente verticale. In ogni caso credo si ottiene comunque una equazione differenziale non risolvibile analiticamente. Se si è interessati solo alla velocità con cui il centro di massa arriva a terra, quella è determinabile applicando in modo corretto l'equazione di conservazione dell'energia.
Si mi interessa determinare proprio la velocità del c.d.m quando arriva a terra, per vedere come si trova.
l'energia finale è:
$K=1/2 * I* omega^2 + 1/2 m V^2$
ma quella iniziale dipende fortemente dall'angolo credo....
$m g l (cos theta - cos theta_0)$
per la reazione vincolare io scriverei una relazione del genere $ - m g + N = m a_(c.d.m)$
Inoltre,ho visto questa slide
http://j.gs/KQ1
e parla di moto rotatorio, io penso che si può assimilare la massa di tutta la sbarretta come quella in figura ad una distanza $l/2$ dal centro (intesa come raggio della circonferenza), che fa il suo moto circolare di un $delta theta$, la mia domanda è: la forza centripeta e centrifuga possono essere usate in questo problema, nella scomposizione lungo gli assi?
inoltre, una cosa che mi confonde spesso.
moto circolare uniforme ---> punto materiale
moto rotatorio uniforme ----> moto circolare per i corpi rigidi
giusto?
Basta solo l'equazione di conservazione dell'energia (assumendo l'asta all'inizio formi con la verticale un angolo $theta_0$):
$mg L/2 cos theta_0 = 1/2 m v_{"cm"}^2 + 1/2 I omega^2$
Per risolvere basta adesso scrivere il legame tra $omega$ e $v_{"cm"}$ che si trova solo con considerazioni geometriche. Lascio pensarci a te
$mg L/2 cos theta_0 = 1/2 m v_{"cm"}^2 + 1/2 I omega^2$
Per risolvere basta adesso scrivere il legame tra $omega$ e $v_{"cm"}$ che si trova solo con considerazioni geometriche. Lascio pensarci a te
L'energia potenziale se non erro è definita PUNTO PER PUNTO della sbarretta...non esiste un ENERGIA POTENZIALE DELLA SBARRA...o sbaglio...eppure se la sbarra ruotasse attorno al suo asse di rotazione potremmo definire l'energiqa CINETICA totale del corpo rigido come la somma delle energie cinetiche. Mi viene da chiedere allora come posso applicare la conservazione...in quella relazione che hai scritto sopra, c'è un termine che è definito PER UN SOLO PUNTO, il centro di massa, e dopo c'è 1/2 I omega^2 che è definita per TUTTO il corpo rigido...
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