Geodetiche e curvatura
Che cos'è una geodetica? Mi direte: la linea di lunghezza minore tra due punti dello spazio, un segmento di retta.
Calma, calma....
Quale spazio? Oh bella, Lo spazio euclideo a tre dimensioni in cui viviamo! Dove vale il teorema di Pitagora.
E su un piano? No problem, togliamo una dimensione: il segmento di retta tra i due punti.
E se lo "spazio" (termine generico che include le superfici) fosse la superficie di una sfera?
Ah...vediamo...no problem, faccio passare per i due punti $P$ e $Q$ un "cerchio massimo", che ha centro nel centro della sfera, e prendo il più piccolo dei due archi. Se una formica cammina sulla sfera da P a Q lungo questo arco, fa il cammino più breve! Prendo un pezzo di spago, lo stendo da P a Q, e ho la lunghezza.
Ma allora, dati P e Q sulla sfera, c'è una sola geodetica? Si.
Nooo..! : se prendi i due punti diametralmente opposti, noti che ci sono infinite geodetiche, cioè infinite semicirconferenze da P a Q. Ah, certo, certo... E la geometria? Su questa superficie, com'è la geometria? Supponi di non voler tenere conto del fatto che la sfera è un solido a tre dimensioni, supponi che tu sia la formica bidimensionale che cammina. Com'è la geometria? È euclidea? Vale il teorema di Pitagora in questo "spazio" ? (Le dimensioni sono solo due ora) ? Mmmmm....non mi sembra che possa valere in grande...forse in piccolo....in un piccolo intorno del punto P, forse con un po' di approssimazione la geometria euclidea può valere....
Bene, continuiamo. E le geodetiche su un cilindro? Su un cono? Su un ellissoide? Su un uovo? Su un elmetto da pompiere? Su una pera? Come fai a trovare una geodetica sulla superficie di una pera, dato il punto iniziale e una direzione di partenza? Come fa la formica a sapere quale strada deve seguire per camminare meno? Forse la formica lo sa per istinto, ma tu?.....
Oh diamine, non ci avevo pensato! Le geodetiche su una pera...Come si può fare? Aspetto risposte, non matematiche. Le aspetto sul serio, io ho solo qualche idea...
Certo che...se parto da un punto di una superficie, con una certa direzione, inizio una geodetica...ma se dallo stesso punto prendo un'altra direzione, le geodetiche si separano, e magari più avanti si potrebbero pure reincontrare....da che cosa dipende? Dal fatto che la superficie ha una proprietà "intrinseca" , la "curvatura". Sul piano, sta tranquillo che se da P parti con due direzioni diverse le geodetiche si separano e non si reincontrano. Lo stesso succede nello spazio euclideo tridimensionale. Ma per esempio sulla superficie di una sfera si reincontrano da qualche parte. E su una superficie qualsiasi... non lo so mica.....!
E se parto da due punti diversi ma "vicini" con due direzioni che secondo due formiche sono inizialmente "parallele" , come va finire? Si reincontrano, si separano per sempre....? Vuoi vedere che dipende dalla....curvatura, quella proprieta intrinseca che hai detto? Si, è proprio così! Dipende dalla curvatura, che per complicare le cose può essere addirittura variabile da punto a punto della superficie. O dello "spazio".
Ma come dipende? Studiati la Geometria differenziale, e lo capirai.
La separazione di due geodetiche, e come essa evolve, dipende dalla curvatura dello spazio.
Questo ci torna utile per capire che cosa succede nella gravitazione newtoniana.
Un punto materiale $P$ abbandonato nel campo gravitazionale terrestre a distanza $R$ dal centro è soggetto alla attrazione gravitazionale che sappiamo. Quindi cade con l'accelerazione che compete a quella posizione iniziale, la quale cresce col diminuire della distanza da terra, e cadendo descrive la verticale discendente, una geodetica appunto: inutile soffermarsi su questo. Ma se c'è un altro punto materiale $Q$ a piccola distanza $vecd$ da $P$, l'accelerazione gravitazionale di $Q$ è diversa da quella di $P$. Le due geodetiche non sono parallele ma convergono verso il centro, inoltre il punto più il alto ha una $g$ minore, essendo piu distante.
In definitiva, come ho scritto sui fogli allegati, ci sono tre componenti non nulle di una accelerazione differenziale tra i due punti, che costituiscono appunto la cosiddetta " deviazione geodetica". Sono dette anche "accelerazioni mareali" perché il calcolo che si fa, per le maree terrestri dovute all'attrazione lunisolare, è del tutto analogo.
Questa è dunque la "deviazione geodetica".La deviazione geodetica delle due particelle nel campo gravitazionale terrestre si interpreta come "curvatura" indotta dalla massa della Terra. Ora, dove ci sono derivate seconde dello spazio in Fisica ci sono delle "accelerazioni", in Geometria c'è una "curvatura" , chiaro? Sono due aspetti della stessa medaglia. Ma in Relativita la curvatura dello spaziotempo è ciò che determina l'andamento delle geodetiche, che convergono o divergono o restano parallele in dipendenza della geometria.
E questo è solo un caso molto semplice. In RG, il calcolo della curvatura a partire dalla "deviazione geodetica" è alquanto più complesso.
Ma ora qualcuno mi dovrebbe dire : qui c'è qualcosa che fa a botte col Principio di Equivalenza...non hai elimintato del tutto il campo gravitazionale, con un riferimento inerziale locale in caduta libera dovresti non avere piu alcun effetto dovuto a $g$ , dentro il LIF hai detto che lo spaziotempo è piatto, vale la Relativita Ristretta.....
Ora mi dici che c'è la curvatura , la deviazione geodetica.....Allora non è più piatto, dentro un LIF, lo spaziotempo? Nell'ascensore in caduta libera, due mele inizialmente a una certa distanza tra loro pian piano si avvicinano nel piano orizzontale, e se una è inizialmente più lontana dell'altra si allontanano anche verticalmente....
Come si risponde?
Calma, calma....
Quale spazio? Oh bella, Lo spazio euclideo a tre dimensioni in cui viviamo! Dove vale il teorema di Pitagora.
E su un piano? No problem, togliamo una dimensione: il segmento di retta tra i due punti.
E se lo "spazio" (termine generico che include le superfici) fosse la superficie di una sfera?
Ah...vediamo...no problem, faccio passare per i due punti $P$ e $Q$ un "cerchio massimo", che ha centro nel centro della sfera, e prendo il più piccolo dei due archi. Se una formica cammina sulla sfera da P a Q lungo questo arco, fa il cammino più breve! Prendo un pezzo di spago, lo stendo da P a Q, e ho la lunghezza.
Ma allora, dati P e Q sulla sfera, c'è una sola geodetica? Si.
Nooo..! : se prendi i due punti diametralmente opposti, noti che ci sono infinite geodetiche, cioè infinite semicirconferenze da P a Q. Ah, certo, certo... E la geometria? Su questa superficie, com'è la geometria? Supponi di non voler tenere conto del fatto che la sfera è un solido a tre dimensioni, supponi che tu sia la formica bidimensionale che cammina. Com'è la geometria? È euclidea? Vale il teorema di Pitagora in questo "spazio" ? (Le dimensioni sono solo due ora) ? Mmmmm....non mi sembra che possa valere in grande...forse in piccolo....in un piccolo intorno del punto P, forse con un po' di approssimazione la geometria euclidea può valere....
Bene, continuiamo. E le geodetiche su un cilindro? Su un cono? Su un ellissoide? Su un uovo? Su un elmetto da pompiere? Su una pera? Come fai a trovare una geodetica sulla superficie di una pera, dato il punto iniziale e una direzione di partenza? Come fa la formica a sapere quale strada deve seguire per camminare meno? Forse la formica lo sa per istinto, ma tu?.....
Oh diamine, non ci avevo pensato! Le geodetiche su una pera...Come si può fare? Aspetto risposte, non matematiche. Le aspetto sul serio, io ho solo qualche idea...
Certo che...se parto da un punto di una superficie, con una certa direzione, inizio una geodetica...ma se dallo stesso punto prendo un'altra direzione, le geodetiche si separano, e magari più avanti si potrebbero pure reincontrare....da che cosa dipende? Dal fatto che la superficie ha una proprietà "intrinseca" , la "curvatura". Sul piano, sta tranquillo che se da P parti con due direzioni diverse le geodetiche si separano e non si reincontrano. Lo stesso succede nello spazio euclideo tridimensionale. Ma per esempio sulla superficie di una sfera si reincontrano da qualche parte. E su una superficie qualsiasi... non lo so mica.....!
E se parto da due punti diversi ma "vicini" con due direzioni che secondo due formiche sono inizialmente "parallele" , come va finire? Si reincontrano, si separano per sempre....? Vuoi vedere che dipende dalla....curvatura, quella proprieta intrinseca che hai detto? Si, è proprio così! Dipende dalla curvatura, che per complicare le cose può essere addirittura variabile da punto a punto della superficie. O dello "spazio".
Ma come dipende? Studiati la Geometria differenziale, e lo capirai.
La separazione di due geodetiche, e come essa evolve, dipende dalla curvatura dello spazio.
