Frequenza di rotazione di una pulsar collassata
Riguardo la soluzione del seguente problema:
Si osserva che una stella collassata (pulsar) ruota attorno al suo asse 10 volto al
secondo. Supponendo che la pulsar sia sferica si calcoli il valore minimo della sua
densità media.
Se il Sole (periodo T = 24 giorni) collassasse senza perdere massa in una pulsar
di densità nucleare (1017Kg/m3), quale sarebbe il suo periodo? Quale sarebbe la
sua densità minima con questo periodo? Si considerino solo gli effetti delle forze
gravitazionali.
Per la prima parte, ho provato a considerare che perché sussista l'equilibrio devono essere eguagliate la forza gravitazionale che la massa totale applica a se stessa $ Fg = G * m^(2) / r^2 $ e la forza centrifuga $ Fcf = m*omega^2 *r $
Considerando poi la relazione tra raggio e volume ottengo una relazione di proporzionalità inversa tra la frequenza e la densità: ( $ delta = (3*pi)/G * f^(2) $ ), probabilente tanto bella quanto sbagliata. Immagino che l'errore sia nel considerare nell'aver impostato la formula dela forza centrifuga come se ci fosse un corpo di massa m che ruota a una distanza r, mentre la massa è distribuita nella pulsar...
Inoltre la formulazione della domanda lascia intendere che si dovrebbe ottenere una funzione da poter poi derivare per ottenere un minimo... ma in che modo??
Ho pensato che forse si debba considerare ogni singolo "livello" a cui applicare l'uguaglianza tra gravità e forza centrifuga per poi unificare il tutto con un calcolo integrale o una sommatoria, ma non capisco come si dovrebbe fare esattamente!
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Si osserva che una stella collassata (pulsar) ruota attorno al suo asse 10 volto al
secondo. Supponendo che la pulsar sia sferica si calcoli il valore minimo della sua
densità media.
Se il Sole (periodo T = 24 giorni) collassasse senza perdere massa in una pulsar
di densità nucleare (1017Kg/m3), quale sarebbe il suo periodo? Quale sarebbe la
sua densità minima con questo periodo? Si considerino solo gli effetti delle forze
gravitazionali.
Per la prima parte, ho provato a considerare che perché sussista l'equilibrio devono essere eguagliate la forza gravitazionale che la massa totale applica a se stessa $ Fg = G * m^(2) / r^2 $ e la forza centrifuga $ Fcf = m*omega^2 *r $
Considerando poi la relazione tra raggio e volume ottengo una relazione di proporzionalità inversa tra la frequenza e la densità: ( $ delta = (3*pi)/G * f^(2) $ ), probabilente tanto bella quanto sbagliata. Immagino che l'errore sia nel considerare nell'aver impostato la formula dela forza centrifuga come se ci fosse un corpo di massa m che ruota a una distanza r, mentre la massa è distribuita nella pulsar...
Inoltre la formulazione della domanda lascia intendere che si dovrebbe ottenere una funzione da poter poi derivare per ottenere un minimo... ma in che modo??
Ho pensato che forse si debba considerare ogni singolo "livello" a cui applicare l'uguaglianza tra gravità e forza centrifuga per poi unificare il tutto con un calcolo integrale o una sommatoria, ma non capisco come si dovrebbe fare esattamente!
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Risposte
Provando a considerare la conservazione del momento angolare totale sono giunto al fatto che il momento angolare totale (credo) sia $L = 4/3 *pi*m*omega*r^(5) = V*m*omega*r^(2)$, e considerando che nel collassare della stella deve mantenersi costante ottengo che $r0^(5) * f0 = r1^(5) * f1$ (come si mettono i pedici??).
Purtroppo non ci si fa niente con questa relazione... ho provato a considerare che la densità è la derivata prima della massa nel volume, ma come trovo una relazione utile partendo da qui? Qualche suggerimento?
Purtroppo non ci si fa niente con questa relazione... ho provato a considerare che la densità è la derivata prima della massa nel volume, ma come trovo una relazione utile partendo da qui? Qualche suggerimento?
nessuno??
solo un commento, senza aver fatto alcun conto: sei sicuro che anche la $\omega$ si conservi? La simmetria del sistema è assiale, si conserva quindi solo la componente $z$ del momento angolare... in particolare $L_z= I_z\omega$. Se la stella collassa cambia il suo momento di inerzia $I$ e quindi la pulsazione $\omega$...
"goblyn":
solo un commento, senza aver fatto alcun conto: sei sicuro che anche la $\omega$ si conservi? La simmetria del sistema è assiale, si conserva quindi solo la componente $z$ del momento angolare... in particolare $L_z= I_z\omega$. Se la stella collassa cambia il suo momento di inerzia $I$ e quindi la pulsazione $\omega$...
Perchè c'è simmetria assiale? Il testo dice di considerare la pulsar come una sfera, quindi c'è simmetria sferica e si conserva tutto il momento angolare, non solo la proiezione su z (c'è simmetria assiale se si considerano le forze magnetiche, ma non influiscono sul momento meccanico se consideriamo la pulsar gloabelmente neutra).
Cmq credo che per la prima parte il tuo ragionamento sia giusto, solo che la formula finale è sbagliata perchè dovrebbe venire: $\delta=\frac{3\pi}{rG}f^2$ (altrimenti non tornerebbo le unità di misura!)
Il problema che ti poni sulla distribuzione della massa è vero, però nel tuo caso le cose non cambiano. Il modo preciso di procede però è questo:
c'è un teorema, detto teorema dei gusci che dice che se vuoi sapere quanto vale la forza di gravità che un corpo sferico di massa M esercita su una massa m posta sulla sua supeficie esterna, ti basta considerare il corpo sferico come una particella puntiforme di massa M posta nel centro.
Quindi, prendi un elementino di massa $dm$ sulla superficie della stella. Il problema fisico è equivalente a una particella di massa $dm$ che ruota attorno a una particella di massa M (M è la massa della stella) a una distanza r (r è il raggio della sfera). Quindi adesso puoi eguagliare la forza centripeta e quella gravitazionale:
$dm\omega^2=G\frac{dmM}{r^2}$
da cui:
$\delta=\frac{3\pi}{rG}f^2$
P.s. per i pedici, devi mettere un _ prima del pedice, ad esempio $r_0$=r_0
dico che c'è simmetria assiale perché la sfera ruota intorno ad un asse. Esiste quindi una direzione preferenziale, tanto che la forza centrifuga è orientata sempre in modo da essere perpendicolare all'asse di rotazione. La rotazione "rompe" la simmetria sferica. Comunque in questo caso il vettore $L$ è orientato lungo $z$ esattamente come $\omega$ (e questo perché tale asse è anche asse di simmetria della sfera), quindi è vero, si conserva tutto.
Il teorema di cui parli immagino derivi dal teorema di Gauss per il campo gravitazionale (la cui espressione analitica è infatti uguale a quella del campo elettrostatico).
Il teorema di cui parli immagino derivi dal teorema di Gauss per il campo gravitazionale (la cui espressione analitica è infatti uguale a quella del campo elettrostatico).
"goblyn":
dico che c'è simmetria assiale perché la sfera ruota intorno ad un asse. Esiste quindi una direzione preferenziale, tanto che la forza centrifuga è orientata sempre in modo da essere perpendicolare all'asse di rotazione. La rotazione "rompe" la simmetria sferica.
E' vero... non avevo considerato che ruotava
"goblyn":
Il teorema di cui parli immagino derivi dal teorema di Gauss per il campo gravitazionale (la cui espressione analitica è infatti uguale a quella del campo elettrostatico).
Sisi.. è il teorema di Gauss
Grazie mille per le risposte, solo alcune domande:
1)Lucalblu, nella formula della forza centrifuga immagino ti sia semplicemente scodato la r? (non è per fare il puntiglioso è che non so se sono io ad aver capito male =) )
2) Se la soluzione è quella (più o meno quella che avevo raggiunto io) come mai mi chiede la densità minima? Se la relazione è che la densità è in diretta proporzionalità con il quadrato della frequenza, il valore, pur approssimato ovviamente, è determinato! A meno che non si debba considerare l'influenza che nella formula ha anche il raggio r che è incognito, ma derivando la relazione per ottenere un minimo o un massimo questi non sono semplicemente 0 e infinito?
