Geodetica e derivata direzionale
Tra le tante definizioni di del concetto di vettore $v$ c'è quella per cui il vettore può essere interpretato come funzione di vettori duali -o 1-forme- almeno in dimensione finita.
Se abbiamo una funzione scalare nello spaziotempo -che è una varietà differenziabile- possiamo calcolare il differenziale della stessa ottenendo proprio una 1-forma $df=\partial_\mu f$.
A questo punto il vettore stesso può essere interpretato come derivata direzionale -facendo come ad analisi 2 il prodotto scalare con in gradiente- contraendolo con la 1-forma su ottenuta: $v\cdot df=v^\mu partial_\mu f$.
E' tutto giusto fino ad ora?
Ora arriva la parte che non so se l'ho capita bene.
Se generalizziamo questo concetto di vettore inteso come derivata direzionale, ad esempio, al campo vettoriale $w$ al posto della funzione $f$, possiamo fare in generale la stessa cosa a patto che prendiamo la derivata covariante dell'oggetto in questione, ovvero: $v\cdot\nabla w=v^\mu\nabla_\mu w^\nu$. Dove la derivata covariante incorpora le correzioni dovute al fatto che se ci muoviamo nella varietà i vettori di base dello spazio tangente al punto preso variano.
Ora: la geodetica può essere intesa come quella traiettoria per cui la derivata direzionale del vettore tangente alla curva nella direzione del vettore tangente stesso non cambia?
Se abbiamo una funzione scalare nello spaziotempo -che è una varietà differenziabile- possiamo calcolare il differenziale della stessa ottenendo proprio una 1-forma $df=\partial_\mu f$.
A questo punto il vettore stesso può essere interpretato come derivata direzionale -facendo come ad analisi 2 il prodotto scalare con in gradiente- contraendolo con la 1-forma su ottenuta: $v\cdot df=v^\mu partial_\mu f$.
E' tutto giusto fino ad ora?
Ora arriva la parte che non so se l'ho capita bene.
Se generalizziamo questo concetto di vettore inteso come derivata direzionale, ad esempio, al campo vettoriale $w$ al posto della funzione $f$, possiamo fare in generale la stessa cosa a patto che prendiamo la derivata covariante dell'oggetto in questione, ovvero: $v\cdot\nabla w=v^\mu\nabla_\mu w^\nu$. Dove la derivata covariante incorpora le correzioni dovute al fatto che se ci muoviamo nella varietà i vettori di base dello spazio tangente al punto preso variano.
Ora: la geodetica può essere intesa come quella traiettoria per cui la derivata direzionale del vettore tangente alla curva nella direzione del vettore tangente stesso non cambia?
Risposte
Risposta breve: si.
La geodetica è una curva autoparallela, il trasporto parallelo del vettore tangente in un punto avviene lungo la geodetica. Pensa a un cerchio massimo sulla sfera; poi pensa invece, con riferimento alla terra, a quello che noi chiamiamo “parallelo terrestre “; metti un vettore tangente in un punto alla terra, ad es a Roma, orientato esattamente verso Est, quindi tangente al parallelo locale. Adesso fanne il trasporto parallelo per 180 gradi (sai come fare?) . Quando torna a Roma, il vettore non è più tangente al parallelo, è ruotato. Quindi il parallelo terrestre non è una geodetica.
Analiticamente si può scrivere:
$\nabla_(vecv)\vecv = 0$
Riesci ad arrivare a questa forma, per l’equazione di una geodetica?
La geodetica è una curva autoparallela, il trasporto parallelo del vettore tangente in un punto avviene lungo la geodetica. Pensa a un cerchio massimo sulla sfera; poi pensa invece, con riferimento alla terra, a quello che noi chiamiamo “parallelo terrestre “; metti un vettore tangente in un punto alla terra, ad es a Roma, orientato esattamente verso Est, quindi tangente al parallelo locale. Adesso fanne il trasporto parallelo per 180 gradi (sai come fare?) . Quando torna a Roma, il vettore non è più tangente al parallelo, è ruotato. Quindi il parallelo terrestre non è una geodetica.
Analiticamente si può scrivere:
$\nabla_(vecv)\vecv = 0$
Riesci ad arrivare a questa forma, per l’equazione di una geodetica?
Se ho capito:
Un vettore è trasportato parallelamente quando le componenti non variano sulla traiettoria data, cioè verificare che la derivata -covariante perché siamo su una varità- delle componenti sia 0.
$\nabla_{\dot\gamma} v=\dot\gamma^\mu\nabla_\mu v^\nu =0$
dove $\dot\gamma$ è il vettore tangente alla traiettoria data e $v$ è il vettore da trasportare.
Per fare il trasporto parallelo sulla sfera ho visto online l'esempio in cui si usa un cono appoggiato e, dopo aver appiattito il cono si porta il vettore lungo la traiettoria come se fosse R^2. Il cono, se ho capito bene rappresenta gli spazi tangenti appiccicati in modo continuo sulla base delle "coordinate basis" imposta sulla sfera -longitudine latitudine-.