Questo ci torna utile per capire che cosa succede nella gravitazione newtoniana.
Un punto materiale $P$ abbandonato nel campo gravitazionale terrestre a distanza $R$ dal centro è soggetto alla attrazione gravitazionale che sappiamo. Quindi cade con l'accelerazione che compete a quella posizione iniziale, la quale cresce col diminuire della distanza da terra, e cadendo descrive la verticale discendente, una geodetica appunto: inutile soffermarsi su questo. Ma se c'è un altro punto materiale $Q$ a piccola distanza $vecd$ da $P$, l'accelerazione gravitazionale di $Q$ è diversa da quella di $P$. Le due geodetiche non sono parallele ma convergono verso il centro, inoltre il punto più il alto ha una $g$ minore, essendo piu distante.
In definitiva, come ho scritto sui fogli allegati, ci sono tre componenti non nulle di una accelerazione differenziale tra i due punti, che costituiscono appunto la cosiddetta " deviazione geodetica". Sono dette anche "accelerazioni mareali" perché il calcolo che si fa, per le maree terrestri dovute all'attrazione lunisolare, è del tutto analogo.
Questa è dunque la "deviazione geodetica".La deviazione geodetica delle due particelle nel campo gravitazionale terrestre si interpreta come "curvatura" indotta dalla massa della Terra. Ora, dove ci sono derivate seconde dello spazio in Fisica ci sono delle "accelerazioni", in Geometria c'è una "curvatura" , chiaro? Sono due aspetti della stessa medaglia. Ma in Relativita la curvatura dello spaziotempo è ciò che determina l'andamento delle geodetiche, che convergono o divergono o restano parallele in dipendenza della geometria.
E questo è solo un caso molto semplice. In RG, il calcolo della curvatura a partire dalla "deviazione geodetica" è alquanto più complesso.
Ma ora qualcuno mi dovrebbe dire : qui c'è qualcosa che fa a botte col Principio di Equivalenza...non hai elimintato del tutto il campo gravitazionale, con un riferimento inerziale locale in caduta libera dovresti non avere piu alcun effetto dovuto a $g$ , dentro il LIF hai detto che lo spaziotempo è piatto, vale la Relativita Ristretta.....
Ora mi dici che c'è la curvatura , la deviazione geodetica.....Allora non è più piatto, dentro un LIF, lo spaziotempo? Nell'ascensore in caduta libera, due mele inizialmente a una certa distanza tra loro pian piano si avvicinano nel piano orizzontale, e se una è inizialmente più lontana dell'altra si allontanano anche verticalmente....
Come si risponde?
Risposte
Credo che si possa rispondere che per distanze tra le masse e intervalli di tempo non nulli il sistema è solo approssimativamente inerziale.
http://people.hofstra.edu/Stefan_Waner/RealWorld/pdfs/DiffGeom.pdf
In questo link che hai postato nell'altra discussione, quando vengono introdotti i sistemi di riferimento localmente inerziali (pag. 71), viene fatta una precisazione
"Question Is there a local coordinate system such that all geodesics are in fact straight lines?
Answer Not in general; if you make some geodesics straight, then others wind up curved. It
is the curvature tensor that is responsible for this. This involves the derivatives of the
Christoffel symbols, and we can't make it vanish."
Allora mi viene in mente questo esempio, monodimensionale per semplicità, bidimensionale se consideriamo anche il tempo, della stessa persona che, posta a terra quindi con curvatura non nulla dello spazio dovuta alla massa gravitazionale della terra stessa, lancia una palla in verticale e descrive il moto della palla rispetto al suo sistema di riferimento, non inerziale.
Il grafico dovrebbe essere di questo tipo, se la palla non raggiunge la velocità di fuga dala terra
é possibile trovare un sistema di riferimento localmente inerziale in cui la traiettoria della palla lanciata è una linea localmente retta.
Dopo un certo tempo la persona lancia un'altra palla e le due palle si incontrano nel punto R, diciamo che occupano praticamente la stessa posizione nello stesso tempo, ma non si scontrano. Il sistema localmente inerziale per la prima palla è localmente inerziale anche per la seconda? Cioè il peso viene elimitao per entrambe le palle in R?
Se questo è vero, lo è perchè il sistema di riferimento ha qualche proprietà, come l'essere di Lorentz, come definito a pag. 52?
http://people.hofstra.edu/Stefan_Waner/RealWorld/pdfs/DiffGeom.pdf
In questo link che hai postato nell'altra discussione, quando vengono introdotti i sistemi di riferimento localmente inerziali (pag. 71), viene fatta una precisazione
"Question Is there a local coordinate system such that all geodesics are in fact straight lines?
Answer Not in general; if you make some geodesics straight, then others wind up curved. It
is the curvature tensor that is responsible for this. This involves the derivatives of the
Christoffel symbols, and we can't make it vanish."
Allora mi viene in mente questo esempio, monodimensionale per semplicità, bidimensionale se consideriamo anche il tempo, della stessa persona che, posta a terra quindi con curvatura non nulla dello spazio dovuta alla massa gravitazionale della terra stessa, lancia una palla in verticale e descrive il moto della palla rispetto al suo sistema di riferimento, non inerziale.
Il grafico dovrebbe essere di questo tipo, se la palla non raggiunge la velocità di fuga dala terra
é possibile trovare un sistema di riferimento localmente inerziale in cui la traiettoria della palla lanciata è una linea localmente retta.
Dopo un certo tempo la persona lancia un'altra palla e le due palle si incontrano nel punto R, diciamo che occupano praticamente la stessa posizione nello stesso tempo, ma non si scontrano. Il sistema localmente inerziale per la prima palla è localmente inerziale anche per la seconda? Cioè il peso viene elimitao per entrambe le palle in R?
Se questo è vero, lo è perchè il sistema di riferimento ha qualche proprietà, come l'essere di Lorentz, come definito a pag. 52?
Sonoqui, complimenti! Sei gia arrivato a pag 71 della dispensa!
È perfetta la tua risposta, dal punto di vista matematico : si può trovare una trasformazione di coordinate, nel punto che ci interessa, tale che i coefficienti della metrica siano in quel punto quelli dello spaziotempo piatto, e le loro derivate prime siano nulle; ma nella trasformazione di coordinate non si annullano invece le derivate seconde dei coefficienti della metrica, che poi entrano nelle derivate prime dei simboli di Christoffel, che a loro volta entrano nel tensore di curvatura di Riemann. Quindi le componenti del tensore di Riemann non sono tutte nulle, e non è percio rispettata la condizione necessaria e sufficiente per avere curvatura nulla. Trattandosi di un tensore, se le sue componenti non sono nulle in un sistema di coordinate, non lo sono in nessuno.
Ok, questa è la spiegazione matematica di quello che succede, dal punto di vista "complicato" della RG.
Ma temo che qui non ci siamo fatti capire da molte persone! Io volevo solo sapere se secondo qualcuno il P.E. di Einstein è una patacca o no! E pensavo a una cosa molto più terra-terra, che avesse a che fare, per esempio, con la geometria differenziale...Ti viene a mente niente, con piani tangenti a superfici curve....?? Con le carte che rappresentano la superficie terrestre, per esempio??
PEr quanto riguarda il tuo esempio, perdonami ma io non l'ho capito molto. Vorresti spiegarlo meglio, se puoi?
È perfetta la tua risposta, dal punto di vista matematico : si può trovare una trasformazione di coordinate, nel punto che ci interessa, tale che i coefficienti della metrica siano in quel punto quelli dello spaziotempo piatto, e le loro derivate prime siano nulle; ma nella trasformazione di coordinate non si annullano invece le derivate seconde dei coefficienti della metrica, che poi entrano nelle derivate prime dei simboli di Christoffel, che a loro volta entrano nel tensore di curvatura di Riemann. Quindi le componenti del tensore di Riemann non sono tutte nulle, e non è percio rispettata la condizione necessaria e sufficiente per avere curvatura nulla. Trattandosi di un tensore, se le sue componenti non sono nulle in un sistema di coordinate, non lo sono in nessuno.
Ok, questa è la spiegazione matematica di quello che succede, dal punto di vista "complicato" della RG.
Ma temo che qui non ci siamo fatti capire da molte persone! Io volevo solo sapere se secondo qualcuno il P.E. di Einstein è una patacca o no! E pensavo a una cosa molto più terra-terra, che avesse a che fare, per esempio, con la geometria differenziale...Ti viene a mente niente, con piani tangenti a superfici curve....?? Con le carte che rappresentano la superficie terrestre, per esempio??
PEr quanto riguarda il tuo esempio, perdonami ma io non l'ho capito molto. Vorresti spiegarlo meglio, se puoi?
Si tratta di un sistema di coordinate z-t (coordinata su un asse verticale e tempo) fissato sulla superficie terrestre in un dato istante.
