Forze elastiche su una massa
Ciao a tutti!
Devo studiare le forze in gioco in questo schema:
Vi chiedo solo di dare un'occhiata al procedimento che seguo e magari di dirmi se sbaglio qualcosa...
Ci sono due molle di costanti k1 e k2, uno smorzatore di costante b, e due masse M1 e M2. f(t) è la forza applicata a M1.
Si assume nullo l'attrito con il pavimento...
Per M1:
$M_1 \ddot{x_1}(t) = f(t) - b \dot{x_1}(t) - k_1 x_1(t)$
Mentre per M2:
$M_2 \ddot{x_2}(t) = - k_2 (x_2(t)-x_1(t))$
...il mio dubbio sta sopratutto nell'equazione di M2: che espressione e che segno assume la forza elastica della molla?
Grazie
Devo studiare le forze in gioco in questo schema:
Vi chiedo solo di dare un'occhiata al procedimento che seguo e magari di dirmi se sbaglio qualcosa...
Ci sono due molle di costanti k1 e k2, uno smorzatore di costante b, e due masse M1 e M2. f(t) è la forza applicata a M1.
Si assume nullo l'attrito con il pavimento...
Per M1:
$M_1 \ddot{x_1}(t) = f(t) - b \dot{x_1}(t) - k_1 x_1(t)$
Mentre per M2:
$M_2 \ddot{x_2}(t) = - k_2 (x_2(t)-x_1(t))$
...il mio dubbio sta sopratutto nell'equazione di M2: che espressione e che segno assume la forza elastica della molla?
Grazie
Risposte
su M1 agisce anche la molla 2
ok, quindi dovrei aggiungere questo termine alla parte destra della prima equazione:
$-k_2 x_1(t)$
giusto? e su M2 è giusta l'equazione?
grazie
$-k_2 x_1(t)$
giusto? e su M2 è giusta l'equazione?
grazie
come può la molla 2 esercitare forze di diversa intensità ai suoi estremi?
se ti riferisci alla seconda equazione la forza elastica è in modulo:
$F_e = -k x$ con $x$ pari all'allungamento o restringimento...nel caso della massa 2 la molla dovrebbe avere una differenza di lunghezza pari a $x_2(t)-x_1(t)$...o sbaglio?
$F_e = -k x$ con $x$ pari all'allungamento o restringimento...nel caso della massa 2 la molla dovrebbe avere una differenza di lunghezza pari a $x_2(t)-x_1(t)$...o sbaglio?
prova a scrivere il sistema di equazioni completo
Dovrebbero essere queste...
$M_1x_1^{''}(t) = f(t)-b x_1^{\prime} (t) - k_1x_1(t)-k_2(x_2(t) - x_1(t))$
$M_2x_2^{''}(t) =-k_2(x_2(t)-x_1(t))$
in fondo su M1 agisce $f(t)$ (concorde al moto), $bV(t)$ (discorde al moto), la forza elastica della prima molla ($K_1x_1(t)$, discorde) e quella della seconda molla ($K_2 (x_2(t)-x_1(t))$, discorde)...
mentre su M2 agisce solo la forza della seconda molla ($K_2 (x_2(t)-x_1(t))$, discorde)
...cosa sbaglio?
$M_1x_1^{''}(t) = f(t)-b x_1^{\prime} (t) - k_1x_1(t)-k_2(x_2(t) - x_1(t))$
$M_2x_2^{''}(t) =-k_2(x_2(t)-x_1(t))$
in fondo su M1 agisce $f(t)$ (concorde al moto), $bV(t)$ (discorde al moto), la forza elastica della prima molla ($K_1x_1(t)$, discorde) e quella della seconda molla ($K_2 (x_2(t)-x_1(t))$, discorde)...
mentre su M2 agisce solo la forza della seconda molla ($K_2 (x_2(t)-x_1(t))$, discorde)
...cosa sbaglio?
