Forze e relatività
Salve a tutti.
Nella relatività ristretta viene definita la quadriforza che ha come componente spaziale $vecF= d/(d tau) (m gamma vecv)$, ma se volessi inserire al posto di $vecF$ il vettore di una forza, ad esempio gravitazionale, posso mettere semplicemente che: $-(GmM)/(r^2) hatr= d/(d tau) (m gamma vecv)$? Il punto è:come generalizzo una forza nota ( di gravità,elettrostatica..) nella teoria della relatività? La mia idea era che non è così semplice dato che la forza di gravità dipende da una distanza e quindi mettendoci nel sistema di riferimento del moto incipente la massa $m$ vedrà questa distanza contratta e quindi la forza di gravità assume un altro aspetto (dovrei cambiare $r$ in $r/gamma$?).
Seconda domanda : mi chiedo se sia lecito, in relatività, in un sistema in cui agisce una forza conservativa, scrivere la conservazione dell'energia così $m gamma_i c^2+ U_i=m gamma_fc^2+ U_f$, con la solita definizione $vecF=-gradU$. Ad occhio, dato che la conservazione dell'energia è derivata dal teorema di Noether, direi che è lecito.
So che la relatività generale tratta della gravità e dei sistemi in moto accelerato e quindi forse le mie domande troveranno risposta lì, comunque ho provato lo stesso a chiedere, magari c'è una risposta semplice, o magari no
Nella relatività ristretta viene definita la quadriforza che ha come componente spaziale $vecF= d/(d tau) (m gamma vecv)$, ma se volessi inserire al posto di $vecF$ il vettore di una forza, ad esempio gravitazionale, posso mettere semplicemente che: $-(GmM)/(r^2) hatr= d/(d tau) (m gamma vecv)$? Il punto è:come generalizzo una forza nota ( di gravità,elettrostatica..) nella teoria della relatività? La mia idea era che non è così semplice dato che la forza di gravità dipende da una distanza e quindi mettendoci nel sistema di riferimento del moto incipente la massa $m$ vedrà questa distanza contratta e quindi la forza di gravità assume un altro aspetto (dovrei cambiare $r$ in $r/gamma$?).
Seconda domanda : mi chiedo se sia lecito, in relatività, in un sistema in cui agisce una forza conservativa, scrivere la conservazione dell'energia così $m gamma_i c^2+ U_i=m gamma_fc^2+ U_f$, con la solita definizione $vecF=-gradU$. Ad occhio, dato che la conservazione dell'energia è derivata dal teorema di Noether, direi che è lecito.
So che la relatività generale tratta della gravità e dei sistemi in moto accelerato e quindi forse le mie domande troveranno risposta lì, comunque ho provato lo stesso a chiedere, magari c'è una risposta semplice, o magari no
Risposte
Eh 
. No allora il punto è questo. Nel passare dalla meccanica newtoniana a quella relativistica perdi ogni tipo di modello semplificato dello spazio dal quale ricavare una energia potenziale del tipo classico. La forza gravitazionale non ha più quella forma ovviamente e non è solo perché "le distanze si accorciano" ma perché, proprio in virtù della relatività generale lo spazio tempo si deforma in modo molto più complesso. Si piega proprio quindi non puoi più identificare un "raggio dritto" lungo cui agisce la forza.
Non ha senso nemmeno scrivere $K+U="costante"$. La conservazione dell'energia è legata alla conservazione del quadrimpulso e ciò che si conserva è una somma di energia a riposo $mc^2$ e di energia cinetica $m(\gamma-1)c^2$ che puoi anche vedere come relazione di dispersione $E=(m^2c^4+p^2c^2)^(1/2)=m\gammac^2$. Detta così vale poco, ma questi argomenti, se le domande sono generali come le tue, ritengo sia meglio studiarle su un testo. Sarebbe inutile fare una trattazione completa quando la trovi già fatta altrove. L'importante è aver chiaro il punto delle tue domande. Non puoi uguagliare la quadriforza alla forza gravitazionale dello spazio newtoniano e non ha molto senso considerare un potenziale scalare da sommare all'energia cinetica in quanto, in relatività, la conservazione dell'energia totale per una particella è quella che ho scritto; il potenziale è più riferito all'energia del campo in quanto tale che non alla particella che vi interagisce. Dovrai studiare con molta attenzione la RR e pure la RG se vorrai una risposta compiuta alle tue domande
. No allora il punto è questo. Nel passare dalla meccanica newtoniana a quella relativistica perdi ogni tipo di modello semplificato dello spazio dal quale ricavare una energia potenziale del tipo classico. La forza gravitazionale non ha più quella forma ovviamente e non è solo perché "le distanze si accorciano" ma perché, proprio in virtù della relatività generale lo spazio tempo si deforma in modo molto più complesso. Si piega proprio quindi non puoi più identificare un "raggio dritto" lungo cui agisce la forza. Non ha senso nemmeno scrivere $K+U="costante"$. La conservazione dell'energia è legata alla conservazione del quadrimpulso e ciò che si conserva è una somma di energia a riposo $mc^2$ e di energia cinetica $m(\gamma-1)c^2$ che puoi anche vedere come relazione di dispersione $E=(m^2c^4+p^2c^2)^(1/2)=m\gammac^2$. Detta così vale poco, ma questi argomenti, se le domande sono generali come le tue, ritengo sia meglio studiarle su un testo. Sarebbe inutile fare una trattazione completa quando la trovi già fatta altrove. L'importante è aver chiaro il punto delle tue domande. Non puoi uguagliare la quadriforza alla forza gravitazionale dello spazio newtoniano e non ha molto senso considerare un potenziale scalare da sommare all'energia cinetica in quanto, in relatività, la conservazione dell'energia totale per una particella è quella che ho scritto; il potenziale è più riferito all'energia del campo in quanto tale che non alla particella che vi interagisce. Dovrai studiare con molta attenzione la RR e pure la RG se vorrai una risposta compiuta alle tue domande
Oltre alle giuste considerazioni di Nikikinki [nota]riassumibili in : vatti a studiare a relatività ! 
[/nota], io direi qualcosa di più semplice.
È il principio di equivalenza che ti frega. Prendi un ascensore in caduta libera ( quante volte ne avrai sentito parlare! Ma il bello viene da come questo principio è poi sfruttato per ricavarne un po' ( ) di fisica del campo gravitazionale...) , che non sia molto esteso onde evitare effetti di marea, e mettici dentro un oggetto, ad es una mela , che cade anch'esso liberamente come l'ascensore, nel campo gravitazionale terrestre (supposto costante visto che l'ascensore non è molto esteso nello spazio) : rispetto all'ascensore, la mela è in quiete, o al più potrebbe essere soggetta ad "altre forze" e quindi muoversi per effetto di queste, ma non per effetto della gravità : la gravità l'abbiamo neutralizzata con la caduta libera.
Un corpo soggetto solo all'azione della gravità, oltre che alla sua inerzia, non è da considerare soggetto a forze, in relatività , perchè possiamo neutralizzare la gravità con la caduta libera.
Aggiungo questa discussione sul concetto di forza.
[/nota], io direi qualcosa di più semplice. È il principio di equivalenza che ti frega. Prendi un ascensore in caduta libera ( quante volte ne avrai sentito parlare! Ma il bello viene da come questo principio è poi sfruttato per ricavarne un po' (
) di fisica del campo gravitazionale...) , che non sia molto esteso onde evitare effetti di marea, e mettici dentro un oggetto, ad es una mela , che cade anch'esso liberamente come l'ascensore, nel campo gravitazionale terrestre (supposto costante visto che l'ascensore non è molto esteso nello spazio) : rispetto all'ascensore, la mela è in quiete, o al più potrebbe essere soggetta ad "altre forze" e quindi muoversi per effetto di queste, ma non per effetto della gravità : la gravità l'abbiamo neutralizzata con la caduta libera. Un corpo soggetto solo all'azione della gravità, oltre che alla sua inerzia, non è da considerare soggetto a forze, in relatività , perchè possiamo neutralizzare la gravità con la caduta libera.
Aggiungo questa discussione sul concetto di forza.
Grazie ad entrambi per le risposte, molto chiare ed esplicative. Non avendo mai visto applicazioni di $ vecF= d/(d tau) (m gamma vec v) $ ho azzardato l'ipotesi migliore, ma purtroppo non è così semplice 
. In definitiva sembra che io mi debba armare di forza e coraggio e seguire in futuro un corso di relatività generale
. In definitiva sembra che io mi debba armare di forza e coraggio e seguire in futuro un corso di relatività generale
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