è un sistema di riferimento non inerziale, rispetto al quale le geodetiche sono rappresentate come delle curve, non linee rette, e rispetto al quale viene descritto il moto di alcuni corpi: una persona fissa sulla terra su una certa coordinata, la cui traiettoria è la linea retta verticale passante per P, e due palle in caduta libera, le cui traiettorie, geodetiche essendo libere da forze, sono rappresentate dalle curve simili a sinusoidi, per effetto delle curvatura dello spazio dovuta alla presenza della massa gravitazionale della Terra. Sia le palle che la persona sono delle masse di prova, quindi la curvatura in pratica dipende solo dalla massa della Terra.
Le due palle vengono lanciate dalla persona in due istanti diversi e si incontrano nel punto R, in cui sappaimo che, per ognuna delle due geodetiche, è possibile trovare un sistema di riferimento localmente inerziale.
La questione è che, per uno spazio curvo qualsiasi, un sistema di riferimento localmente inerziale, in cui una geodetica compare localmente rettilinea, in generale non è localmente inerziale anche per l'altra, quindi il peso in R non viene eliminato, in senso generale.
è un sistema di riferimento non inerziale, rispetto al quale le geodetiche sono rappresentate come delle curve, non linee rette, e rispetto al quale viene descritto il moto di alcuni corpi: una persona fissa sulla terra su una certa coordinata, la cui traiettoria è la linea retta verticale passante per P, e due palle in caduta libera, le cui traiettorie, geodetiche essendo libere da forze, sono rappresentate dalle curve simili a sinusoidi, per effetto delle curvatura dello spazio dovuta alla presenza della massa gravitazionale della Terra. Sia le palle che la persona sono delle masse di prova, quindi la curvatura in pratica dipende solo dalla massa della Terra.
Le due palle vengono lanciate dalla persona in due istanti diversi e si incontrano nel punto R, in cui sappaimo che, per ognuna delle due geodetiche, è possibile trovare un sistema di riferimento localmente inerziale.
La questione è che, per uno spazio curvo qualsiasi, un sistema di riferimento localmente inerziale, in cui una geodetica compare localmente rettilinea, in generale non è localmente inerziale anche per l'altra, quindi il peso in R non viene eliminato, in senso generale.
Oh diamine, non ci avevo pensato! Le geodetiche su una pera...Come si può fare? Aspetto risposte, non matematiche. Le aspetto sul serio, io ho solo qualche idea...
ma come sai meglio di me l'unico modo per calcolare le geodetiche è avere a disposizione il tensore metrico, dopo di che scrivere l'equazione differenziale delle geodetiche è semplice ma tedioso. La cosa difficile è appunto risolvere le equazioni differenziali. Quindi il mio suggerimento è di andare nella sezione di analisi matematica, rapirti il buon gugo e schiavizzarlo fino a quando non ti trova le geodetiche sulla pera
Tempo fa si parlava delle geodetiche sul toro:
viewtopic.php?f=37&t=61069
Ma temo che qui non ci siamo fatti capire da molte persone! Io volevo solo sapere se secondo qualcuno il P.E. di Einstein è una patacca o no! E pensavo a una cosa molto più terra-terra, che avesse a che fare, per esempio, con la geometria differenziale...Ti viene a mente niente, con piani tangenti a superfici curve....?? Con le carte che rappresentano la superficie terrestre, per esempio??
Intanto diamo la definizione di principio di equivalenza:
Il WEP(weak equivalence principle) asserisce che il moto di una particella libera è lo stesso in un campo gravitazionale in piccole regioni dello spaziotempo.
In regioni più grandi di spaziotempo ci saranno come hai detto delle inomogeneità del campo gravitazionale che da vita a delle forze di marea che possono essere rivelate.
Tu, se non ho capito male, vuoi vedere se esiste qualche controesempio che possa dimostrare che il EP è falso.
A me non pare proprio che ciò sia possibile dal momento che la formulazione che ho dato del WEP discende direttamente dal fatto che la massa inerziale è uguale alla massa gravitazionale (se non ricordo male l'errore è sulla dodicesima cifra decimale).
Einstein, come sai, pensò di generalizzare il WEP nel EEP(einstein equivalence principle) che asserisce che:
In piccole regioni di spaziotempo le leggi della fisica si riducono a quelle della relatività speciale; è impossibile rivelare l'esistenza di un campo gravitazionale per mezzo di qualunque tipo di esperimenti locali.
( tra l'altro al buon albert adesso che ci penso piaceva generalizzare i principi della fisica; già quando pubblicò la teoria della relatività speciale generalizzò il principio di relatività galileiana....
)Quindi secondo me l'idea è questa:
Il WEP è sicuramente straconfermato dagli esperimenti e quindi possiamo assumerlo per "vero", mentre il EEP non è straconfermato dagli esperimenti, tuttavia appare improbabile avere una teoria della gravità che soddisfi il WEP e non EEP.
Proviamo a fare qualche esempio:
Consideriamo per esempio un atomo di idrogeno, che è uno stato legato di un protone con un elettrone.
La massa di questo atomo è inferiore alla somma della massa del protone con la massa dell'elettrone presi individualmente, dal momento che abbiamo una energia di legame negativa. Secondo il WEP la massa del H(atomo di idrogeno) è inferiore alla massa del protone con l'elettrone.Quindi il campo gravitazionale si comporta, in un certo senso, come il campo elettromagnetico(che tiene unito l'atomo) e questa è l'essenza del EEP.
In ogni caso per quanto poco ne so è possibile costruirsi delle teorie(teorie della gravità modificata) in cui vale il WEP ma non EEP; tuttavia queste teorie appaiono controverse sebbene non ci sia nessuna legge fisica che le proibisca.
spero di non aver detto troppo cavolate nav..
spero di non aver detto troppo cavolate
L'unica che hai detto è: schiavizzare Gugo 82 per trovare le equazioni delle geodetiche sulla pera!
e chi ci riuscirà mai? A schiavizzare, dico....
E poi, l'equazione della superficie della pera, come la trova Gugo? Può anche resuscitare Gauss, Riemann, Christoffel, Hilbert, Levi-Civita, Ricci Curbastro,....ma secondo me non la trova analiticamente, l'equazione della superficie della pera, e i coefficienti della metrica per calcolare i simboli di Christoffel !
Per il toro, sono più pratico : vado sul sito di Arrigo Amadori e trovo....
Per la pera, potrei fare così ( non mi linciate ora! Al massimo dite : vaffa...): oggi esistono dei programmi computerizzati di CAD e disegno 3D molto sofisticati, con cui si disegnano le carene delle navi, degli aerei, delle automobili, con una precisione qualunque: spiego il problema a un programmatore, e quello in 4+4 = 8 mi disegna la geodetica, dato il punto iniziale e la direzione iniziale.
Oppure, faccio ricorso al metodo degli elementi finiti FEM, riduco la superficie della pera ad un fittissimo insieme di maglie, e per ogni maglia faccio il pezzetto di geodetica.
Oppure, seguirei l'istinto della formica bidimensionale, con un metodo molto empirico:
Ingigantisco la pera, diciamo che la faccio alta 2m e larga in proporzione. Stabilisco il punto e la direzione iniziali. Poi prendo un rotolo di nastro adesivo, lo scotch, largo il meno possibile ( 1cm è già troppo). Con pazienza, attacco l'inizio del nastro nel punto iniziale, con l'asse nella direzione iniziale. Poi lentamente, con infinita accortezza, srotolo lo scotch tenendo il rotolino con una mano e adagiando piano piano, coll'indice dell'altra mano, il nastro sulla superficie, stando ben attento a non farlo accavallare nè a destra nè a sinistra, insomma appiattendolo ma senza fare grinze di qua o di là, pezzetto dopo pezzetto, senza tirare... Con pazienza e cura.
Se la superficie della pera è regolare e non presenta grosse curvature (piccoli raggi) locali, dovrei riuscire a descrivere la geodetica col nastro adesivo attaccato.
Ho preparato l'autostrada "diritta" per la formica bidimensionale.
Oppure, più semplicemente (!!!!) munisco la formica bidimensionale di una automobilina dotata di navigatore inerziale, con accelerometro che misuri qualunque deviazione a destra e a sinistra, e dico alla formica : vai diritta, non devi curvare da nessuna parte !
O anche, più seriamente, applico la definizione di geodetica : è la curva che trasporta "parallelamente" il proprio vettore tangente, in quella operazione che appunto si chiama "trasporto parallelo" di un vettore in uno spazio curvo, ma lo faccio lungo "se stessa" . Che vuol dire?
Dato il punto iniziale e la direzione iniziale, disegno con un pennarello un piccolo vettore (supp. di 1 cm) dal punto nella direzione data. Il vettore lo sto disegnando su una superficie curva, ma in realta dovrei considerare il piano tangente alla superficie nel punto, e disegnarlo sul piano tangente. Davanti al primo, ne disegno un altro, "parallelo" al primo : non deve deviare né a destra nè a sinistra, ma essere "allineato" col precedente (non è preciso matematicamente, ma serve a rendere l'idea: in realtà dovrei considerare una successione di piani tangenti...). Poi proseguo così : disegno il terzo davanti al secondo, sempre "allineato", poi un quarto, poi un quinto....e dove la curvatura della superficie è molto accentuata, farò il vettore molto piccolo...e così proseguo . Ho realizzato quello che si chiama "trasporto parallelo" del vettore tangente lungo la curva stessa: la geodetica è questa curva che viene fuori, appunto.
