Funi, tensioni, azone-reazione, momenti e sistemi di riferimento
Quando mi si da un problema con una corpo attaccato ad una fune non ci capisco più niente, non so neanche impostare un sistema di riferimento.
Per esempio immaginiamo una carrucola per cui passa una fune ideale con due corpi di massa differente attaccati agli estremi. La carrucola gira soltanto se c'è attrito tra questa e la corda, giusto? La prima cosa è impostare il sistema di riferimento. Se prendiamo l'asse y positivo quando è rivolto verso l'alto, sapendo che la massa di uno dei due corpi è il doppio di quella dell'altro, le equazioni del moto dovrebbero essere:
$T_m - mg=ma$
$T_(2m) - 2mg=-2ma$
Le tensioni sono quelle dei rispettivi corpi, positive perché rivolte verso la carrucola che si trova più in alto dei corpi, le forze peso sono rivolte verso il basso e so che i corpi sono in movimento, quindi la risultante delle forze deve essere un'altra forza generica, data dal prodotto della massa del corpo e della sua accelerazione. Quella che ha massa maggiore avrà accelerazione rivolta verso il basso, quindi ha un meno davanti.
Online ho visto molte persone risolvere questo problema prendendo come verso positivo del sistema di riferimento quello del moto, quindi che cambia per ogni corpo ma non so se è una cosa sensata o meno. Le equazioni del moto verrebbero:
$T_m - mg=ma$
$-T_(2m) + 2mg= 2ma$
Per trovare una soluzione agli altri dubbi mi serve prima capire che sistema di riferimento adottare, ma sarebbero: quali sono le forze agenti sulla carrucola? Sono solo le tensioni? In che verso?
Se volessi calcolare il momento della carrucola rispetto ad un polo che si trova al centro di questa, dovrei considerare solo le forze agenti sulla carrucola, giusto? Per trovare il momento di un corpo in generale, magari che trasla anche, dovrei considerare tutte le forze la cui direzione non passi per il polo?
Quando la fune cambia direzione, devo mettere il segno - davanti alla tensione se questa risulta diretta in una direzione che io ho preso come negativa?
Se un corpo 1 striscia su un corpo 2, il fatto che il corpo 2 cerchi di impedire il moto di quello sovrastante applicandogli una forza d'attrito ( è così, vero?) per il terzo principio non dovrebbe portare il corpo 1 che si muove sopra l'altro ad imprimere una forza uguale in modulo e nel verso del suo stesso moto al corpo 2?
Per esempio immaginiamo una carrucola per cui passa una fune ideale con due corpi di massa differente attaccati agli estremi. La carrucola gira soltanto se c'è attrito tra questa e la corda, giusto? La prima cosa è impostare il sistema di riferimento. Se prendiamo l'asse y positivo quando è rivolto verso l'alto, sapendo che la massa di uno dei due corpi è il doppio di quella dell'altro, le equazioni del moto dovrebbero essere:
$T_m - mg=ma$
$T_(2m) - 2mg=-2ma$
Le tensioni sono quelle dei rispettivi corpi, positive perché rivolte verso la carrucola che si trova più in alto dei corpi, le forze peso sono rivolte verso il basso e so che i corpi sono in movimento, quindi la risultante delle forze deve essere un'altra forza generica, data dal prodotto della massa del corpo e della sua accelerazione. Quella che ha massa maggiore avrà accelerazione rivolta verso il basso, quindi ha un meno davanti.
Online ho visto molte persone risolvere questo problema prendendo come verso positivo del sistema di riferimento quello del moto, quindi che cambia per ogni corpo ma non so se è una cosa sensata o meno. Le equazioni del moto verrebbero:
$T_m - mg=ma$
$-T_(2m) + 2mg= 2ma$
Per trovare una soluzione agli altri dubbi mi serve prima capire che sistema di riferimento adottare, ma sarebbero: quali sono le forze agenti sulla carrucola? Sono solo le tensioni? In che verso?
Se volessi calcolare il momento della carrucola rispetto ad un polo che si trova al centro di questa, dovrei considerare solo le forze agenti sulla carrucola, giusto? Per trovare il momento di un corpo in generale, magari che trasla anche, dovrei considerare tutte le forze la cui direzione non passi per il polo?
