Gittata max
Ragazzi ho un problema con la gittata massima su un piano inclinato :
le equazioni del moto che ho trovato sono :
$\{(x(t)= v_0 cos(α+φ)t+1/2 g sin(φ)t^2),
(y(t)= v_0 sin(α+φ)t+1/2 g cos(φ)t^2):}$
Ora, quando la gravita agiva solo su y e gittata era $(v_0^2/g) sin(2α)$ che era massima quando $α=pi/4$.
Porre $x=0$ per trovate la gittata è giusto(visto che mi viene qualcosa di negativo $-> -2(v_0 cos(α+φ))/(g sinφ)$) o dovrei invece porre $y=0$ che mi da il tempo di volo $t=2(v_0 sin(α+φ))/(g cosφ)$ da sostituire in $x(t)$?
Una collina è inclinata di un angolo $φ$ rispetto alla direzione orizzontale. Una palla viene lanciata dalla sua
sommità con una velocità iniziale che forma un angolo $α$ con l’orizzontale. Dimostrare che, a parità di modulo della velocità iniziale, l’angolo di gittata massima, misurata lungo la collina, è dato da $α_max$ = $π/4 − φ/2$.
le equazioni del moto che ho trovato sono :
$\{(x(t)= v_0 cos(α+φ)t+1/2 g sin(φ)t^2),
(y(t)= v_0 sin(α+φ)t+1/2 g cos(φ)t^2):}$
Ora, quando la gravita agiva solo su y e gittata era $(v_0^2/g) sin(2α)$ che era massima quando $α=pi/4$.
Porre $x=0$ per trovate la gittata è giusto(visto che mi viene qualcosa di negativo $-> -2(v_0 cos(α+φ))/(g sinφ)$) o dovrei invece porre $y=0$ che mi da il tempo di volo $t=2(v_0 sin(α+φ))/(g cosφ)$ da sostituire in $x(t)$?
Risposte
giustamente mi son complicato la vita!
la gittata calcolata rispetto all'orizzonte è $alpha/4$ ma perchè, per riportarlo come prima, ci devo proprio sottrarre $phi/2$ piuttosto che aggiungere $phi$ o $phi/4$ ?
la gittata calcolata rispetto all'orizzonte è $alpha/4$ ma perchè, per riportarlo come prima, ci devo proprio sottrarre $phi/2$ piuttosto che aggiungere $phi$ o $phi/4$ ?
volendo invece tirare in ballo volutamente l'analisi ?
up
La gittata sul piano inclinato si può calcolare intersecando la traiettoria parabolica con il fianco della collina.
Prendiamo un sistema di riferimento con l'origine nel punto di lancio, l'asse $x$ orizzontale e l'asse $y$ verticale orientato verso l'alto.
Allora il fianco della collina ha equazione $y=-tan phi x$, con $phi>0$.
La traiettoria della palla si può ricavare dalle equazioni del moto, eliminando il parametro $t$.
Da
${(x(t)=v_0cos alpha t), (y(t)=v_0sin alpha t -1/2g t^2):}$
si ricava $t=x/(v_0cos alpha)$ dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda, ottenendo l'equazione della parabola
$y=v_0sin alpha x/(v_0cos alpha) -1/2g(x/(v_0cos alpha))^2=tan alpha x-1/2g/(v_0^2cos^2 alpha)x^2$.
Per trovare l'intersezione tra le curve si deve risolvere il sistema
${(y=-tan phi x), (y=tan alpha x-1/2g/(v_0^2cos^2 alpha)x^2):}$.
Anzi è sufficiente trovare l'ascissa del punto d'intersezione:
$-tan phi x=tan alpha x-1/2g/(v_0^2cos^2 alpha)x^2$.
Oltre alla soluzione ovvia $x=0$ si trova
$x=((2 v_0^2)/g )* (tan alpha + tan phi) cos^2alpha$.
La gittata $L$ è correlata alla $x$ trovata dalla relazione $x=Lcos phi$, per cui la gittata sul piano inclinato ha espressione
$L=(2 v_0^2)/(g cos phi)*(tan alpha + tan phi)cos^2 alpha$.
Per dati $v_0$ e $phi$ la gittata è massima quando lo è il termine $f(alpha)=(tan alpha + tan phi)cos^2 alpha$, con $0<= alpha<=pi/2$.
Ma
$f(alpha)=((sin alpha)/(cos alpha) + tan phi)cos^2 alpha=$
$sin alpha cos alpha + tan phi cos^2 alpha=$
$1/2 sin 2 alpha +1/2 tan phi (cos 2 alpha +1)$
e
$f'(alpha)=cos 2 alpha-tan phi sin 2 alpha$.
Ponendo $f'(alpha)=0$ si ottiene
$cos 2 alpha-tan phi sin 2 alpha=0->cot 2 alpha=tan phi->$
$tan (pi/2-2alpha)=tan phi->pi/2-2alpha=phi->alpha=pi/4-phi/2$.
Prendiamo un sistema di riferimento con l'origine nel punto di lancio, l'asse $x$ orizzontale e l'asse $y$ verticale orientato verso l'alto.
Allora il fianco della collina ha equazione $y=-tan phi x$, con $phi>0$.
La traiettoria della palla si può ricavare dalle equazioni del moto, eliminando il parametro $t$.
Da
${(x(t)=v_0cos alpha t), (y(t)=v_0sin alpha t -1/2g t^2):}$
si ricava $t=x/(v_0cos alpha)$ dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda, ottenendo l'equazione della parabola
$y=v_0sin alpha x/(v_0cos alpha) -1/2g(x/(v_0cos alpha))^2=tan alpha x-1/2g/(v_0^2cos^2 alpha)x^2$.
Per trovare l'intersezione tra le curve si deve risolvere il sistema
${(y=-tan phi x), (y=tan alpha x-1/2g/(v_0^2cos^2 alpha)x^2):}$.
Anzi è sufficiente trovare l'ascissa del punto d'intersezione:
$-tan phi x=tan alpha x-1/2g/(v_0^2cos^2 alpha)x^2$.
Oltre alla soluzione ovvia $x=0$ si trova
$x=((2 v_0^2)/g )* (tan alpha + tan phi) cos^2alpha$.
La gittata $L$ è correlata alla $x$ trovata dalla relazione $x=Lcos phi$, per cui la gittata sul piano inclinato ha espressione
$L=(2 v_0^2)/(g cos phi)*(tan alpha + tan phi)cos^2 alpha$.
Per dati $v_0$ e $phi$ la gittata è massima quando lo è il termine $f(alpha)=(tan alpha + tan phi)cos^2 alpha$, con $0<= alpha<=pi/2$.
Ma
$f(alpha)=((sin alpha)/(cos alpha) + tan phi)cos^2 alpha=$
$sin alpha cos alpha + tan phi cos^2 alpha=$
$1/2 sin 2 alpha +1/2 tan phi (cos 2 alpha +1)$
e
$f'(alpha)=cos 2 alpha-tan phi sin 2 alpha$.
Ponendo $f'(alpha)=0$ si ottiene
$cos 2 alpha-tan phi sin 2 alpha=0->cot 2 alpha=tan phi->$
$tan (pi/2-2alpha)=tan phi->pi/2-2alpha=phi->alpha=pi/4-phi/2$.
Potreste darmi una spiegazione del segno meno sulla equazione del piano inclinato. y=−tanϕx
senza il segno negativo il risultato mi da un -π4 nel risultato finale ovviamente.
Grazie
senza il segno negativo il risultato mi da un -π4 nel risultato finale ovviamente.
Grazie
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