Funzionale di lunghezza

[Gruppia]

Salve a tutti.
Prima di ricavare la celeberrima formula $ E=mc^2 $ il mio prof di fisica ha fatto un'introduzione sui funzionali. Come esempio ha descritto il funzionale della lunghezza di una curva, $ phi (gamma )=int_(x_1)^(x_2) sqrt(1+(y')^2) dx $ .

Per ricavare questo funzionale abbiamo integrato $ ds=vdt $ .

Ad un certo punto, abbiamo detto che:
$ (dy/dt)/(dx/dt) =dy/dx=y', $

semplificando i $dt$ come se si trattasse di una frazione vera e propria, e non di una derivata. Perchè si può fare questo?

[Ariz93]

"Gruppia":Salve a tutti.
Prima di ricavare la celeberrima formula $ E=mc^2 $ il mio prof di fisica ha fatto un'introduzione sui funzionali. Come esempio ha descritto il funzionale della lunghezza di una curva, $ phi (gamma )=int_(x_1)^(x_2) sqrt(1+(y')^2) dx $ .

Per ricavare questo funzionale abbiamo integrato $ ds=vdt $ .

Ad un certo punto, abbiamo detto che:
$ (dy/dt)/(dx/dt) =dy/dx=y', $

semplificando i $dt$ come se si trattasse di una frazione vera e propria, e non di una derivata. Perché si può fare questo?

Quando si esprime sta roba è un macello perché molti pensano sia un'operazione algebrica ed invece è la derivata di funzioni composte , ad esempio \(\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds} \frac{ds}{dt} = \frac{dv} {dt} V\).

[Sk_Anonymous]

"Gruppia":Salve a tutti.
Prima di ricavare la celeberrima formula $ E=mc^2 $ il mio prof di fisica ha fatto un'introduzione sui funzionali. Come esempio ha descritto il funzionale della lunghezza di una curva, $ phi (gamma )=int_(x_1)^(x_2) sqrt(1+(y')^2) dx $ .

Per ricavare questo funzionale abbiamo integrato $ ds=vdt $ .

Ad un certo punto, abbiamo detto che:
$ (dy/dt)/(dx/dt) =dy/dx=y', $

semplificando i $dt$ come se si trattasse di una frazione vera e propria, e non di una derivata. Perchè si può fare questo?

Perché i fisici usano la matematica in modo sportivo! I miei professori di fisica, spesso, hanno detto: "I matematici in sala si girino!", "I matematici storceranno non poco il naso", "Ai matematici non piacerà... Anzi, non li semplifico, LI CERCHIO!" eccetera.
Insomma, dietro c'è il teorema di derivazione della funzione composta.
$dy/dt * dt/dx$ è la derivata totale di $y$ rispetto ad $x$.
Ma ai fisici piace dire così. Credo, ma attendo smentite, che prima della formalizzazione dell'Analisi col concetto di limite si facessero proprio semplificazioni del genere...

[Gruppia]

Grazie, ho capito! Da matematica non capirò mai del tutto quello che dice un fisico!

[Ariz93]

giulio! anche a me è successa la stessa cosa a in aula col prof di laboratorio(anch'io faccio fisica),è stata una cosa molto divertente xD. In effetti siamo un po bruti nei modi noi fisici xD