Quando la fune cambia direzione, devo mettere il segno - davanti alla tensione se questa risulta diretta in una direzione che io ho preso come negativa?
Se un corpo 1 striscia su un corpo 2, il fatto che il corpo 2 cerchi di impedire il moto di quello sovrastante applicandogli una forza d'attrito ( è così, vero?) per il terzo principio non dovrebbe portare il corpo 1 che si muove sopra l'altro ad imprimere una forza uguale in modulo e nel verso del suo stesso moto al corpo 2?
Risposte
Possibile che nessuno sappia rispondermi? :\
Ciao Jason
incominciamo dalla tensione.
Sai cosa è la tensione nel cavetto di collegamento dei pesi al là e al di qua della puleggia?
non è una prova di esame, è soltanto per incominciare a discutere...
incominciamo dalla tensione.
Sai cosa è la tensione nel cavetto di collegamento dei pesi al là e al di qua della puleggia?
non è una prova di esame, è soltanto per incominciare a discutere...
La tensione da quanto ho capito è il modo attraverso il quale i due corpi collegati si scambiano una forza secondo il terzo principio della dinamica, ma questa definizione non credo sia molto precisa.
Il meccanismo dovrebbe essere questo per due corpi collegati attraverso un filo ideale: un corpo è soggetto ad una forza esterna ed applica al filo una certa tensione per via del fatto che questo è attaccato ad un altro corpo, che avendo una massa si oppone al variazione del suo moto. Questa tensione percorre tutto il filo e l'altro corpo riceve una tensione uguale in modulo e contraria in verso.
Il meccanismo dovrebbe essere questo per due corpi collegati attraverso un filo ideale: un corpo è soggetto ad una forza esterna ed applica al filo una certa tensione per via del fatto che questo è attaccato ad un altro corpo, che avendo una massa si oppone al variazione del suo moto. Questa tensione percorre tutto il filo e l'altro corpo riceve una tensione uguale in modulo e contraria in verso.
Perfetto
ora considera una delle due masse puntiformi.
Le forze applicate sulla massa puntiforme sono la forza peso e la tensione del filo.
Il suo moto è regolato dalla 2° legge della dinamica.
In altre parole il moto della massa dipende dalle forze ad essa applicate.
Giusto?
Ora considera la massa dalla altra parte.
Le forza agenti sono la tensione (uguale ed opposta all' altra), la forza peso.
La seconda legge della dinamica come prima ne determina il moto.
Giusto?
Ma l' assieme (le due masse ) si muovono allo "stesso modo", sono collegate da un filo inestensibile, se una sale di un cm, l' altra scende di un cm. così con la velocità, accelerazione.
Ora se unisci le due equazioni, una delle incognite scompare e dovresti risolvere il problema.
Il punto chiave è che le masse si muovono nello stesso modo...
Dopo aver compreso, poni in forma rigorosa quanto ho detto...
ora considera una delle due masse puntiformi.
Le forze applicate sulla massa puntiforme sono la forza peso e la tensione del filo.
Il suo moto è regolato dalla 2° legge della dinamica.
In altre parole il moto della massa dipende dalle forze ad essa applicate.
Giusto?
Ora considera la massa dalla altra parte.
Le forza agenti sono la tensione (uguale ed opposta all' altra), la forza peso.
La seconda legge della dinamica come prima ne determina il moto.
Giusto?
Ma l' assieme (le due masse ) si muovono allo "stesso modo", sono collegate da un filo inestensibile, se una sale di un cm, l' altra scende di un cm. così con la velocità, accelerazione.
Ora se unisci le due equazioni, una delle incognite scompare e dovresti risolvere il problema.
Il punto chiave è che le masse si muovono nello stesso modo...
Dopo aver compreso, poni in forma rigorosa quanto ho detto...