Il trasporto parallelo è una scoperta matematica del grande matematico italiano Tullio Levi Civita, allievo e poi collaboratore di Gregorio Ricci Curbastro. Se non fosse stato per loro, Einstein non avrebbe potuto formulare matematicamente la RG.
Baldo, per la storia del P.E. = patacca o no, ti scrivo dopo o domani, non so.
Sonoqui, il tuo quesito è un vero rebus, ma secondo me il problema è mal posto. Sto preparando qualche considerazione.
Avevo scritto questo :
E ora ritengo necessario dare qualche chiarimento, cioè la risposta.
Ho riportato nei fogli scritti a mano il calcolo della deviazione geodetica nel campo gravitazionale della Terra, espressa dalle formule dell'accelerazione relativa di una particella di prova rispetto a una "vicina" particella "fiduciaria", che descrivono entrambe due geodetiche che convergono verso il centro della Terra :
$(d^2x)/(dt^2) + GM*x/R^3 = 0 $
$(d^2y)/(dt^2) + GM*y/R^3 = 0 $
$(d^2z)/(dt^2) - 2GM*z/R^3 = 0 $
Si vede che le deviazioni sono dell'ordine di $d/R^3$ , dove $d$ è la distanza tra le particelle e $R$ è la distanza tra la particella di prova e il centro della Terra.
Per esempio, consideriamo due di quelle sfere di vetro fluttuanti nella ISS del video che ho messo, e supponiamo che le tre distanze siano :$x=y=z = 1m$ .
La ISS si trova a circa $450 km$ sopra la Terra , quindi $R = (6371 + 450) = 6821 km = 6.82*10^6 m$
Quindi, mettendo i valori, si trova (se ho fatto bene i conti):
$(d^2x)/(dt^2) = - 6.67*10^(-11)*6*10^(24)*1/(6.82^3*10^(18)) m/s^2 = -1.2616*10^(-6) m/s^2$
Analogamente per gli altri valori. Una accelerazione differenziale veramente ridicola rispetto a $g$. Che però è sufficiente per dire che lo spazio attorno alla Terra è "curvo", curvato dalla gravità, e non piatto. (il tempo è fuori, ora).
"Spazio curvo" non significa che la Terra è curva! Significa che la metrica dello spazio attorno alla Terra non è a rigore euclidea. Quindi il "riferimento inerziale locale" rappresentato dalla ISS non ha annullato la "curvatura" dello spazio. Ma sceglierlo "locale" ha reso estremamente piccola questa curvatura, al limite trascurabile. Non possiamo scegliere un riferimento in caduta libera che sia "enorme" rispetto alla Terra, perche questi effetti di curvatura sarebbero grandi.
Ecco che cosa fa il EEP di Einstein: fa in sostanza lo stesso tipo di approssimazione, che si fa quando si deve rappresentare un pezzo di superficie curva (come la Terra) su un piano. Quanto più piccolo, cioè "locale", è il riferimento inerziale in caduta libera, tanto più è trascurabile la deviazione delle geodetiche dovuta alla curvatura dello spaziotempo (in RG, bisogna parlare di "piccolezza" del LIF anche in relazione alla variabile "tempo", poiché il campo gravitazionale può dipendere anche da questo).
Alcuni fisici a lui contemporanei arrivarono a dire: "Einstein io ti odio per questo tuo principio approssimato!"
Ma la validità del principio sta anche nell'uso che se ne fa. Siccome le equazioni della RG sono equazioni tensoriali, esse valgono in tutti i riferimenti di coordinate, tra i quali sussistono certe relazioni di trasformazione che portano tensori in tensori. Se certe quantità tensoriali si annullano in un riferimento, devono essere nulle anche in altri riferimenti attenuti dal primo mediante le trasformazioni di coordinate dette. E capita che certe quantità tensoriali siano nulle nel LIF, proprio perché è un riferimento inerziale. E allora sono nulle anche in altri riferimenti.
Ma ora qualcuno mi dovrebbe dire : qui c'è qualcosa che fa a botte col Principio di Equivalenza...non hai elimintato del tutto il campo gravitazionale, con un riferimento inerziale locale in caduta libera dovresti non avere piu alcun effetto dovuto a g , dentro il LIF hai detto che lo spaziotempo è piatto, vale la Relativita Ristretta.....
Ora mi dici che c'è la curvatura , la deviazione geodetica.....Allora non è più piatto, dentro un LIF, lo spaziotempo? Nell'ascensore in caduta libera, due mele inizialmente a una certa distanza tra loro pian piano si avvicinano nel piano orizzontale, e se una è inizialmente più lontana dell'altra si allontanano anche verticalmente....
Come si risponde?
E ora ritengo necessario dare qualche chiarimento, cioè la risposta.
Ho riportato nei fogli scritti a mano il calcolo della deviazione geodetica nel campo gravitazionale della Terra, espressa dalle formule dell'accelerazione relativa di una particella di prova rispetto a una "vicina" particella "fiduciaria", che descrivono entrambe due geodetiche che convergono verso il centro della Terra :
$(d^2x)/(dt^2) + GM*x/R^3 = 0 $
$(d^2y)/(dt^2) + GM*y/R^3 = 0 $
$(d^2z)/(dt^2) - 2GM*z/R^3 = 0 $
Si vede che le deviazioni sono dell'ordine di $d/R^3$ , dove $d$ è la distanza tra le particelle e $R$ è la distanza tra la particella di prova e il centro della Terra.
Per esempio, consideriamo due di quelle sfere di vetro fluttuanti nella ISS del video che ho messo, e supponiamo che le tre distanze siano :$x=y=z = 1m$ .
La ISS si trova a circa $450 km$ sopra la Terra , quindi $R = (6371 + 450) = 6821 km = 6.82*10^6 m$
Quindi, mettendo i valori, si trova (se ho fatto bene i conti):
$(d^2x)/(dt^2) = - 6.67*10^(-11)*6*10^(24)*1/(6.82^3*10^(18)) m/s^2 = -1.2616*10^(-6) m/s^2$
Analogamente per gli altri valori. Una accelerazione differenziale veramente ridicola rispetto a $g$. Che però è sufficiente per dire che lo spazio attorno alla Terra è "curvo", curvato dalla gravità, e non piatto. (il tempo è fuori, ora).
"Spazio curvo" non significa che la Terra è curva! Significa che la metrica dello spazio attorno alla Terra non è a rigore euclidea. Quindi il "riferimento inerziale locale" rappresentato dalla ISS non ha annullato la "curvatura" dello spazio. Ma sceglierlo "locale" ha reso estremamente piccola questa curvatura, al limite trascurabile. Non possiamo scegliere un riferimento in caduta libera che sia "enorme" rispetto alla Terra, perche questi effetti di curvatura sarebbero grandi.
Ecco che cosa fa il EEP di Einstein: fa in sostanza lo stesso tipo di approssimazione, che si fa quando si deve rappresentare un pezzo di superficie curva (come la Terra) su un piano. Quanto più piccolo, cioè "locale", è il riferimento inerziale in caduta libera, tanto più è trascurabile la deviazione delle geodetiche dovuta alla curvatura dello spaziotempo (in RG, bisogna parlare di "piccolezza" del LIF anche in relazione alla variabile "tempo", poiché il campo gravitazionale può dipendere anche da questo).
Alcuni fisici a lui contemporanei arrivarono a dire: "Einstein io ti odio per questo tuo principio approssimato!"
Ma la validità del principio sta anche nell'uso che se ne fa. Siccome le equazioni della RG sono equazioni tensoriali, esse valgono in tutti i riferimenti di coordinate, tra i quali sussistono certe relazioni di trasformazione che portano tensori in tensori. Se certe quantità tensoriali si annullano in un riferimento, devono essere nulle anche in altri riferimenti attenuti dal primo mediante le trasformazioni di coordinate dette. E capita che certe quantità tensoriali siano nulle nel LIF, proprio perché è un riferimento inerziale. E allora sono nulle anche in altri riferimenti.
@ sonoqui
ho qualche perplessità su quanto scrivi, penso sia il frutto di una tua idea, giusto? E perciò permettimi di fare qualche osservazione, perché francamente ancora non ho capito molto.
La rappresentazione dello spaziotempo (una sola dimensione spaziale, una dimensione temporale) in un diagramma con asse $t$ verticale e asse $z$ orizzontale è tipica della Relatività Ristretta, è un semplice diagramma di Minkowski come ne abbiamo fatti tanti, giusto?
Allora, se ho ben capito: hai un uomo $P$ a Terra, il suo asse $z$ spaziale è la verticale ascendente, il suo tempo proprio scorre regolarmente, e tu rappresenti lo spazio $z$ sull'asse orizzontale del disegno e il tempo su quello verticale. Esatto?
Allora faccio una prima osservazione : la linea d'universo di una palla su questo diagramma deve essere contenuta dentro il cono di luce del futuro di $P$, quindi il vettore tangente alla linea di universo deve formare con l'asse t, in ogni istante, un angolo minore di 45º.
Detto questo, la linea di universo di $P$ si svolge costantemente sull'asse $t$.
LA palla invece deve avere una linea d'universo parabolica ma con asse orizzontale in questo diagramma che hai fatto: infatti la palla si "allontana" dall'origine con una velocita iniziale che poi decresce, si arresta e torna indietro: questo, mettendo l'asse t dell'osservatore P come lo hai messo tu, si traduce in una l.u. della palla che prima va verso destra e poi torna verso sinistra. Percio non capisco la forma sinusoidale che hai dato alla traiettoria.
ma quale? La Terra su cui poggia i piedi l'uomo? Dal punto di vista del Principio di Equivalenza sí, (non quello classico, altrimenti cadiamo nell'equivoco dell'altro 3d ! Questo deve essere chiaro!). Dal punto di vista del P.E. devi considerare la Terra come accelerata verso l'alto.Ma ripeto, su questo diagramma non lo vedi, è il riferimento di P questo diagramma!
gia comincio a non capire più. Tu forse hai in mente l'altro diagramma, quello che hai postato nell'altro 3d, dove c'è la linea di universo della palla che è disegnata rettilinea, mentre quella dell'uomo è disegnata curva? Ma ora ti chiedo, perché non so da dove lo hai preso : rispetto a quale osservatore è tracciato quel diagramma ? Cioè, a chi si riferiscono gli assi $(t,z)$ di quel diagramma? Io non l'ho mica capito!
e continuo a perdere il filo del tuo ragionamento...La persona fissa a Terra, in "questo riferimento" è ferma, lui è solidale al riferimento terrestre, sia pure considerato "in accelerazione verso l'alto" in base al P.E.Non capisco. Guarda che un riferimento è relativo ad un certo osservatore. Chi è l'osservatore qui? Non lo so.
Fermati un attimo, mi sta girando la testa....La palla lanciata che poi ricade, dal punto di vista classico descrive la parabola. La sinusoide di cui dici, e che già ti ho detto non mi sembra corretta, l'hai fatta sul diagramma di Minkowski $z,t$ . Ma che c'entra con la "geodetica" naturale che la palla fa nello spaziotempo del riferimento terrestre? No, francamente faccio fatica a capire. Ti ho gia detto che una palla su questo diagramma deve avere una l.u. con ase orizzontale,e così la seconda, che parte un po' dopo, come dici.
Certo, ok.
È questo "incontro in R" che proprio non capisco. Il punto R è disegnato su un diagramma di Minkowski, e già ti ho chiarito che se ne fa uso in RR, e poi le sinusoidi non vanno bene.
No, non capisco proprio.
In RG si parla di "deviazione geodetica" se è questo che vuoi dire.
Le geodetiche dello spaziotempo di corpi diversi si possono pure incrociare, chi dice di no. Ma "localmente inerziale" è il sistema di riferimento che "localmente" puoi sostituire ad un sistema di riferimento globale nel quale sarebbe impossibile fare una trattazione matematica unica della fisica gravitazionale. La "deviazione geodetica" che poi misura la curvatura si valuta considerando due geodetiche "vicine", di cui assumi una come geodetica "fiduciaria" e valuti la deviazione dell'altra rispetto a questa. È una valutazione "locale" non mi stanco di ripeterlo. Non puoi confrontare quello che succede nell'ascensore in caduta libera a Roma con quello che succede nell'ascensore in caduta libera a Milano!
In RG le misure di distanze e intervalli di tempo non sono semplici, sono complicate. Non ha senso, per esempio, parlare di "distanza" determinata tra corpi, in generale: la "distanza" in RG ha soltanto un significato locale. Altrettanto dicasi per la sincronizzazione degli orologi. Ma qui si entra in discorsi molto complessi, che non mi sembra il caso di esaminare qui.
Francamente non so che cosa tu abbia voluto dire.
Scusami, il tuo esempio mi sembra impossibile da trattare. Ho cercato di dare qualche chiarimento su qualche concetto (spero di non aver detto corbellerie!), ma più di questo non so.
ho qualche perplessità su quanto scrivi, penso sia il frutto di una tua idea, giusto? E perciò permettimi di fare qualche osservazione, perché francamente ancora non ho capito molto.
"sonoqui_":
Si tratta di un sistema di coordinate z-t (coordinata su un asse verticale e tempo) fissato sulla superficie terrestre in un dato istante.
La rappresentazione dello spaziotempo (una sola dimensione spaziale, una dimensione temporale) in un diagramma con asse $t$ verticale e asse $z$ orizzontale è tipica della Relatività Ristretta, è un semplice diagramma di Minkowski come ne abbiamo fatti tanti, giusto?
Allora, se ho ben capito: hai un uomo $P$ a Terra, il suo asse $z$ spaziale è la verticale ascendente, il suo tempo proprio scorre regolarmente, e tu rappresenti lo spazio $z$ sull'asse orizzontale del disegno e il tempo su quello verticale. Esatto?
Allora faccio una prima osservazione : la linea d'universo di una palla su questo diagramma deve essere contenuta dentro il cono di luce del futuro di $P$, quindi il vettore tangente alla linea di universo deve formare con l'asse t, in ogni istante, un angolo minore di 45º.
Detto questo, la linea di universo di $P$ si svolge costantemente sull'asse $t$.
LA palla invece deve avere una linea d'universo parabolica ma con asse orizzontale in questo diagramma che hai fatto: infatti la palla si "allontana" dall'origine con una velocita iniziale che poi decresce, si arresta e torna indietro: questo, mettendo l'asse t dell'osservatore P come lo hai messo tu, si traduce in una l.u. della palla che prima va verso destra e poi torna verso sinistra. Percio non capisco la forma sinusoidale che hai dato alla traiettoria.
...è un sistema di riferimento non inerziale....
ma quale? La Terra su cui poggia i piedi l'uomo? Dal punto di vista del Principio di Equivalenza sí, (non quello classico, altrimenti cadiamo nell'equivoco dell'altro 3d ! Questo deve essere chiaro!). Dal punto di vista del P.E. devi considerare la Terra come accelerata verso l'alto.Ma ripeto, su questo diagramma non lo vedi, è il riferimento di P questo diagramma!
....rispetto al quale le geodetiche sono rappresentate come delle curve, non linee rette...
gia comincio a non capire più. Tu forse hai in mente l'altro diagramma, quello che hai postato nell'altro 3d, dove c'è la linea di universo della palla che è disegnata rettilinea, mentre quella dell'uomo è disegnata curva? Ma ora ti chiedo, perché non so da dove lo hai preso : rispetto a quale osservatore è tracciato quel diagramma ? Cioè, a chi si riferiscono gli assi $(t,z)$ di quel diagramma? Io non l'ho mica capito!
....e rispetto al quale viene descritto il moto di alcuni corpi: una persona fissa sulla terra su una certa coordinata, la cui traiettoria è la linea retta verticale passante per P.....
e continuo a perdere il filo del tuo ragionamento...La persona fissa a Terra, in "questo riferimento" è ferma, lui è solidale al riferimento terrestre, sia pure considerato "in accelerazione verso l'alto" in base al P.E.Non capisco. Guarda che un riferimento è relativo ad un certo osservatore. Chi è l'osservatore qui? Non lo so.
....e due palle in caduta libera, le cui traiettorie, geodetiche essendo libere da forze, sono rappresentate dalle curve simili a sinusoidi....
Fermati un attimo, mi sta girando la testa....La palla lanciata che poi ricade, dal punto di vista classico descrive la parabola. La sinusoide di cui dici, e che già ti ho detto non mi sembra corretta, l'hai fatta sul diagramma di Minkowski $z,t$ . Ma che c'entra con la "geodetica" naturale che la palla fa nello spaziotempo del riferimento terrestre? No, francamente faccio fatica a capire. Ti ho gia detto che una palla su questo diagramma deve avere una l.u. con ase orizzontale,e così la seconda, che parte un po' dopo, come dici.
....per effetto delle curvatura dello spazio dovuta alla presenza della massa gravitazionale della Terra. Sia le palle che la persona sono delle masse di prova, quindi la curvatura in pratica dipende solo dalla massa della Terra
Certo, ok.
Le due palle vengono lanciate dalla persona in due istanti diversi e si incontrano nel punto R, in cui sappaimo che, per ognuna delle due geodetiche, è possibile trovare un sistema di riferimento localmente inerziale
È questo "incontro in R" che proprio non capisco. Il punto R è disegnato su un diagramma di Minkowski, e già ti ho chiarito che se ne fa uso in RR, e poi le sinusoidi non vanno bene.
No, non capisco proprio.
La questione è che, per uno spazio curvo qualsiasi, un sistema di riferimento localmente inerziale, in cui una geodetica compare localmente rettilinea, in generale non è localmente inerziale anche per l'altra...
In RG si parla di "deviazione geodetica" se è questo che vuoi dire.
