Funi, tensioni, azone-reazione, momenti e sistemi di riferimento
Quando mi si da un problema con una corpo attaccato ad una fune non ci capisco più niente, non so neanche impostare un sistema di riferimento.
Per esempio immaginiamo una carrucola per cui passa una fune ideale con due corpi di massa differente attaccati agli estremi. La carrucola gira soltanto se c'è attrito tra questa e la corda, giusto? La prima cosa è impostare il sistema di riferimento. Se prendiamo l'asse y positivo quando è rivolto verso l'alto, sapendo che la massa di uno dei due corpi è il doppio di quella dell'altro, le equazioni del moto dovrebbero essere:
$T_m - mg=ma$
$T_(2m) - 2mg=-2ma$
Le tensioni sono quelle dei rispettivi corpi, positive perché rivolte verso la carrucola che si trova più in alto dei corpi, le forze peso sono rivolte verso il basso e so che i corpi sono in movimento, quindi la risultante delle forze deve essere un'altra forza generica, data dal prodotto della massa del corpo e della sua accelerazione. Quella che ha massa maggiore avrà accelerazione rivolta verso il basso, quindi ha un meno davanti.
Online ho visto molte persone risolvere questo problema prendendo come verso positivo del sistema di riferimento quello del moto, quindi che cambia per ogni corpo ma non so se è una cosa sensata o meno. Le equazioni del moto verrebbero:
$T_m - mg=ma$
$-T_(2m) + 2mg= 2ma$
Per trovare una soluzione agli altri dubbi mi serve prima capire che sistema di riferimento adottare, ma sarebbero: quali sono le forze agenti sulla carrucola? Sono solo le tensioni? In che verso?
Se volessi calcolare il momento della carrucola rispetto ad un polo che si trova al centro di questa, dovrei considerare solo le forze agenti sulla carrucola, giusto? Per trovare il momento di un corpo in generale, magari che trasla anche, dovrei considerare tutte le forze la cui direzione non passi per il polo?
Quando la fune cambia direzione, devo mettere il segno - davanti alla tensione se questa risulta diretta in una direzione che io ho preso come negativa?
Se un corpo 1 striscia su un corpo 2, il fatto che il corpo 2 cerchi di impedire il moto di quello sovrastante applicandogli una forza d'attrito ( è così, vero?) per il terzo principio non dovrebbe portare il corpo 1 che si muove sopra l'altro ad imprimere una forza uguale in modulo e nel verso del suo stesso moto al corpo 2?
Per esempio immaginiamo una carrucola per cui passa una fune ideale con due corpi di massa differente attaccati agli estremi. La carrucola gira soltanto se c'è attrito tra questa e la corda, giusto? La prima cosa è impostare il sistema di riferimento. Se prendiamo l'asse y positivo quando è rivolto verso l'alto, sapendo che la massa di uno dei due corpi è il doppio di quella dell'altro, le equazioni del moto dovrebbero essere:
$T_m - mg=ma$
$T_(2m) - 2mg=-2ma$
Le tensioni sono quelle dei rispettivi corpi, positive perché rivolte verso la carrucola che si trova più in alto dei corpi, le forze peso sono rivolte verso il basso e so che i corpi sono in movimento, quindi la risultante delle forze deve essere un'altra forza generica, data dal prodotto della massa del corpo e della sua accelerazione. Quella che ha massa maggiore avrà accelerazione rivolta verso il basso, quindi ha un meno davanti.
Online ho visto molte persone risolvere questo problema prendendo come verso positivo del sistema di riferimento quello del moto, quindi che cambia per ogni corpo ma non so se è una cosa sensata o meno. Le equazioni del moto verrebbero:
$T_m - mg=ma$
$-T_(2m) + 2mg= 2ma$
Per trovare una soluzione agli altri dubbi mi serve prima capire che sistema di riferimento adottare, ma sarebbero: quali sono le forze agenti sulla carrucola? Sono solo le tensioni? In che verso?
Se volessi calcolare il momento della carrucola rispetto ad un polo che si trova al centro di questa, dovrei considerare solo le forze agenti sulla carrucola, giusto? Per trovare il momento di un corpo in generale, magari che trasla anche, dovrei considerare tutte le forze la cui direzione non passi per il polo?
Quando la fune cambia direzione, devo mettere il segno - davanti alla tensione se questa risulta diretta in una direzione che io ho preso come negativa?
Se un corpo 1 striscia su un corpo 2, il fatto che il corpo 2 cerchi di impedire il moto di quello sovrastante applicandogli una forza d'attrito ( è così, vero?) per il terzo principio non dovrebbe portare il corpo 1 che si muove sopra l'altro ad imprimere una forza uguale in modulo e nel verso del suo stesso moto al corpo 2?
Risposte
Non seguo la tua deduzione di at.
Ma con la convenzione sui segni, spacchettando il sistema farei così:
$ -m1*g+T1=m1*a $
$ (-T1+T2)*R=I*alpha $
$ -T2+m2*g=m2*a $
questo è un sistema lineare di 3 equazioni nelle incognite T1,a,T2, le altre lettere sono tutte note;
Se la puleggia fosse fissa e senza attriti o rotante ma senza massa, allora essa funge da meccanismo per cambiare direzione alle forze, il filo inestensibile al meccanismo di trasporto, allora per il 3° principio T1=T2.
Ma se fosse un moto uniforme ovvero con accelerazione nulla anche in quel caso è T1=T2 (m1=m2).
La puleggia con massa è un corpo rigido che interagisce con le masse a mezzo delle tensioni, Terra col peso, il soffitto con la reazione vincolare sul perno.
Ma il peso, il sostegno, esercitano forze che sulla puleggia passano per il centro di massa, punto dove calcoli i momenti, il momento di inerzia. Ed esse hanno momento nullo. Altrimenti andrebbero considerate.
Ma con la convenzione sui segni, spacchettando il sistema farei così:
$ -m1*g+T1=m1*a $
$ (-T1+T2)*R=I*alpha $
$ -T2+m2*g=m2*a $
questo è un sistema lineare di 3 equazioni nelle incognite T1,a,T2, le altre lettere sono tutte note;
Se la puleggia fosse fissa e senza attriti o rotante ma senza massa, allora essa funge da meccanismo per cambiare direzione alle forze, il filo inestensibile al meccanismo di trasporto, allora per il 3° principio T1=T2.
Ma se fosse un moto uniforme ovvero con accelerazione nulla anche in quel caso è T1=T2 (m1=m2).
La puleggia con massa è un corpo rigido che interagisce con le masse a mezzo delle tensioni, Terra col peso, il soffitto con la reazione vincolare sul perno.
Ma il peso, il sostegno, esercitano forze che sulla puleggia passano per il centro di massa, punto dove calcoli i momenti, il momento di inerzia. Ed esse hanno momento nullo. Altrimenti andrebbero considerate.
"Mino_01":
Non seguo la tua deduzione di at.
Provo a farla passo per passo:
$a_T$ è l'accelerazione che viene impressa alla puleggia dalle tensioni agenti su di essa;
$-T_1$ e $T_2$ sono le tensioni che agiscono sulla puleggia;
$ -T_1=m_1(-a_1 - g)$, $T_2=m_2(-a_2 + g)$;
quindi $a_T= -a_1-g + g- a_2$.
E' giusto?
Abbandoniamo un attimo il caso della puleggia e passiamo ad un corpo rigido qualsiasi, non ancorato a niente. Di solito il momento si calcola rispetto al suo centro di massa, quindi la forza peso ha braccio nullo e quindi non contribuisce al momento del corpo. Se scegliessimo un punto casuale dello spazio come polo che non giaccia sulla direzione della forza peso, questa contribuirebbe al momento del corpo?
Più in generale, qualsiasi forza agente sul corpo che non ha retta d'azione passante per il polo contribuisce al momento?
Hai scritto le tensioni per la puleggia,
le equazioni del moto per le masse ? (secondo il verso convenuto)
le equazioni del moto per le masse ? (secondo il verso convenuto)
ho ricavato le tensioni che agiscono sulla puleggia dalle equazioni del moto delle masse, dove sbaglio?
Dunque facciamolo insieme.
Io farei così per le due pulegge sinistra, destra:
$ T1-m1*g=m1*a $
$ m2*g-T2=m2*a $
da cui:
$ T1=m1*g+m1*a $
$ T2=m2*g-m2*a $
ma essendo T1=-T2 a livello vettoriale, per componenti è:
$ T1+T2=0=m1*g+m1*a+m2*g-m2*a=0 $
da cui:
$ a=g*(m1+m2)/(m2-m1 $
va bene così?
Io farei così per le due pulegge sinistra, destra:
$ T1-m1*g=m1*a $
$ m2*g-T2=m2*a $
da cui:
$ T1=m1*g+m1*a $
$ T2=m2*g-m2*a $
ma essendo T1=-T2 a livello vettoriale, per componenti è:
$ T1+T2=0=m1*g+m1*a+m2*g-m2*a=0 $
da cui:
$ a=g*(m1+m2)/(m2-m1 $
va bene così?
"Mino_01":
ma essendo T1=-T2 a livello vettoriale, per componenti è:
$ T1+T2=0=m1*g+m1*a+m2*g-m2*a=0 $
Perché $T_1=-T_2$? La puleggia ha un suo peso e il momento della forza è diverso da zero, quindi le tensioni sono diverse.
Le tensioni sono generiche forze $F=m*a$ come risulta da
$ T_1=m_1*g+m_1*a_1 $
$ T_2=m_2*g-m_2*a_2 $
Le accelerazioni sono uguali per i due corpi, cambiando segno alla prima per riferirla alla puleggia e raggruppando
$ -T_1=m_1(-g-a) $
$ T_2=m_2(g-a) $
Sono le forze tangenziali che imprimono alla puleggia un'accelerazione tangenziale, ha senso(?) quindi scrivere l'equazione
$-T_1+T_2= m_p * a_T$
in cui $m_p$ è la massa della puleggia. Io prima avevo trascurato le masse, avevo fatto un errore, ma dovrebbe essere a questo punto:
$(g(m_2-m_1) - a(m_2 + m_1))/m_p=a_T$
Ha senso quello che ho scritto?
Consideravo prima la puleggia priva di massa, mi scuso per non averlo indicato.
Se una forza agisce sulla periferia della puleggia, è il momento di forza che produce la variazione del momento angolare.
Le tensioni producono momenti e questi regolano la variazione del momento angolare (no la massa della puleggia ma il momento di inerzia per la accelerazione angolare) .
Le tensioni producono momenti e questi regolano la variazione del momento angolare (no la massa della puleggia ma il momento di inerzia per la accelerazione angolare) .
Ecco, ora ho capito, alla fine era la solita formula $M= I*\alpha$ ma mi intestardivo a voler calcolare $a_T$ in un altro modo. Quindi l'unico modo per calcolare $a_T$ è da $M=I*\alpha$ e da $alpha*R=a_T$?
Non ti preoccupare è comunissimo...
spero di essere stato di aiuto
e ti ringrazio per aver potuto rinfrescare un po la memoria in merito a queste questioni.
Jason in bocca al lupo per gli esami, a risentirci.
Ciao
Mino
spero di essere stato di aiuto
e ti ringrazio per aver potuto rinfrescare un po la memoria in merito a queste questioni.
Jason in bocca al lupo per gli esami, a risentirci.
Ciao
Mino
Grazie a te Mino per la l'aiuto e la pazienza, finito l'esame ti farò di certo sapere com'è andato.
Grazie ancora e a presto
Grazie ancora e a presto
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