Il problema è che non so a che sistema di riferimento riferire le forze. Io sarei propenso per fare $T−mg=ma$ e $T−2mg=−2ma$, positiva la direzione verso l'alto e negativa verso il basso o al contrario, ma comunque utilizzare un solo sistema di riferimento. Spesso vedo utilizzare sistemi di riferimento orientati in modo diverso, ogni corpo con il suo sistema di riferimento, ad esempio quando uno è su un piano inclinato ed è collegato tramite un filo che passa per una puleggia ad un altro corpo che penzola. In questo caso le tensioni hanno direzioni diverse mentre prima cambiava solo il verso, posso prendere due sistemi di riferimento diversi o questo mi sballa le equazioni?
Inoltre hai detto che la tensione è uguale per entrambi i corpi. Ci sono casi in cui i corpi si scambiano tensioni diverse?
Inoltre hai detto che la tensione è uguale per entrambi i corpi. Ci sono casi in cui i corpi si scambiano tensioni diverse?
la massa di sinistra è considerando positivo verso l' alto
$ -m1*g+T=m1*a $
da questa relazione conoscendo la accelerazione ricavi la tensione.
La accelerazione la ricavi da:
$ (m1+m2)*a=m1*g-m2*g $
OK?
$ -m1*g+T=m1*a $
da questa relazione conoscendo la accelerazione ricavi la tensione.
La accelerazione la ricavi da:
$ (m1+m2)*a=m1*g-m2*g $
OK?
"Mino_01":
La accelerazione la ricavi da:
$ (m1+m2)*a=m1*g-m2*g $
OK?
Uhm... no, a me sostituendo T nelle due equazioni che ho scritto prima torna $ (m_1+m_2)*a= m_2*g - m_1*g$
Per per il corpo di sinistra l'equazione è la stessa, ma che equazione scriveresti per il corpo di destra (quello con massa $m_2$)?
La seconda equazioni, per la massa m2 è
$ -T+m2*g=m2*a $
$ -T+m2*g=m2*a $
per entrambe le masse è
$ (m1+m2)*a=-m1*g+m2*g $
correggendo quanto ho scritto prima.
$ (m1+m2)*a=-m1*g+m2*g $
correggendo quanto ho scritto prima.
Ecco, è come la mia ma cambiata tutta di segno, quindi in pratica è la stessa cosa, quindi credo tu abbia sbagliato un calcolo, ma comunque ci siamo, andiamo pure avanti 
Per il riferimento considera la ascissa curvilinea che fissato un verso, nel tuo caso una curva che si avvolge sulla puleggia ed ha tratti rettilinei. Così puoi scrivere correttamente le forze e la accelerazione la ricavi delle equazioni di Newton.
La carrucola è vincolata, le forze sulla carrucola sono le tensioni per la presenza delle masse, il peso della stessa e il supporto che la regge (reazione del soffitto).
Che, se ci ho capito qualcosa di geometria e algebra lineare, equivale a prendere come positivo il verso del moto. Bene, questo punto è chiarito, lo so che sono cose banali ma è sulle cose più banali che tendo ad andare in confusione.
Per quanto riguarda la carrucola e le tensioni che vi agiscono, è come se la carrucola fosse il secondo corpo, giusto? Cioè riceve le tensioni come reazioni contrarie, ma spesso le due tensioni agiscono secondo direzioni diverse. Rimane ferma perché vincolata ma ha un momento non nullo, è tutto giusto?
Per quanto riguarda la carrucola e le tensioni che vi agiscono, è come se la carrucola fosse il secondo corpo, giusto? Cioè riceve le tensioni come reazioni contrarie, ma spesso le due tensioni agiscono secondo direzioni diverse. Rimane ferma perché vincolata ma ha un momento non nullo, è tutto giusto?
Le tensioni nelle masse sono le stesse se consideri la carrucola come un mezzo che solamente curva le forze e senza attrito. Il filo non si deve allungare.
altrimenti
Se il filo si allunga sotto i carichi allora all' inizio le due masse non si muovono allo stesso modo.
Se la puleggia , pesante ruota accelerando intorno al perno di sostegno le tensioni delle masse governano la evoluzione del momento angolare e sono diverse.
In questi casi comunque la forza che una massa produce sulla puleggia è uguale alla forza che la puleggia produce sulla massa.