Le geodetiche dello spaziotempo di corpi diversi si possono pure incrociare, chi dice di no. Ma "localmente inerziale" è il sistema di riferimento che "localmente" puoi sostituire ad un sistema di riferimento globale nel quale sarebbe impossibile fare una trattazione matematica unica della fisica gravitazionale. La "deviazione geodetica" che poi misura la curvatura si valuta considerando due geodetiche "vicine", di cui assumi una come geodetica "fiduciaria" e valuti la deviazione dell'altra rispetto a questa. È una valutazione "locale" non mi stanco di ripeterlo. Non puoi confrontare quello che succede nell'ascensore in caduta libera a Roma con quello che succede nell'ascensore in caduta libera a Milano!
In RG le misure di distanze e intervalli di tempo non sono semplici, sono complicate. Non ha senso, per esempio, parlare di "distanza" determinata tra corpi, in generale: la "distanza" in RG ha soltanto un significato locale. Altrettanto dicasi per la sincronizzazione degli orologi. Ma qui si entra in discorsi molto complessi, che non mi sembra il caso di esaminare qui.
....quindi il peso in R non viene eliminato, in senso generale.
Francamente non so che cosa tu abbia voluto dire.
Scusami, il tuo esempio mi sembra impossibile da trattare. Ho cercato di dare qualche chiarimento su qualche concetto (spero di non aver detto corbellerie!), ma più di questo non so.
Per rispondere ad alcune tue domande devo fare delle precisazioni, perchè in effetti il disegno è poco chiaro e mancano dei dati importanti.
Ho supposto che le velocità raggiunte dalle due palle siano molto inferiori rispetto alla velocità della luce, diciamo che il cono di luce con vertice in P va a coincidere con tutto lo spazio z-t.
z-t è un sistema di riferimento fissato nel centro della terra all'istante t=0, ed è un riferimento classicamente parlando perfettamente inerziale, mentre dal punto di vista relativistico lo è solo localmente, nello spazio e per ogni istante di tempo, al centro della terra (a quota 0). La terra è supposta come una sfera perfetta e con distribuzione di massa gravitazionale uniforme. Nel centro della terra la curvatura dello spazio (z-t) è nulla e di fatto le geodetiche, comunque orientate, qui sono tutte localmente rettilinee (proprio come nell'esempio postato nell'atro topic, della persona accelerata, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (anche in senso relativistico) che lancia una palla; in questo altro esempio le geodetiche sono rettilinee ovunque, non solo in un punto dello spazio, e comunque siano orientate, essendo questo perfettamente piatto ovunque, per ipotesi).
L'andamento simile a sinusoide delle geodetiche delle palle (è solo un grafico qualitativo) è dovuto al fatto che la curvatura varia con la quota z, si annulla per z=0 e tende a 0 all'infinito, e al fatto che la persona non lancia le palle con velocità maggiore o uguale a quella di fuga dalla terra.
Ho supposto che le velocità raggiunte dalle due palle siano molto inferiori rispetto alla velocità della luce, diciamo che il cono di luce con vertice in P va a coincidere con tutto lo spazio z-t.
z-t è un sistema di riferimento fissato nel centro della terra all'istante t=0, ed è un riferimento classicamente parlando perfettamente inerziale, mentre dal punto di vista relativistico lo è solo localmente, nello spazio e per ogni istante di tempo, al centro della terra (a quota 0). La terra è supposta come una sfera perfetta e con distribuzione di massa gravitazionale uniforme. Nel centro della terra la curvatura dello spazio (z-t) è nulla e di fatto le geodetiche, comunque orientate, qui sono tutte localmente rettilinee (proprio come nell'esempio postato nell'atro topic, della persona accelerata, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (anche in senso relativistico) che lancia una palla; in questo altro esempio le geodetiche sono rettilinee ovunque, non solo in un punto dello spazio, e comunque siano orientate, essendo questo perfettamente piatto ovunque, per ipotesi).
L'andamento simile a sinusoide delle geodetiche delle palle (è solo un grafico qualitativo) è dovuto al fatto che la curvatura varia con la quota z, si annulla per z=0 e tende a 0 all'infinito, e al fatto che la persona non lancia le palle con velocità maggiore o uguale a quella di fuga dalla terra.
Scusami ma rilevo ancora inesattezze e imprecisioni in quanto scrivi. Stai mischiando Meccanica classica, Relativita Ristretta e Relativita Generale in maniera incomprensibile, almeno per me.
Ti è chiaro il concetto di "cono di luce" in RR? Innazitutto, devi parlare di un osservatore inerziale a cui riferire il diagramma di Minkowski $(z,t)$. All'osservatore sono legate le coordinate dette. Chi è per te l'osservatore a cui riferisci questo diagramma, che si trova al "suo" tempo $t=0$ nell' origine delle coordinate, cioè $z=0$ ?
L'asse $t$ , che poi è da intendere $ct$, omogeneo ad una lunghezza, ponendo $c=1$, rappresenta la "linea d'universo" di P. Quindi il cono di luce del futuro di P, con vertice in P, ha una semiapertura di 45º (tutto il cono è insomma compreso nelle bisettrici dei quadranti,chiaro?). Tutti gli eventi nel futuro di P sono in questo cono, raggiungibili da P con vettori, o linee di universo anche curve,ma che comunque devono stare all'interno del cono di luce del futuro dell'osservatore. Quindi dire che " il cono di luce va a coincidere con tutto lo spazio (z,t) è errato.
Qui ora dici che il sistema ha origine a Terra. Questa classicamente parlando è inerziale, sí, essendo in m.r.u. rispetto alle stelle fisse. Ma questa tua affermazione :" dal punto di vista relativistico lo è solo localmente, nello spazio e per ogni istante di tempo, al centro della terra (a quota 0)" non è corretta. Su questo "locale" ci sono molti fraintendimenti!
Il riferimento terrestre locale, dal punto di vista del Principio di Equivalenza, va considerato accelerato verso l'alto con accelerazione $-vecg$. Ma da un "locale" ad un altro "locale", c'è differenza. Lo abbiamo detto varie volte nell'altro 3d relativo all'inerzia e gravitazione.
Che poi la Terra si possa considerare libera da forze e quindi in moto lungo una "geodetica dello spaziotempo" (cioè, l'orbita attorno al Sole sviluppata "anche" nella direzione temporale è una geodetica) sono d'accordo, ma non vedo il nesso o la necessita di considerare questa ipotesi, nel tuo quesito.
Io non ho capito un accidenti. Una particella pesante che "cade"verso terra descrive la verticale discendente, che a prescindere dalla rotazione terrestre è una geodetica rettilinea. Pure da 30000 km di altezza.
A proposito dell'altro diagramma, qui riportato:
viewtopic.php?f=19&t=114749&start=70#p754577
che non so da dove hai preso, ho qualcosa da osservare: la linea luce $ct$ deve essere la bisettrice del primo quadrante, se gli assi sono contrassegnati con $(z,t)$, cioè nella ipotesi, che ti ho gia spiegato a proposito del cono di luce, che l'asse verticale sia omogeneo a una lunghezza : $ t = ct$ con $c=1$.
E poi, il fatto che la velocita di "you" tenda a quella della luce, me lo devono spiegare! Ma da dove lo hai preso questo disegno? Non pensiamo che tutto ciò che è scritto in Inglese sia corretto!
A meno che l'autore del testo non supponga una velocita di "you" che cresce linearmente col tempo, essendo l'accelerazione costante, cioè $v=at = "gt"$ , e quindi su un diagramma $(t,z)$ si ha moto iperbolico relativistico di "you".....
Anche qui, mia incomprensione totale.
No, la palla (o le palle) sale con una velocita iniziale, raggiunge quota max e poi scende toccando terra con velocita uguale contraria alla iniziale. Tutta la linea di universo della palla è nel primo quadrante, come ripeto è un archetto parabolico con asse orizzontale, tutto a destra dell'asse t. È facile da tracciare.
Ascolta: sul diagramma del link di cui sopra, la linea d'universo della palla è una retta, quindi il diagramma si riferisce al punto di vista di un osservatore inerziale locale, forse un ascensore in caduta libera, poiché il moto della palla è visto inerziale in questo riferimento, cioe con v = cost ; invece il moto di "You" è visto curvo, cioè con velocita variabile, come detto.
Allora, aggiungi un altra retta, con diversa inclinazione, che rappresenti "la seconda palla", la quale intersecherà la linea d'universo di "you" in un altro punto.E poi, se vuoi, riporta entrambe le traiettorie delle palle sul diagramma (z,t) riferito all'osservatore. Non è difficile.
Mi spiace, io non so dirti altro.
"sonoqui_":
Per rispondere ad alcune tue domande devo fare delle precisazioni, perchè in effetti il disegno è poco chiaro e mancano dei dati importanti.
Ho supposto che le velocità raggiunte dalle due palle siano molto inferiori rispetto alla velocità della luce, diciamo che il cono di luce con vertice in P va a coincidere con tutto lo spazio z-t.
Ti è chiaro il concetto di "cono di luce" in RR? Innazitutto, devi parlare di un osservatore inerziale a cui riferire il diagramma di Minkowski $(z,t)$. All'osservatore sono legate le coordinate dette. Chi è per te l'osservatore a cui riferisci questo diagramma, che si trova al "suo" tempo $t=0$ nell' origine delle coordinate, cioè $z=0$ ?
L'asse $t$ , che poi è da intendere $ct$, omogeneo ad una lunghezza, ponendo $c=1$, rappresenta la "linea d'universo" di P. Quindi il cono di luce del futuro di P, con vertice in P, ha una semiapertura di 45º (tutto il cono è insomma compreso nelle bisettrici dei quadranti,chiaro?). Tutti gli eventi nel futuro di P sono in questo cono, raggiungibili da P con vettori, o linee di universo anche curve,ma che comunque devono stare all'interno del cono di luce del futuro dell'osservatore. Quindi dire che " il cono di luce va a coincidere con tutto lo spazio (z,t) è errato.
z-t è un sistema di riferimento fissato nel centro della terra all'istante t=0, ed è un riferimento classicamente parlando perfettamente inerziale, mentre dal punto di vista relativistico lo è solo localmente, nello spazio e per ogni istante di tempo, al centro della terra (a quota 0)
Qui ora dici che il sistema ha origine a Terra. Questa classicamente parlando è inerziale, sí, essendo in m.r.u. rispetto alle stelle fisse. Ma questa tua affermazione :" dal punto di vista relativistico lo è solo localmente, nello spazio e per ogni istante di tempo, al centro della terra (a quota 0)" non è corretta. Su questo "locale" ci sono molti fraintendimenti!
Il riferimento terrestre locale, dal punto di vista del Principio di Equivalenza, va considerato accelerato verso l'alto con accelerazione $-vecg$. Ma da un "locale" ad un altro "locale", c'è differenza. Lo abbiamo detto varie volte nell'altro 3d relativo all'inerzia e gravitazione.
Che poi la Terra si possa considerare libera da forze e quindi in moto lungo una "geodetica dello spaziotempo" (cioè, l'orbita attorno al Sole sviluppata "anche" nella direzione temporale è una geodetica) sono d'accordo, ma non vedo il nesso o la necessita di considerare questa ipotesi, nel tuo quesito.
La terra è supposta come una sfera perfetta e con distribuzione di massa gravitazionale uniforme. Nel centro della terra la curvatura dello spazio (z-t) è nulla e di fatto le geodetiche, comunque orientate, qui sono tutte localmente rettilinee (proprio come nell'esempio postato nell'atro topic, della persona accelerata, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (anche in senso relativistico) che lancia una palla; in questo altro esempio le geodetiche sono rettilinee ovunque, non solo in un punto dello spazio, e comunque siano orientate, essendo questo perfettamente piatto ovunque, per ipotesi).
Io non ho capito un accidenti. Una particella pesante che "cade"verso terra descrive la verticale discendente, che a prescindere dalla rotazione terrestre è una geodetica rettilinea. Pure da 30000 km di altezza.
A proposito dell'altro diagramma, qui riportato:
viewtopic.php?f=19&t=114749&start=70#p754577
che non so da dove hai preso, ho qualcosa da osservare: la linea luce $ct$ deve essere la bisettrice del primo quadrante, se gli assi sono contrassegnati con $(z,t)$, cioè nella ipotesi, che ti ho gia spiegato a proposito del cono di luce, che l'asse verticale sia omogeneo a una lunghezza : $ t = ct$ con $c=1$.
E poi, il fatto che la velocita di "you" tenda a quella della luce, me lo devono spiegare! Ma da dove lo hai preso questo disegno? Non pensiamo che tutto ciò che è scritto in Inglese sia corretto!
A meno che l'autore del testo non supponga una velocita di "you" che cresce linearmente col tempo, essendo l'accelerazione costante, cioè $v=at = "gt"$ , e quindi su un diagramma $(t,z)$ si ha moto iperbolico relativistico di "you".....
L'andamento simile a sinusoide delle geodetiche delle palle (è solo un grafico qualitativo) è dovuto al fatto che la curvatura varia con la quota z, si annulla per z=0 e tende a 0 all'infinito, e al fatto che la persona non lancia le palle con velocità maggiore o uguale a quella di fuga dalla terra.
Anche qui, mia incomprensione totale.
No, la palla (o le palle) sale con una velocita iniziale, raggiunge quota max e poi scende toccando terra con velocita uguale contraria alla iniziale. Tutta la linea di universo della palla è nel primo quadrante, come ripeto è un archetto parabolico con asse orizzontale, tutto a destra dell'asse t. È facile da tracciare.
Ascolta: sul diagramma del link di cui sopra, la linea d'universo della palla è una retta, quindi il diagramma si riferisce al punto di vista di un osservatore inerziale locale, forse un ascensore in caduta libera, poiché il moto della palla è visto inerziale in questo riferimento, cioe con v = cost ; invece il moto di "You" è visto curvo, cioè con velocita variabile, come detto.
Allora, aggiungi un altra retta, con diversa inclinazione, che rappresenti "la seconda palla", la quale intersecherà la linea d'universo di "you" in un altro punto.E poi, se vuoi, riporta entrambe le traiettorie delle palle sul diagramma (z,t) riferito all'osservatore. Non è difficile.
Mi spiace, io non so dirti altro.
Il cono di luce in RR credo di averlo compreso, è, come volume interno, l'insieme dei punti dello spazio che possono avere una relazione di tipo causale con l'origine. Viceversa quelli che stanno all'esterno, visto che, anche se un raggio di luce partisse dall'origine, non potrebbe raggiungerli, essendo la velocità della luce finita e la massima velocità di una particella.
Ti spiego il procedimento che seguirei nel costruire il diagramma, senza sapere null'altro.
Mi disegnerei i due assi z e t, come ho fatto, perpendicolari tra loro a formare un piano cartesiano, o spazio euclideo $E^2$, in cui traccerei per ogni palla la sua quota z, o distanza con segno dal centro della terra, in funzione del tempo t.
Se mi dici che questo non può essere fatto, se lo spazio z-t è curvo, o che si devono fare delle precisazioni nel fare questa rappresentazione, ti credo.
Ti spiego il procedimento che seguirei nel costruire il diagramma, senza sapere null'altro.
Mi disegnerei i due assi z e t, come ho fatto, perpendicolari tra loro a formare un piano cartesiano, o spazio euclideo $E^2$, in cui traccerei per ogni palla la sua quota z, o distanza con segno dal centro della terra, in funzione del tempo t.
Se mi dici che questo non può essere fatto, se lo spazio z-t è curvo, o che si devono fare delle precisazioni nel fare questa rappresentazione, ti credo.
No, non è questo il punto. Solo che non c'è la necessità di mettere in conto la curvatura dello spazio e quindi la RG, per un problemino così. Nel riferimento locale dell'uomo coi piedi a terra, che lancia una palla verticalmente in aria e poi questa gli ricade in testa, che curvatura dello spazio vuoi considerare?!? Nulla, nulla, sta tranquillo! Non aggiungiamo complicazioni dove non ce n'è bisogno.
Al massimo, se vuoi trattare la cosa come esercizio in RR, assumendo che lo spazio nel riferimento solidale all'uomo a terra (perche vuoi metterlo al centro della Terra?) sia "piatto", devi considerare il diagramma $(z,t)$ come diagramma di Minkowski a lui relativo. Allora, la palla parte dall'origine con una certa velocita $vecv$ molto minore (in modulo) di $c$. Il vettore punta inizialmente alla destra dell'asse $t$; poi la palla salendo (cioè , crescendo la quota $z$) diminuisce la velocita, il che significa che la direzione del vettore diminuisce l'angolo che forma con l'asse $t$. Quando la palla è arrivata alla massima altezza, $v = 0$ significa sul diagramma di Minkowski che la tangente alla linea di universo è parallela all'asse $t$. Da questo punto in poi, la linea d'universo procede simmetricamente,perché la palla ricade a terra, e la linea di universo alla fine interseca nuovamente l'asse $t$ : la quota $z$ è ritornata a essere zero.
Se vuoi lanciare una seconda palla, un po' più tardi, con un'altra velocità...devi solo modificare sul diagr. di Minkowski il punto di inizio e l'angolo.
Non costringermi a fartelo io, il disegno!
Al massimo, se vuoi trattare la cosa come esercizio in RR, assumendo che lo spazio nel riferimento solidale all'uomo a terra (perche vuoi metterlo al centro della Terra?) sia "piatto", devi considerare il diagramma $(z,t)$ come diagramma di Minkowski a lui relativo. Allora, la palla parte dall'origine con una certa velocita $vecv$ molto minore (in modulo) di $c$. Il vettore punta inizialmente alla destra dell'asse $t$; poi la palla salendo (cioè , crescendo la quota $z$) diminuisce la velocita, il che significa che la direzione del vettore diminuisce l'angolo che forma con l'asse $t$. Quando la palla è arrivata alla massima altezza, $v = 0$ significa sul diagramma di Minkowski che la tangente alla linea di universo è parallela all'asse $t$. Da questo punto in poi, la linea d'universo procede simmetricamente,perché la palla ricade a terra, e la linea di universo alla fine interseca nuovamente l'asse $t$ : la quota $z$ è ritornata a essere zero.
Se vuoi lanciare una seconda palla, un po' più tardi, con un'altra velocità...devi solo modificare sul diagr. di Minkowski il punto di inizio e l'angolo.
Non costringermi a fartelo io, il disegno!