La formula che hai citato la do per definizione, come ci si arriva?
Un vettore è trasportato parallelamente quando le componenti non variano sulla traiettoria data, cioè verificare che la derivata -covariante perché siamo su una varità- delle componenti sia 0.
$\nabla_{\dot\gamma} v=\dot\gamma^\mu\nabla_\mu v^\nu =0$
dove $\dot\gamma$ è il vettore tangente alla traiettoria data e $v$ è il vettore da trasportare.
Per fare il trasporto parallelo sulla sfera ho visto online l'esempio in cui si usa un cono appoggiato e, dopo aver appiattito il cono si porta il vettore lungo la traiettoria come se fosse R^2. Il cono, se ho capito bene rappresenta gli spazi tangenti appiccicati in modo continuo sulla base delle "coordinate basis" imposta sulla sfera -longitudine latitudine-.
La formula che hai citato la do per definizione, come ci si arriva?
Be’ , in pratica hai già risposto tu stesso. Nella formula che hai scritto, supponi di dover trasportare parallelamente lo stesso vettore tangente alla geodetica in un punto, e cioè supponi che il vettore da trasportare sia $v= dotgamma$ , e ritrovi quello che ti ho scritto io.
L’ esempio del cono di cui parli va benissimo per il caso della sfera. MA supponi che la varietà differenziabile sia la superficie di una patatina fritta, o di una pera...
Ti metto pochi passaggi matematici relativi al trasporto parallelo. Non sarò molto preciso matematicamente parlando, ma mi interessa trasmettere i concetti più che la matematica.
Data una curva regolare su una varietà, sia $vecu = (d\vecx)/(d\lambda) $ il vettore tangente; qui $lambda$ è un parametro affine che serve a definire parametricamente la curva, per esempio potrebbe essere il tempo proprio di un punto mobile che si muove lungo la curva nello spaziotempo, e ha un orologio solidale, come un viaggiatore che ha un orologio da polso: questo segna il tempo proprio del viaggiatore.
Se il parametro è il tempo proprio $tau$ , allora il vettore tangente è la 4-velocità , di componenti $u^\alpha = (dx^alpha)/(d\tau) $ , e il 4-vettore sarebbe normalizzato , cioè la sua norma vale $c=1$ . Ma nel caso generale il vettore tangente non deve essere normalizzato.
Sia ora $vecv$ un vettore dello spazio tangente $T_PM$ in un punto P della curva detta. Che vuol dire trasporto parallelo di $vecv$ lungo la curva? Vuol dire che per uno spostamento infinitesimo del vettore, da $P$ a $P +dP$ , le componenti del vettore in un dato riferimento locale non cambiano ; perciò la derivata direzionale di $vecv$ lungo la curva , cioè nella direzione locale di $vecu$ deve essere nulla. In altri termini, la condizione analitica per il trasporto parallelo di $vecv$, in un riferimento locale attorno al punto P , è :
$(dvecv)/(dlambda) = 0 $
Per le componenti del vettore, deve quindi essere : $ (dv^\alpha)/(dlambda) = (delv^\alpha)/(del x^\beta ) (dx^\beta)/(dlambda ) = 0 $
Cioé a dire, usando la virgola per la derivata parziale : $u^\beta v^\alpha , _\beta = 0 $
Stiamo parlando di un “sistema locale” di coordinate, come può essere per esempio un sistema inerziale locale (in caduta libera, dove si assume che lo ST sia quello della RR , piatto, con coefficienti della metrica costanti), e in esso i simboli di Christoffel sono nulli poiché i $g_(munu) = \eta_(munu)$ sono costanti; ma la precedente relazione, che è una valida relazione tensoriale, si può anche scrivere sostituendo la derivata ordinaria con la derivata covariante [nota]qui ti chiedo di fare un atto di fede, non è cosí immediato accettare questa cosa, ma c’è la dimostrazione anche di ciò nel calcolo tensoriale[/nota], cioé :
$u^\beta v^\alpha ; _\beta = 0 $
lascio a te il compito di sviluppare la derivata covariante di $v^\alpha$ rispetto a $beta$ , e moltiplicare per $u^\beta$.
Questa dunque è la definizione analitica del trasporto parallelo di $vecv$ lungo la curva di vettore tangente $vecu$; essa equivale a :
$(dvecv)/(dlambda) = 0 $
che a sua volta si può scrivere, col simbolo $\nabla$ :
$\nabla_(vecu) vecv = 0 $
Adesso il resto è semplice
. Come detto, in una geodetica il vettore $vecu$ , tangente in P, si trasporta per parallelismo nel vettore tangente in (P + dP), e questo per tutti i punti della geodetica. Basta sostituire , nella precedente relazione, $vecu$ al posto di $vecv$ :
$\nabla_(vecu) vecu = 0...\rarr u^\beta( u^\alpha,_\beta + \Gamma _(rhobeta)^\alpha u^\rho) = 0 $
da cui, con una serie di passaggi che ometto ( li puoi fare da solo) , si arriva a (ho scritto come parametro della curva il tempo proprio $tau$ , ma vale per un parametro $lambda$ affine ) :
$d/(d\tau)( (dx^\alpha) /(d\tau)) + \Gamma _(rhobeta)^\alpha u^\rho u^\beta = 0 $
il primo termine è la derivata seconda di $x^\alpha$ rispetto al parametro, quindi ecco la sospirata equazione della geodetica come la conosciamo :
$ (d^2x^\alpha) /(d\tau^2) + \Gamma _(rhobeta)^\alpha u^\rho u^\beta = 0 $
È semplice, no ? 
L’ esempio del cono di cui parli va benissimo per il caso della sfera. MA supponi che la varietà differenziabile sia la superficie di una patatina fritta, o di una pera...
Ti metto pochi passaggi matematici relativi al trasporto parallelo. Non sarò molto preciso matematicamente parlando, ma mi interessa trasmettere i concetti più che la matematica.
Data una curva regolare su una varietà, sia $vecu = (d\vecx)/(d\lambda) $ il vettore tangente; qui $lambda$ è un parametro affine che serve a definire parametricamente la curva, per esempio potrebbe essere il tempo proprio di un punto mobile che si muove lungo la curva nello spaziotempo, e ha un orologio solidale, come un viaggiatore che ha un orologio da polso: questo segna il tempo proprio del viaggiatore.
Se il parametro è il tempo proprio $tau$ , allora il vettore tangente è la 4-velocità , di componenti $u^\alpha = (dx^alpha)/(d\tau) $ , e il 4-vettore sarebbe normalizzato , cioè la sua norma vale $c=1$ . Ma nel caso generale il vettore tangente non deve essere normalizzato.
Sia ora $vecv$ un vettore dello spazio tangente $T_PM$ in un punto P della curva detta. Che vuol dire trasporto parallelo di $vecv$ lungo la curva? Vuol dire che per uno spostamento infinitesimo del vettore, da $P$ a $P +dP$ , le componenti del vettore in un dato riferimento locale non cambiano ; perciò la derivata direzionale di $vecv$ lungo la curva , cioè nella direzione locale di $vecu$ deve essere nulla. In altri termini, la condizione analitica per il trasporto parallelo di $vecv$, in un riferimento locale attorno al punto P , è :
$(dvecv)/(dlambda) = 0 $
Per le componenti del vettore, deve quindi essere : $ (dv^\alpha)/(dlambda) = (delv^\alpha)/(del x^\beta ) (dx^\beta)/(dlambda ) = 0 $
Cioé a dire, usando la virgola per la derivata parziale : $u^\beta v^\alpha , _\beta = 0 $
Stiamo parlando di un “sistema locale” di coordinate, come può essere per esempio un sistema inerziale locale (in caduta libera, dove si assume che lo ST sia quello della RR , piatto, con coefficienti della metrica costanti), e in esso i simboli di Christoffel sono nulli poiché i $g_(munu) = \eta_(munu)$ sono costanti; ma la precedente relazione, che è una valida relazione tensoriale, si può anche scrivere sostituendo la derivata ordinaria con la derivata covariante [nota]qui ti chiedo di fare un atto di fede, non è cosí immediato accettare questa cosa, ma c’è la dimostrazione anche di ciò nel calcolo tensoriale[/nota], cioé :
$u^\beta v^\alpha ; _\beta = 0 $
lascio a te il compito di sviluppare la derivata covariante di $v^\alpha$ rispetto a $beta$ , e moltiplicare per $u^\beta$.
Questa dunque è la definizione analitica del trasporto parallelo di $vecv$ lungo la curva di vettore tangente $vecu$; essa equivale a :
$(dvecv)/(dlambda) = 0 $
che a sua volta si può scrivere, col simbolo $\nabla$ :
$\nabla_(vecu) vecv = 0 $
Adesso il resto è semplice
. Come detto, in una geodetica il vettore $vecu$ , tangente in P, si trasporta per parallelismo nel vettore tangente in (P + dP), e questo per tutti i punti della geodetica. Basta sostituire , nella precedente relazione, $vecu$ al posto di $vecv$ : $\nabla_(vecu) vecu = 0...\rarr u^\beta( u^\alpha,_\beta + \Gamma _(rhobeta)^\alpha u^\rho) = 0 $
da cui, con una serie di passaggi che ometto ( li puoi fare da solo) , si arriva a (ho scritto come parametro della curva il tempo proprio $tau$ , ma vale per un parametro $lambda$ affine ) :
$d/(d\tau)( (dx^\alpha) /(d\tau)) + \Gamma _(rhobeta)^\alpha u^\rho u^\beta = 0 $
il primo termine è la derivata seconda di $x^\alpha$ rispetto al parametro, quindi ecco la sospirata equazione della geodetica come la conosciamo :
$ (d^2x^\alpha) /(d\tau^2) + \Gamma _(rhobeta)^\alpha u^\rho u^\beta = 0 $
È semplice, no ?
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