Spacchettando le parti del sistema, massa m1, massa m2, puleggia, vedendo come le altre parti del sistema reagiscono le une sulle altre, qualitativamente studi il movimento.
altrimenti
Se il filo si allunga sotto i carichi allora all' inizio le due masse non si muovono allo stesso modo.
Se la puleggia , pesante ruota accelerando intorno al perno di sostegno le tensioni delle masse governano la evoluzione del momento angolare e sono diverse.
In questi casi comunque la forza che una massa produce sulla puleggia è uguale alla forza che la puleggia produce sulla massa.
Spacchettando le parti del sistema, massa m1, massa m2, puleggia, vedendo come le altre parti del sistema reagiscono le une sulle altre, qualitativamente studi il movimento.
In merito al 3° principio della dinamica che nella versione che conosco, Mencuccini, Silvestrini (libro) dice:
Tanto la quantità di moto totale, quanto momento angolare totale per un sistema libero, si conservano ( in un riferimento Inerziale).
Per ciò si vede che se un sistema anche non libero costituito dalle parti A,B le forze che si scambiano sono una coppia a braccio nullo (azione e reazione).
Tanto la quantità di moto totale, quanto momento angolare totale per un sistema libero, si conservano ( in un riferimento Inerziale).
Per ciò si vede che se un sistema anche non libero costituito dalle parti A,B le forze che si scambiano sono una coppia a braccio nullo (azione e reazione).
Capito, solo un chiarimento riguardo questo pezzo:
Allora, immaginiamo la solita carrucola con filo inestensibile che collega due corpi uno da una parte ed uno dall'altra. Su entrambi i corpi agisce la forza peso, ma come prima uno ha massa maggiore dell'altro. Con "pesante" intendi dire che ha un momento d'inerzia?
L'accelerazione dei corpi causa un'accelerazione angolare alla puleggia, se le equazioni del moto dei corpi sono $T_1-m_1*g=m_1*a_1$ e $-T_2 + m_2*g= m_2*a_2$. Se $R$ è distanza del filo dal centro della puleggia, l'accelerazione angolare sarà data da $\alpha= ((a_1-g) + (g-a_2))/R$? Cioè devo considerare le forze agenti sulla puleggia, ovvero le tensioni?
Per il terzo principio, con sistema libero intendi un sistema su cui la risultante delle forze esterne è nulla, giusto? Io per il terzo principio intendo solo azione-reazione, la conservazione della quantità di moto e del momento angolare li ho studiati come teoremi a sé stanti.
"Mino_01":
Se la puleggia , pesante ruota accelerando intorno al perno di sostegno le tensioni delle masse governano la evoluzione del momento angolare e sono diverse.
Allora, immaginiamo la solita carrucola con filo inestensibile che collega due corpi uno da una parte ed uno dall'altra. Su entrambi i corpi agisce la forza peso, ma come prima uno ha massa maggiore dell'altro. Con "pesante" intendi dire che ha un momento d'inerzia?
L'accelerazione dei corpi causa un'accelerazione angolare alla puleggia, se le equazioni del moto dei corpi sono $T_1-m_1*g=m_1*a_1$ e $-T_2 + m_2*g= m_2*a_2$. Se $R$ è distanza del filo dal centro della puleggia, l'accelerazione angolare sarà data da $\alpha= ((a_1-g) + (g-a_2))/R$? Cioè devo considerare le forze agenti sulla puleggia, ovvero le tensioni?
Per il terzo principio, con sistema libero intendi un sistema su cui la risultante delle forze esterne è nulla, giusto? Io per il terzo principio intendo solo azione-reazione, la conservazione della quantità di moto e del momento angolare li ho studiati come teoremi a sé stanti.
Buon di
Per pesante intendo che la puleggia ha massa e dunque momento di inerzia rispetto ad un polo, nello studio del sistema interviene in modo attivo.
Se il sistema è accelerato allora la accelerazione delle masse coincide con la accelerazione alla periferia della puleggia e quindi nota la accelerazione delle masse puoi conoscere la accelerazione angolare della puleggia.