"navigatore":
Ti è chiaro il concetto di "cono di luce" in RR? Innazitutto, devi parlare di un osservatore inerziale a cui riferire il diagramma di Minkowski $(z,t)$. All'osservatore sono legate le coordinate dette. Chi è per te l'osservatore a cui riferisci questo diagramma, che si trova al "suo" tempo $t=0$ nell' origine delle coordinate, cioè $z=0$ ?
L'asse $t$ , che poi è da intendere $ct$, omogeneo ad una lunghezza, ponendo $c=1$, rappresenta la "linea d'universo" di P. Quindi il cono di luce del futuro di P, con vertice in P, ha una semiapertura di 45º (tutto il cono è insomma compreso nelle bisettrici dei quadranti,chiaro?). Tutti gli eventi nel futuro di P sono in questo cono, raggiungibili da P con vettori, o linee di universo anche curve,ma che comunque devono stare all'interno del cono di luce del futuro dell'osservatore. Quindi dire che " il cono di luce va a coincidere con tutto lo spazio (z,t) è errato.
Riguardo alle curve non ho capito, non mi sembra relatività ristretta.
"navigatore":
Qui ora dici che il sistema ha origine a Terra. Questa classicamente parlando è inerziale, sí, essendo in m.r.u. rispetto alle stelle fisse. Ma questa tua affermazione :" dal punto di vista relativistico lo è solo localmente, nello spazio e per ogni istante di tempo, al centro della terra (a quota 0)" non è corretta. Su questo "locale" ci sono molti fraintendimenti!
Il riferimento terrestre locale, dal punto di vista del Principio di Equivalenza, va considerato accelerato verso l'alto con accelerazione $-vecg$. Ma da un "locale" ad un altro "locale", c'è differenza. Lo abbiamo detto varie volte nell'altro 3d relativo all'inerzia e gravitazione.
Che poi la Terra si possa considerare libera da forze e quindi in moto lungo una "geodetica dello spaziotempo" (cioè, l'orbita attorno al Sole sviluppata "anche" nella direzione temporale è una geodetica) sono d'accordo, ma non vedo il nesso o la necessita di considerare questa ipotesi, nel tuo quesito.
Immaginavo di riazzerare il tempo ad istanti di tempo successivi a quello iniziale e che il sistema di riferimento con z=0 nel centro della terra continua ad essere localmente inerziale.
"navigatore":
A proposito dell'altro diagramma, qui riportato:
viewtopic.php?f=19&t=114749&start=70#p754577
che non so da dove hai preso, ho qualcosa da osservare: la linea luce $ct$ deve essere la bisettrice del primo quadrante, se gli assi sono contrassegnati con $(z,t)$, cioè nella ipotesi, che ti ho gia spiegato a proposito del cono di luce, che l'asse verticale sia omogeneo a una lunghezza : $ t = ct$ con $c=1$.
E poi, il fatto che la velocita di "you" tenda a quella della luce, me lo devono spiegare! Ma da dove lo hai preso questo disegno? Non pensiamo che tutto ciò che è scritto in Inglese sia corretto!
A meno che l'autore del testo non supponga una velocita di "you" che cresce linearmente col tempo, essendo l'accelerazione costante, cioè $v=at = "gt"$ , e quindi su un diagramma $(t,z)$ si ha moto iperbolico relativistico di "you".....
L'andamento simile a sinusoide delle geodetiche delle palle (è solo un grafico qualitativo) è dovuto al fatto che la curvatura varia con la quota z, si annulla per z=0 e tende a 0 all'infinito, e al fatto che la persona non lancia le palle con velocità maggiore o uguale a quella di fuga dalla terra.
Anche qui, mia incomprensione totale.
No, la palla (o le palle) sale con una velocita iniziale, raggiunge quota max e poi scende toccando terra con velocita uguale contraria alla iniziale. Tutta la linea di universo della palla è nel primo quadrante, come ripeto è un archetto parabolico con asse orizzontale, tutto a destra dell'asse t. È facile da tracciare.
Ascolta: sul diagramma del link di cui sopra, la linea d'universo della palla è una retta, quindi il diagramma si riferisce al punto di vista di un osservatore inerziale locale, forse un ascensore in caduta libera, poiché il moto della palla è visto inerziale in questo riferimento, cioe con v = cost ; invece il moto di "You" è visto curvo, cioè con velocita variabile, come detto.
Allora, aggiungi un altra retta, con diversa inclinazione, che rappresenti "la seconda palla", la quale intersecherà la linea d'universo di "you" in un altro punto.E poi, se vuoi, riporta entrambe le traiettorie delle palle sul diagramma (z,t) riferito all'osservatore. Non è difficile.
Mi spiace, io non so dirti altro.
L'esempio del link l'ho ripreso dal testo che hai linkato all'inizio della discussione.
Riguardo all'intersezione delle due rette, se fosse un ascensore in caduta libera il sistema di riferimento, significherebbe che è presente una massa gravitazionale che incurva lo spazio e allora non è detto che tutte le geodetiche passanti per un punto siano localmente rettilinee in quel punto.
Anche in RR si possono considerare moti accelerati, non solo moti rettilinei uniformi, quindi la linea di universo può essere curva . Basta che la linea di universo sia dentro il cono di luce del futuro dell'osservatore. Guarda il disegno che ho fatto a proposito del paradosso dei gemelli:
viewtopic.php?f=19&t=113313&hilit=yoshiharu&start=20#p743826
Comunque ti ho spiegato nel mio precedente post come fare. Nel caso della palla, la linea di universo che viene fuori è simile, ma non uguale, a quella dei gemelli, infatti ha tutta la concavità dalla parte sinistra del diagramma: la palla parte dall'origine con una velocita finita, non zero, poi nello spazio "fisico" terrestre rallenta e si annulla in $z_(max)$, e poi inverte il moto e torna a terra. Quindi sul diagramma di Minkowski il rallentamento si traduce in un "raddrizzamento" della tangente alla linea, che diventa sempre meno angolata rispetto all'asse $t$, poi parallela ad esso in $z_(max)$ , e poi ritorna verso l'asse $t$ che interseca al tempo della caduta a terra, con la stessa velocita della partenza.
Bisogna stare attenti quando si disegnano questi diagrammi di Minkowski. La linea di universo non è la traiettoria "fisica" del corpo nell spazio tridimensionale, e il vettore tangente non è la velocita tridimensionale, bensì è la "quadri-velocita" : si tratta di un 4-vettore tipo tempo, il cui modulo quadrato vale "sempre" $c^2$ , ovvero $1$ se si assume $c=1$.
Insomma, nello spaziotempo tutte le 4-velocita sono uguali a $c$.
Ecco perché dico che il diagramma che hai preso dal mio link è, secondo me, ingannevole: non disegna bene la linea luce come bisettrice dei quadranti; non chiarisce che la velocità è in effetti, sul diagramma, una 4-velocita; e suppone che col tempo la velocita diventi uguale a $c$, quindi tratta la cosa come il moto iperbolico relativistico.
Poteva fare le cose anche in maniera più semplice, per far vedere "all'opera" il Principio di Equivalenza nel caso della palla.
MA io naturalemente non sono nessuno per poter giudicare. Dico solo ciò che penso, e posso aver torto.
viewtopic.php?f=19&t=113313&hilit=yoshiharu&start=20#p743826
Comunque ti ho spiegato nel mio precedente post come fare. Nel caso della palla, la linea di universo che viene fuori è simile, ma non uguale, a quella dei gemelli, infatti ha tutta la concavità dalla parte sinistra del diagramma: la palla parte dall'origine con una velocita finita, non zero, poi nello spazio "fisico" terrestre rallenta e si annulla in $z_(max)$, e poi inverte il moto e torna a terra. Quindi sul diagramma di Minkowski il rallentamento si traduce in un "raddrizzamento" della tangente alla linea, che diventa sempre meno angolata rispetto all'asse $t$, poi parallela ad esso in $z_(max)$ , e poi ritorna verso l'asse $t$ che interseca al tempo della caduta a terra, con la stessa velocita della partenza.
Bisogna stare attenti quando si disegnano questi diagrammi di Minkowski. La linea di universo non è la traiettoria "fisica" del corpo nell spazio tridimensionale, e il vettore tangente non è la velocita tridimensionale, bensì è la "quadri-velocita" : si tratta di un 4-vettore tipo tempo, il cui modulo quadrato vale "sempre" $c^2$ , ovvero $1$ se si assume $c=1$.
Insomma, nello spaziotempo tutte le 4-velocita sono uguali a $c$.
Ecco perché dico che il diagramma che hai preso dal mio link è, secondo me, ingannevole: non disegna bene la linea luce come bisettrice dei quadranti; non chiarisce che la velocità è in effetti, sul diagramma, una 4-velocita; e suppone che col tempo la velocita diventi uguale a $c$, quindi tratta la cosa come il moto iperbolico relativistico.
Poteva fare le cose anche in maniera più semplice, per far vedere "all'opera" il Principio di Equivalenza nel caso della palla.
MA io naturalemente non sono nessuno per poter giudicare. Dico solo ciò che penso, e posso aver torto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo