Funzioni generatrici

[G.G211]

Aiutatemi sono disperata! sto studiando fisica matematica 3 e dalle dispense del mio prof non si capisce nulla! in particolare vorrei sapere come "funzionano" le funzioni generatrici delle trasformazioni canoniche.. A quanto ho capito ce ne sono di 4 tipi a seconda delle variabili:

1) $G_1(q,Q,t)$
2) $G_2(P,q,t)$
3) $G_3(p,Q,t)$
4) $G_4(p,P,t)$

dove se ho capito bene la variabile scritta in piccolo è quella che cambia (?) ma non riesco a capire perchè allora non è più semplicemente:

1)$G_1(P,q,t)$
2) $G_2(p,Q,t)$

Probabilmente non ho capito veramente nulla! Vi ringrazio in anticipo!

[*Ely112]

Ciao!
Si introducono le trasformazioni canoniche perché, operando un cambiamento di variabili, il tuo sistema deve rimanere ancora in forma hamiltoniana e la trasformazione è indipendente dal valore di H.
Una trasformazione è canonica se deriva da una di queste funzioni generatrici:

\(\displaystyle F_1(q,Q,t) \ \ \
F_2(q,P,t) \ \ \
F_3(Q,p,t) \ \ \
F_4(p,P,t) \)

Sono 4 tipologie di funzioni generatrici perché detto terra terra "legano le grandi alle piccole" (per questo non puoi averne solo 2, come chiedevi).
A questo punto puoi divertirti quindi con 4 sistemi (così ora vedi come funziona il cambio di variabili):

1) \(\displaystyle p=\frac{\partial F_1}{\partial q} ; \ \ \
P=-\frac{\partial F_1}{\partial Q} \)

2) \(\displaystyle P=\frac{\partial F_2}{\partial q} ; \ \ \
Q=\frac{\partial F_2}{\partial P} \)

3) \(\displaystyle q=-\frac{\partial F_3}{\partial p} ; \ \ \
P=-\frac{\partial F_3}{\partial Q} \)

4) \(\displaystyle q=-\frac{\partial F_4}{\partial p} ; \ \ \
Q=\frac{\partial F_4}{\partial P} \)

Ora la cosa migliore per vedere se è chiaro è prendere un esempio e provare!
Ciao,
Ely

P.S. Ho cercato di rispondere conciliando brevità e chiarezza, con i formalismi strettamente necessari (puoi studiare su qls testo/dispensa di analitica per esempio). Se hai domande o preferisci un esercizio svolto, non ti resta che scrivere!