Le tensioni sulla puleggia (spacchettando come prima il sistema), con la convenzione sui versi:
$ (-T1+T2)*R=Ialpha $
dove le tensioni T1, T2 sono quelle di sinistra, destra,R il raggio della puleggia , I è il momento di inerzia della puleggia rispetto al perno centrale e $ alpha $ la accelerazione angolare della puleggia.
E non sono le uniche forze agenti sulla puleggia.... non ho tenuto conto del sostegno al soffitto e del peso (tanto il centro di massa della puleggia non si muove, e non contribuiscono nel momento totale).
Poi per sistema libero intendo che non ci sono elementi fisici esterni al sistema che esercitano forze sullo stesso.
Il libro di Mencuccini-Silvestri, è tra quelli che ho visto l' unico a fornire il 3° principio per i sistemi in forma cinematica.
Il principio di azione e reazione è dedotto logicamente dall' enunciato che ti ho riportato una volta applicato il secondo principio della dinamica ai punti del sistema.
Non credo sia il caso di ripeterla... comunque è certamente istruttiva.
Ciao
Mino
Per pesante intendo che la puleggia ha massa e dunque momento di inerzia rispetto ad un polo, nello studio del sistema interviene in modo attivo.
Se il sistema è accelerato allora la accelerazione delle masse coincide con la accelerazione alla periferia della puleggia e quindi nota la accelerazione delle masse puoi conoscere la accelerazione angolare della puleggia.
Le tensioni sulla puleggia (spacchettando come prima il sistema), con la convenzione sui versi:
$ (-T1+T2)*R=Ialpha $
dove le tensioni T1, T2 sono quelle di sinistra, destra,R il raggio della puleggia , I è il momento di inerzia della puleggia rispetto al perno centrale e $ alpha $ la accelerazione angolare della puleggia.
E non sono le uniche forze agenti sulla puleggia.... non ho tenuto conto del sostegno al soffitto e del peso (tanto il centro di massa della puleggia non si muove, e non contribuiscono nel momento totale).
Poi per sistema libero intendo che non ci sono elementi fisici esterni al sistema che esercitano forze sullo stesso.
Il libro di Mencuccini-Silvestri, è tra quelli che ho visto l' unico a fornire il 3° principio per i sistemi in forma cinematica.
Il principio di azione e reazione è dedotto logicamente dall' enunciato che ti ho riportato una volta applicato il secondo principio della dinamica ai punti del sistema.
Non credo sia il caso di ripeterla... comunque è certamente istruttiva.
Ciao
Mino
Buongiorno
E' quasi tutto chiaro, mi restano "soltanto" tre domande:
1) L'accelerazione angolare la posso trovare dalla formula che hai scritto $(−T_1+T_2)*R=I\alpha$, ma quindi $\alpha=(a_1−g)+(g−a_2)/R$ è sbagliata?
2) In quasi tutti i problemi la puleggia subisce un'accelerazione angolare, quindi è il fatto di considerarla pesante a rendere le tensioni che agiscono su di essa diverse?
3) Per il calcolo del momento di un qualsiasi corpo rigido rispetto ad un polo qualsiasi dovremmo prendere tutte le forze che agiscono sul corpo e la cui direzione non passi per il polo, cioè abbia braccio non nullo, giusto?
E' quasi tutto chiaro, mi restano "soltanto" tre domande:
1) L'accelerazione angolare la posso trovare dalla formula che hai scritto $(−T_1+T_2)*R=I\alpha$, ma quindi $\alpha=(a_1−g)+(g−a_2)/R$ è sbagliata?
2) In quasi tutti i problemi la puleggia subisce un'accelerazione angolare, quindi è il fatto di considerarla pesante a rendere le tensioni che agiscono su di essa diverse?
3) Per il calcolo del momento di un qualsiasi corpo rigido rispetto ad un polo qualsiasi dovremmo prendere tutte le forze che agiscono sul corpo e la cui direzione non passi per il polo, cioè abbia braccio non nullo, giusto?
Ciao Jason
come deduci la accelerazione angolare?
un punto alla periferia della puleggia ha accelerazione periferica pari a:
$ a=alpha *R $
coincidente con quella delle masse in moto.