"giuggiolo":
...cosa sbaglio?
un segno:
$M_1x_1^{''}(t) = f(t)-b x_1^{\prime} (t) - k_1x_1(t)$ [size=150]$+$ [/size] $k_2(x_2(t) - x_1(t))$
mmm...provo ad intuire il motivo: la molla 2 tende ad opporsi sia alla compressione che alla elongazione. Nel caso di compressione (per semplicità analizzo solo questo ma con l'espansione cambia solo il segno della forza) la forza elasica è contraria alla compressione, cioè è "uscente" dalle estremità della molla.
chiaramente alle estremità ci sono M1 e M2, che subiranno queste forze...le due sono uguali in modulo (perchè la differenza di lunghezza è la stessa nei due casi) ma contraria (perchè su M1 è "verso destra" e su M2 è "verso sinistra") e quindi cambia il segno nelle due espressioni...esatto?
chiaramente alle estremità ci sono M1 e M2, che subiranno queste forze...le due sono uguali in modulo (perchè la differenza di lunghezza è la stessa nei due casi) ma contraria (perchè su M1 è "verso destra" e su M2 è "verso sinistra") e quindi cambia il segno nelle due espressioni...esatto?
più semplicemente, prova a fare lo schema delle forze che agiscono sulla molla due
ho fatto lo schema delle forze...
infatti la prima molla subisce elongamento e quindi la forza che sente la prima massa è di richiamo, mentre la seconda molla viene compressa e quindi agisce sulle masse con forza di spinta ai suoi estremi.
secondo questo schema le equazioni dovrebbero essere:
$M_1 x_1^{''} (t) = f(t) - b x_1 ^{\prime} (t) - k_1 x_1(t) - k_2(x_2(t)-x_1(t))$
$M_2 x_2^{''} (t) = k_2(x_2(t)-x_1(t))$
infatti la forza della seconda molla è concorde col moto della seconda massa e discorde col moto della prima...perchè invece dici che i segni sono contrari?
grazie
infatti la prima molla subisce elongamento e quindi la forza che sente la prima massa è di richiamo, mentre la seconda molla viene compressa e quindi agisce sulle masse con forza di spinta ai suoi estremi.
secondo questo schema le equazioni dovrebbero essere:
$M_1 x_1^{''} (t) = f(t) - b x_1 ^{\prime} (t) - k_1 x_1(t) - k_2(x_2(t)-x_1(t))$
$M_2 x_2^{''} (t) = k_2(x_2(t)-x_1(t))$
infatti la forza della seconda molla è concorde col moto della seconda massa e discorde col moto della prima...perchè invece dici che i segni sono contrari?
grazie
Il sistema corretto è questo:
$M_1 x_1^{''} (t) = f(t) - b x_1 ^{\prime} (t) - k_1 x_1(t) + k_2(x_2(t)-x_1(t))$
$M_2 x_2^{''} (t) = -k_2(x_2(t)-x_1(t))$
Hai fatto la 'classica' confusione sui segni. Il tuo schema sarebbe corretto se la molla 2 fosse compressa, ma allora $(x_2(t)-x_1(t))$ è negativa.
In questi casi per evitare di scrivere $(-)*(-)=(-)$ è consigliabile 'mettersi' in una configurazione in cui tutte le variabili sono positive in modo che lo schema abbia i versi giusti. Considera quindi una generica configurazione in cui:
$x_1 ^{\prime} >0$
$x_1>0$
$x_2>0$
$x_2-x_1>0$ (anche la seconda molla è estesa)
$M_1 x_1^{''} (t) = f(t) - b x_1 ^{\prime} (t) - k_1 x_1(t) + k_2(x_2(t)-x_1(t))$
$M_2 x_2^{''} (t) = -k_2(x_2(t)-x_1(t))$
Hai fatto la 'classica' confusione sui segni. Il tuo schema sarebbe corretto se la molla 2 fosse compressa, ma allora $(x_2(t)-x_1(t))$ è negativa.
In questi casi per evitare di scrivere $(-)*(-)=(-)$ è consigliabile 'mettersi' in una configurazione in cui tutte le variabili sono positive in modo che lo schema abbia i versi giusti. Considera quindi una generica configurazione in cui:
$x_1 ^{\prime} >0$
$x_1>0$
$x_2>0$
$x_2-x_1>0$ (anche la seconda molla è estesa)
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