Fune dotata di massa

[mariol22]

Salve a tutti! Nonostante la banalità ( credo ) di questo esercizio, non essendomi mai capitata tra le mani una situazione simile, vorrei capire bene il ragionamento con cui arrivare alla soluzione. L'esercizio mi chiede:
"Una corda inestendibile di massa m e lunghezza l è posta in verticale appesa per il suo estremo superiore. Calcolare la tensione lungo la corda in funzione della distanza dal suo estremo superiore".
Sicuramente la corda, essendo in tal caso dotata di massa, avrà una tensione T variabile da punto a punto, diversamente da quanto accade nel caso di corde con massa trascurabile. Non riesco però a capire a cosa far riferimento per arrivare ad una conclusione esatta.
Vi ringrazio in anticipo.

[Newton_1372]

Considera l'elementino di corda che va dalla coordinata x alla coordinata $x+\Delta x$. Esso avrà massa $(\Delta x\rho$, con $\rho$ densità della corda, banalmente $\rho=m/l$. Ora usa newton: sull'elementino agiscono due forze, $T(x+\Delta x)$ che tira vero l'alto, e $-T(x)-\rho\Delta x g$ che tira verso il basso. Essendo tutto in equilibrio, si avrà
$T(x+\Delta x) -T(x) -\rho\Delta x g=\rho \Delta x 0\Rightarrow T(x+\Delta x)-T(x) = \rho\Delta x g$
tirando sotto il $\Delta x$ ottieni che il rapporto incrementale della funzione $T(x)$ vale
$(\Delta T)/(\Delta x)=\rho g$.
Passando al limite
$T'(x)=\rho g$ per ogni x nella corda. Integrando entrambi i membri trovi $T(x)=\rho g x +C$. Per trovarti C basta porre $T(0)=0$ (infatti il ragionamento che abbiamo fatto è valido anche se alla fune è appesa qualche massa, nel qual caso nel punto $x=0$ di giunzione la tensione deve equilibrare la forza peso). Valutando in (x=0) si trova C=0.

[mariol22]

Grazie mille, chiarissimo e molto utile!