Poi se la puleggia è pesante ed ha accelerazione angolare, è non nullo il momento delle forze e varia il momento angolare ( pensa che il momento angolare è un vettore, nel nostro caso si allunga, in generale può cambiare anche di direzione).
Se la puleggia non ha accelerazione angolare allora ha momento nullo ( nel nostro caso).
La scelta del polo per i momenti è solo una questione di comodità dipendente dalle richieste del problema da risolvere.
La nostra è una chiacchierata alcune cose vanno considerate nel contesto, ricorda che i momenti, momento angolare, sono vettori che possono variare anche di direzione oltre che come lunghezza...
Per esempio se la nostra puleggia sfarfalla è necessario applicare un vettore momento ruotante ortogonale all' asse di rotazione.
Tale sollecitazione periodica sollecita a fatica i cuscinetti.
come deduci la accelerazione angolare?
un punto alla periferia della puleggia ha accelerazione periferica pari a:
$ a=alpha *R $
coincidente con quella delle masse in moto.
Poi se la puleggia è pesante ed ha accelerazione angolare, è non nullo il momento delle forze e varia il momento angolare ( pensa che il momento angolare è un vettore, nel nostro caso si allunga, in generale può cambiare anche di direzione).
Se la puleggia non ha accelerazione angolare allora ha momento nullo ( nel nostro caso).
La scelta del polo per i momenti è solo una questione di comodità dipendente dalle richieste del problema da risolvere.
La nostra è una chiacchierata alcune cose vanno considerate nel contesto, ricorda che i momenti, momento angolare, sono vettori che possono variare anche di direzione oltre che come lunghezza...
Per esempio se la nostra puleggia sfarfalla è necessario applicare un vettore momento ruotante ortogonale all' asse di rotazione.
Tale sollecitazione periodica sollecita a fatica i cuscinetti.
Per il calcolo dell'accelerazione angolare ho utilizzato questa formula $a_T=\alpha⋅R$ e ho preso come accelerazione tangenziale $a_T$ quella causata dalle tensioni. $T_1=m_1(a_1+g)$ e $-T_2= m_2(a_2-g)$, ma sulla puleggia agiscono $-T_1$ e $T_2$, quindi l'accelerazione tangenziale che queste forze imprimono è $a_T=-g-a_1+g-a_2=-(a_1+a_2)$, prima ho fatto probabilmente degli errori di calcolo, ma il ragionamento è giusto?
Per il resto vanno bene tutte le considerazioni sul momento della forza non nullo e la variazione del momento angolare, questa parte mi è chiara, solo che in quasi tutti i problemi in cui c'è una puleggia che ruota a causa del movimento di due masse avviene questo. Ora questi esercizi in cui sono presenti delle pulegge vengono proposti dopo aver studiato le forze e dopo aver studiato i corpi rigidi. Quando vengono presentati dopo aver studiato cos'è una forza non si considera una puleggia pesante, e quindi le tensioni suono uguali, ma dopo aver studiato i corpi rigidi si considera la puleggia pesante e quindi le tensioni sono diverse, quindi, dando per scontante tutte le altre condizioni sul momento, la differenza sta nel considerare la puleggia pesante o sbaglio?
Il discorso sul polo l'ho fatto molto generale, quello che mi interessa sapere è se devo considerare tutte le forze agenti con braccio non nullo
Per il resto vanno bene tutte le considerazioni sul momento della forza non nullo e la variazione del momento angolare, questa parte mi è chiara, solo che in quasi tutti i problemi in cui c'è una puleggia che ruota a causa del movimento di due masse avviene questo. Ora questi esercizi in cui sono presenti delle pulegge vengono proposti dopo aver studiato le forze e dopo aver studiato i corpi rigidi. Quando vengono presentati dopo aver studiato cos'è una forza non si considera una puleggia pesante, e quindi le tensioni suono uguali, ma dopo aver studiato i corpi rigidi si considera la puleggia pesante e quindi le tensioni sono diverse, quindi, dando per scontante tutte le altre condizioni sul momento, la differenza sta nel considerare la puleggia pesante o sbaglio?
Il discorso sul polo l'ho fatto molto generale, quello che mi interessa sapere è se devo considerare tutte le forze agenti con braccio non nullo
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