Inoltre la seconda parte del problema ti dà prima il periodo del sole non collassato, e poi la densità del sole collassato chiedendomi nuovamente il periodo e la densità minima con il periodo appena ottenuto, ma data la relazione che abbiamo ottenuto non sono allora dati ridondanti? Conoscendo la densità del sole collassato ottengo la sua frequenza e quindi il suo periodo, ma poi che faccio, rimetto il periodo nella stessa formula per riavere la densità trovandola identica a prima?
Il mio dubbio era sul fatto che parla di "densità minima", lasciandomi intendere che vuole una formula che vada poi derivata per ottenere un minimo; con la formula che avevo ottenuto io mi sembra senza senso l'ultima parte del problema. Dove sbaglio?
1)Lucalblu, nella formula della forza centrifuga immagino ti sia semplicemente scodato la r? (non è per fare il puntiglioso è che non so se sono io ad aver capito male =) )
2) Se la soluzione è quella (più o meno quella che avevo raggiunto io) come mai mi chiede la densità minima? Se la relazione è che la densità è in diretta proporzionalità con il quadrato della frequenza, il valore, pur approssimato ovviamente, è determinato! A meno che non si debba considerare l'influenza che nella formula ha anche il raggio r che è incognito, ma derivando la relazione per ottenere un minimo o un massimo questi non sono semplicemente 0 e infinito?
Inoltre la seconda parte del problema ti dà prima il periodo del sole non collassato, e poi la densità del sole collassato chiedendomi nuovamente il periodo e la densità minima con il periodo appena ottenuto, ma data la relazione che abbiamo ottenuto non sono allora dati ridondanti? Conoscendo la densità del sole collassato ottengo la sua frequenza e quindi il suo periodo, ma poi che faccio, rimetto il periodo nella stessa formula per riavere la densità trovandola identica a prima?
Il mio dubbio era sul fatto che parla di "densità minima", lasciandomi intendere che vuole una formula che vada poi derivata per ottenere un minimo; con la formula che avevo ottenuto io mi sembra senza senso l'ultima parte del problema. Dove sbaglio?
1)Sì, hai ragione ho scordato una r è che non sono molto bravo a scrivere le formule nei post... quindi a questo punto missà che anche la formula finale che trovavo è sbagliata perchè ci devi mettere una r da qualche parte. Anzi, credo che la formula che ottenevi te era giusta.
2)Anche a me sembra strano che ti chieda la densità minima... e sinceramente non so cosa voglia dire. Anche perchè io credo che se la densità cambia, anche il periodo cambia, quindi non ha senso parlare di densità minima. A questo punto non saprei proprio cosa dirti.
è che non sono molto bravo a scrivere le formule nei post... quindi a questo punto missà che anche la formula finale che trovavo è sbagliata perchè ci devi mettere una r da qualche parte. Anzi, credo che la formula che ottenevi te era giusta.2)Anche a me sembra strano che ti chieda la densità minima... e sinceramente non so cosa voglia dire. Anche perchè io credo che se la densità cambia, anche il periodo cambia, quindi non ha senso parlare di densità minima. A questo punto non saprei proprio cosa dirti.
up
Io farei così.
Considerando una densità media $rho_m$ per la pulsar, e considerando una frazione piccola di massa $m$ in prossimità dell'equatore, eguagliando le forze centrifughe e gravitazionali ottengo:
$m omega^2 R = G m 4/3 pi R^3 rho_m 1/R^2$
La $m$ m si semplifica e posso ricavare quale debba essere la densità media minima della pulsar (al di sotto di quella la forza gravitazionale non riesce a tener insieme tutta la stella).
Considerando una densità media $rho_m$ per la pulsar, e considerando una frazione piccola di massa $m$ in prossimità dell'equatore, eguagliando le forze centrifughe e gravitazionali ottengo:
$m omega^2 R = G m 4/3 pi R^3 rho_m 1/R^2$
La $m$ m si semplifica e posso ricavare quale debba essere la densità media minima della pulsar (al di sotto di quella la forza gravitazionale non riesce a tener insieme tutta la stella).
Svolgendo i calcoli a partire da questa impostazione ottengo che $rho_m = (3*omega^(2))/(4*pi*G) $... ma questa non rappresenta semplicemente una proporzionalità diretta tra densità e velocità angolare? Se la stella avesse densità minore di questo valore ovviamente potrebbe sostenere solo una velocità angolare minore di quella data, per cui le particelle esterne riescono a fuggire dal campo gravitazionale. Con questa formula come posso poi approcciare la seconda parte del problema?
Corretto. Come detto quella è la densità media minima in funzione della velocità angolare della pulsar (in assenza di altre forze oltre la gravità).
Per la seconda parte non mi è molto chiaro il testo, sono queste le esatte parole?
Il sole ovviamente a bilanciare la gravità oltre alla forza centrifuga ha le spinte dovute alle reazioni nucleari al suo interno.
Non mi è chiaro cosa si chiede qui, se si suppone che il sole collassi in una pulsar (si presuppone che cessino le reazioni nucleari) il diametro del sole si ridurrebbe e quindi la densità aumenterebbe, mentre la densità riportata lì è minore di quella del sole.
Non tenendo conto di questo comunque, a partire dalla densità si può calcolare il nuovo raggio del sole (conoscendo la sua massa), quindi calcolare una nuova velocità angolare (il momento angolare si conserva) e infine concludere il problema riapplicando la formula trovata e calcolando a quella velocità quale sarebbe la densità minima.....
Mi sembra scritto un po' male comunque.
In ogni caso anche per una pulsar ho dei dubbi che siano presenti solo forze gravitazionali..... Magari qualcuno più esperto in proposito che legge potrebbe precisare meglio questo.
Per la seconda parte non mi è molto chiaro il testo, sono queste le esatte parole?
Se il Sole (periodo T = 24 giorni) collassasse senza perdere massa in una pulsar
di densità nucleare (1017Kg/m3), quale sarebbe il suo periodo? Quale sarebbe la
sua densità minima con questo periodo? Si considerino solo gli effetti delle forze
gravitazionali.
Il sole ovviamente a bilanciare la gravità oltre alla forza centrifuga ha le spinte dovute alle reazioni nucleari al suo interno.
Non mi è chiaro cosa si chiede qui, se si suppone che il sole collassi in una pulsar (si presuppone che cessino le reazioni nucleari) il diametro del sole si ridurrebbe e quindi la densità aumenterebbe, mentre la densità riportata lì è minore di quella del sole.
Non tenendo conto di questo comunque, a partire dalla densità si può calcolare il nuovo raggio del sole (conoscendo la sua massa), quindi calcolare una nuova velocità angolare (il momento angolare si conserva) e infine concludere il problema riapplicando la formula trovata e calcolando a quella velocità quale sarebbe la densità minima.....
Mi sembra scritto un po' male comunque.
In ogni caso anche per una pulsar ho dei dubbi che siano presenti solo forze gravitazionali..... Magari qualcuno più esperto in proposito che legge potrebbe precisare meglio questo.
In effetti tra i dati forniti c'é anche massa e raggio del sole; il tuo ragionamento sembra filare alla perfezione, l'elemento che mi confondeva è la questione della densità "minima". Il ragionamento si basa sul fatto che la formula dia non la densità, ma la densità minima.. ma se la densità fosse superiore a quel valore non si dovrebbe allora avere un collasso maggiore e dunque una superiore velocità angolare? In base a cosa diciamo che questa relazione fornisce la $rho$ minima e non, ad esempio, quella massima?
Non ho capito il tuo dubbio.
Se la densità di una stella fosse maggiore di quella minima a una data velocità angolare, la stella sicuramente avrebbe un diametro minore rispetto a quello al limite della sua disgregazione (sempre che non ci siano altre forze oltre la gravitazionale). Se l'avrebbe minore certamente la velocità angolare potrebbe essere allora più alta, ma devi fissare qualcosa se no non ne esci più!
Il dubbio che ho io è un altro: se ricavi la densità del sole, dai dati forniti dal problema (raggio sole e massa), come risulta rispetto alla densità di $1017 (kg)/m^3$ fornita per il sole a pulsar?
Se la densità di una stella fosse maggiore di quella minima a una data velocità angolare, la stella sicuramente avrebbe un diametro minore rispetto a quello al limite della sua disgregazione (sempre che non ci siano altre forze oltre la gravitazionale). Se l'avrebbe minore certamente la velocità angolare potrebbe essere allora più alta, ma devi fissare qualcosa se no non ne esci più!
Il dubbio che ho io è un altro: se ricavi la densità del sole, dai dati forniti dal problema (raggio sole e massa), come risulta rispetto alla densità di $1017 (kg)/m^3$ fornita per il sole a pulsar?
Massa del Sole $M_S = 2*10^(30) Kg $,
Raggio del Sole $R_S = 7*10^(8)m $.
Da cui: $rho_S = M_S/(4/3 * pi*R_S^(3)) = 1392 $ Se non ho sbagliato i calcoli. In effetti è maggiore della densità collassata, il che è assurdo.
Ad ogni modo... quello che non ho capito io, è perché diciamo che la formula ottenuta prima ci parla della densità minima, e non della densità "precisa".
Raggio del Sole $R_S = 7*10^(8)m $.
Da cui: $rho_S = M_S/(4/3 * pi*R_S^(3)) = 1392 $ Se non ho sbagliato i calcoli. In effetti è maggiore della densità collassata, il che è assurdo.
Ad ogni modo... quello che non ho capito io, è perché diciamo che la formula ottenuta prima ci parla della densità minima, e non della densità "precisa".
Per il discorso densità sole pulsar... a meno di non aver interpretato in maniera errata tutto il problema, mi sembra ci sia un errore nel testo.
Per quel che riguarda la tua domanda sulla densità, per minimo si intende quello che ti dicevo (non è poi minima, ma media minima, infatti la densità può essere distribuita a simmetria sferica e non essere uniforme dentro la pulsar quindi, ma variare col raggio). Quel" minima" vale solo nelle condizioni sopra dette in cui le uniche forze in gioco sono gravitazionali e la velocità di rotazione fissata.
Per quel che riguarda la tua domanda sulla densità, per minimo si intende quello che ti dicevo (non è poi minima, ma media minima, infatti la densità può essere distribuita a simmetria sferica e non essere uniforme dentro la pulsar quindi, ma variare col raggio). Quel" minima" vale solo nelle condizioni sopra dette in cui le uniche forze in gioco sono gravitazionali e la velocità di rotazione fissata.
ok, media, ma perché minima e non, per esempio, massima?
sono d'accordo con la soluzione di Faussone.
ti descrivo la situazione in altre parole sperando possa esserti utile.
il problema consiste nel trovare la densità media $\rho$ per cui può essere assicurata la stabilità della stella.
vedila in un altro modo: l'energia totale del corpo deve essere minore di 0 per assicurare la sua stabilità.
chiamando K l'energia cinetica rotazionale e U quella potenziale gravitazionale
K + U < 0
poichè $K \sim \omega^2$ e $U \sim -\rho$
fissata $omega$ e tutte le altre costanti chiaramente hai che $\rho$ deve essere maggiore di un determinato valore per assicurare la relazione.
ti descrivo la situazione in altre parole sperando possa esserti utile.
il problema consiste nel trovare la densità media $\rho$ per cui può essere assicurata la stabilità della stella.
vedila in un altro modo: l'energia totale del corpo deve essere minore di 0 per assicurare la sua stabilità.
chiamando K l'energia cinetica rotazionale e U quella potenziale gravitazionale
K + U < 0
poichè $K \sim \omega^2$ e $U \sim -\rho$
fissata $omega$ e tutte le altre costanti chiaramente hai che $\rho$ deve essere maggiore di un determinato valore per assicurare la relazione.
"Pdirac":
ok, media, ma perché minima e non, per esempio, massima?
Su questo punto ti ho risposto più volte, cosa è che non ti convince?
Te lo ridico sotto altra forma: se le uniche forze sono le forze gravitazionali, e la pulsar ruota con una certa velocità, allora la sua densità minima vale quel valore, minima perché una densità minore non è possibile altrimenti la pulsar non starebbe insieme. Una densità maggiore della minima alla medesima velocità angolare sarebbe invece possibile.
"Faussone":Hai colto il punto: è questo che non capisco... data la formula sopra ottenuta la relazione è in tutti e due i versi... perché con l'aumentare della densità possiamo considerare la velocità angolare stabile e non invece maggiore come deriva da un collasso gravitazionale maggiore derivante da una densità maggiore?
Una densità maggiore della minima alla medesima velocità angolare sarebbe invece possibile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo